（江苏专用）高考数学 专题5 平面向量 37 平面向量的应用 文-人教版高三数学试题

训练目标(1)向量知识的综合应用；(2)向量与其他知识的结合.训练题型(1)向量与三角函数；(2)向量与三角形；(3)向量与平面解析几何.解题策略(1)利用向量知识可将和三角函数有关的问题“脱去”向量外衣，转化为三角函数问题；(2)向量和平面图形的问题往往借助三角形，结合正弦、余弦定理解决；(3)解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法.1．(2015·珠海调研)设向量a＝(sinx，cos2x)，b＝(eq\r(3)cosx，eq\f(1,2))，函数f(x)＝ab.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0<α<eq\f(π,3)，f(eq\f(α,2))＝eq\f(4,5)，求cosα的值．2.如图，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→))，求证：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.3．(2015·福建三明高中联盟校期末)已知向量m＝(3cosx，eq\r(3)sinx)，n＝(2cosx，－2cosx)，函数f(x)＝mn.(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA＝eq\f(4,5)，求a的值．4．(2015·长沙一模)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab＝－1的概率；(2)若x，y∈[1,6]，求满足ab>0的概率．5．(2015·广东六校三联)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，将eq\o(OG,\s\up6(→))用λ，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))表示；(2)设eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝yeq\o(OB,\s\up6(→))，证明：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)是定值．答案解析1．解(1)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,6))，所以最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由f(eq\f(α,2))＝eq\f(4,5)，得sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，所以cos2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(9,25).因为0<α<eq\f(π,3)，所以eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(π,2)，所以cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5).所以cosα＝cos(α＋eq\f(π,6)－eq\f(π,6))＝cos(α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋sin(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3)＋4,10).2．(1)解设eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(m－1)a＋nb，eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b.∵点A、M、D共线，∴eq\o(AM,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))共线，∴eq\f(1,2)(m－1)－(－1)×n＝0，∴m＋2n＝1.①而eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m－eq\f(1,4))a＋nb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b.∵C、M、B共线，∴eq\o(CM,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线，∴－eq\f(1,4)n－(m－eq\f(1,4))＝0.∴4m＋n＝1.②联立①②可得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.(2)证明eq\o(EM,\s\up6(→))＝(eq\f(1,7)－p)a＋eq\f(3,7)b，eq\o(EF,\s\up6(→))＝－pa＋qb，∵eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(EM,\s\up6(→))共线，∴(eq\f(1,7)－p)q－eq\f(3,7)×(－p)＝0.∴eq\f(1,7)q－pq＝－eq\f(3,7)p，即eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.3．解(1)f(x)＝mn＝6cos2x－2eq\r(3)sinxcosx＝3(1＋cos2x)－eq\r(3)sin2x＝3cos2x－eq\r(3)sin2x＋3＝2eq\r(3)cos(2x＋eq\f(π,6))＋3，∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.由2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x＝eq\f(1,2)kπ－eq\f(π,12)(k∈Z)．(2)由f(B)＝0，得cos(2B＋eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),2).∵B为锐角，∴eq\f(π,6)<2B＋eq\f(π,6)<eq\f(7π,6)，∴2B＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，B＝eq\f(π,3).∵cosA＝eq\f(4,5)，A∈(0，π)，∴sinA＝eq\r(1－\f(4,5)2)＝eq\f(3,5).在△ABC中，由正弦定理得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2×\f(3,5),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),5)，即a＝eq\f(4\r(3),5).4．解(1)设(x，y)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1.则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个．∴P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)用B表示事件“ab>0”，即x－2y>0.试验的全部结果所构成的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，构成事件B的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，如图所示．所以所求的概率为P(B)＝eq\f(\f(1,2)×4×2,5×5)＝eq\f(4,25).5．(1)解eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→)).(2)证明由(1)得eq\o(OG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ)xeq\o(OA,\s\up6(→))＋λyeq\o(OB,\s\up6(→))，①∵G是△OAB的重心，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→