（江苏专用）高考数学 专题9 平面解析几何 67 直线与圆 文-人教版高三数学试题

训练目标(1)直线与圆的位置关系的判断与应用；(2)训练解题步骤的规范性.训练题型(1)求圆的方程；(2)切线问题、弦长问题；(3)直线与圆的位置关系的应用.解题策略利用直线与圆的位置关系的几何意义、弦长公式及弦心距、半径、弦长的一半之间的关系，列方程或不等式.1．(2015·河北藁城一中月考)已知圆C与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，且圆心在直线y＝－4x上，求圆C的方程．2．(2015·甘肃天水一中第三次考试)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求直线l1的方程；(2)若圆D半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．3．(2015·安徽六校一联)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．4．(2015·雅安重点中学1月月考)已知圆C：(x－a)2＋(y－a－1)2＝9，其中a为实常数．(1)若直线l：x＋y－3＝0被圆C截得的弦长为2，求a的值；(2)设点A(3,0)，O为坐标原点，若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求a的取值范围．5．设O为坐标原点，圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9上有两点P、Q关于直线x＋my＋1＝0对称．(1)求m的值；(2)是否存在以线段PQ为直径的圆，经过原点O？若存在，求直线PQ的方程；若不存在，说明理由．答案解析1．解方法一设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,3－a2＋－2－b2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2)，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8，方法二过切点P(3，－2)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心坐标为(1，－4)，∴半径r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2)，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.2．解(1)当直线l1的斜率不存在时，直线l1的方程为x＝1；当直线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，由d＝eq\f(|2k－4|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(3,4)，直线l1的方程为3x－4y－3＝0.故直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.(2)设圆D的圆心为D(a,2－a)，∵圆D与圆C外切，∴|CD|＝5，即(a－3)2＋(2－a－4)2＝25，解得a＝3或a＝－2.∴圆D的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋(y－4)2＝9.3．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y＝x－1，))得圆心C为(3,2)，∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1.显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0.∴eq\f(|3k－2＋3|,\r(k2＋1))＝1，∴|3k＋1|＝eq\r(k2＋1)，∴2k(4k＋3)＝0，∴k＝0或k＝－eq\f(3,4)，∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－eq\f(3,4)x＋3.即切线的方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.4．解(1)由圆的方程知，圆C的圆心坐标为C(a，a＋1)，半径为3.设圆心C到直线l的距离为d，因为直线l被圆C截得的弦长为2，所以d2＋1＝9，解得d＝2eq\r(2)，所以eq\f(|a＋a＋1－3|,\r(2))＝2eq\r(2)，即|a－1|＝2，解得a＝－1或a＝3.(2)设M(x，y)，由MA＝2MO，得eq\r(x－32＋y2)＝2eq\r(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－3＝0，所以点M在圆心为D(－1,0)，半径为2的圆上，又因为点M在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，所以1≤CD≤5，即1≤eq\r(a＋12＋a＋12)≤5，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12≥\f(1,2)，,a＋12≤\f(25,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(\r(2),2)≤a或a≤－1－\f(\r(2),2)，,－1－\f(5\r(2),2)≤a≤－1＋\f(5\r(2),2)，))即－1－eq\f(5\r(2),2)≤a≤－1－eq\f(\r(2),2)或－1＋eq\f(\r(2),2)≤a≤－1＋eq\f(5\r(2),2).故a的取值范围是[－1－eq\f(5\r(2),2)，－1－eq\f(\r(2),2)]∪[－1＋eq\f(\r(2),2)，－1＋eq\f(5\r(2),2)]．5．解(1)因为P、Q点关于直线x＋my＋1＝0对称，则圆心(1，－2)在直线上，代入解得m＝1.(2)由(1)知直线x＋my＋1＝0的方程为x＋y＋1＝0，因为直线PQ与直线x＋y＋1＝0垂直，可设PQ所在直线的方程为y＝x＋b，P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x－12＋y＋22＝9，))得2x2＋2(1＋b)x＋b2＋4b－4＝0，由Δ>0得－3－3eq\r(2)<b<－3＋3eq\r(2).又x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝eq\f(b2＋4b－4,2)，而y1y2＝b2＋b(x1＋x2)＋x1x2，若满足以线段PQ为直径的圆经过原点，则应有Oeq\o(P,\s\up6(→))·Oeq\o