（江苏专用）高考数学 专题6 数列 44 数列的通项及求法 文-人教版高三数学试题

训练目标(1)求数列通项的常用方法；(2)等差、等比数列知识的深化应用.训练题型(1)由数列的递推公式求数列的通项；(2)由数列的前n项和求通项.解题策略求数列通项的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造法.1．已知a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为eq\f(1,3)的等比数列，则an＝________.2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.5．设函数f(x)＝lnx，数列{an}(n∈N*)满足a1＝1且an＋1＝eq\f(1,f′an＋1)，则数列{an}的通项公式an＝________.6．数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝________.7．(2015·衢州质检)已知数列{an}满足eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n)an＝3n＋1，则a1＝________；an＝________.8．已知在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×2n，则数列{an}的通项公式为an＝________.9．(2015·太原一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，Sn＝2an＋n，则an＝________.10．(2015·湖北武汉四中第三次质量检测)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(2n＋1an,an＋2n)(n∈N*)．(1)证明：数列{eq\f(2n,an)}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式an；(3)设bn＝eq\f(1,n·2n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.答案解析1.eq\f(3,2)(1－eq\f(1,3n))2.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))3．(－2)n－1＋14．2eq\f(n2－n＋2,2)解析由题意得eq\f(an＋1,an)＝2n，所以eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝22，eq\f(a4,a3)＝23，…，eq\f(an,an－1)＝2n－1，累乘得an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝2eq\f(n2－n＋2,2).5.eq\f(1,n)解析由题意得f′(x)＝eq\f(1,x)，从而an＋1＝eq\f(1,f′an＋1)＝eq\f(1,\f(1,an)＋1)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋1，所以数列{eq\f(1,an)}是首项为1，公差为1的等差数列，故eq\f(1,an)＝1＋n－1＝n，所以an＝eq\f(1,n).6.eq\f(1,2)解析由已知得an＝1－eq\f(1,an＋1)，a8＝2，所以a7＝1－eq\f(1,a8)＝eq\f(1,2)，a6＝1－eq\f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq\f(1,a6)＝2，a4＝1－eq\f(1,a5)＝eq\f(1,2)，a3＝1－eq\f(1,a4)＝－1，a2＝1－eq\f(1,a3)＝2，a1＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2).7．12eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12，n＝1，,3n＋1，n≥2))解析由题意可得，当n＝1时，eq\f(1,3)a1＝4，解得a1＝12.当n≥2时，eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n－1)an－1＝3n－2，所以eq\f(1,3n)an＝3，n≥2，即an＝3n＋1，n≥2，又当n＝1时，an＝3n＋1不成立，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12，n＝1，,3n＋1，n≥2.))8．(3n－1)×2n－1解析在an＋1＝2an＋3×2n的两边同时除以2n＋1，得eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(an,2n)＋eq\f(3,2)，即eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,2)，所以数列{eq\f(an,2n)}是以eq\f(a1,2)＝1为首项、eq\f(3,2)为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)n－eq\f(1,2)，所以an＝(eq\f(3,2)n－eq\f(1,2))×2n＝(3n－1)×2n－1.9．1－2n解析因为Sn＝2an＋n，所以Sn－1＝2an－1＋n－1，n≥2，两式相减得an＝2an－2an－1＋1，n≥2，即an＝2an－1－1，n≥2，an－1＝2(an－1－1)，n≥2，又a1－1＝－2≠0，所以数列{an－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，则an－1＝－2×2n－1＝－2n，所以an＝1－2n.10．(1)证明由已知可得，eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(an,an＋2n)，即eq\f(2n＋1,an＋1)＝eq\f(2n,an)＋1，即eq\f(2n＋1,an＋1)－eq\f(2n,an)＝1，所以数列{eq\f(2n,an)}是公差为1的等差数列．(2)解由(1)知eq\f(2n,an)＝eq\f(2,a1)＋(n－1)×1，所以数列{an}的通项公式an＝eq\f(2n,n＋1).(3)解由(2)知bn＝eq\f(1,2nn＋1)＝eq\f