2023版高考数学一轮复习讲义：第八章立体几何初步8-7-2 空间向量的综合应用

第2课时空间向量的综合应用

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一求空间距离［综合性］

［例1］［2022•云南民族大学附属中学高三月考］如图，在三棱柱ABC-AlBlG中，ABL平

面BBlCeAB=BBl=2BC=2,BC∣=√3,点E为AlCI的中点.

(1)求证：CIBJ_平面4BC；

(2)求点A到平面BCE的距离.

听课笔记：

反思感悟求空间距离常用的方法

(1)直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，

再通过解三角形求出距离.

(2)间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解.

(3)向量法：空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解.

求点P到平面a的距离的三个步骤：

①在平面ɑ内取一点A,确定向量证的坐标；

②确定平面a的法向量n;

③代入公式d=喀ɪ求解.

Inl

【对点训练】

正方体ABCD-AlBlGn的棱长为1,E,尸分别为BB∣,CO的中点，则点尸到平面AQlE

的距离为.

考点二探索性问题［创新性］

［例2］［2022・湖南重点校联考］如图，在四棱锥P-ABCDψ,∕¾，平面ABCD,AD//BC,

AD1.CD,且AO=Cf>=2√∑,BC=4√2,PA=2.

(1)求证：ABrPC；

(2)在线段P力上，是否存在一点M,使得二面角M-AC-。的大小为45。，如果存在，求

与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

听课笔记：

反思感悟探索性问题的求解策略

空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、

推理，只需通过坐标运算进行判断.

(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程

或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.

(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参

数.

【对点训练】

如图，四边形A8C。是正方形，四边形BQEF为矩形，AClBF,G为EF的中点.

⑴求证：BF_L平面ABC£>；

(2)二面角C-BG-D的大小可以为60。吗？若可以，求出此时会的值；若不可以，请说明

理由.

考点三翻折与展开问题［综合性］

［例3］［2021•广东四校期末联考］等边三角形ABe的边长为3,点。，E分别是A8,AC

上的点，且满足M=曾如图1),将AADE沿DE折起到AAQE的位置，使二面角Al-DE-B

DBEA2

成直二面角，连接4B,AC(如图2).

(1)求证：AQ，平面BCE£)；

(2)在线段BC上是否存在点P,使直线∕¾∣与平面48。所成的角为60。，若存在,求出

PB的长；若不存在，请说明理由.

听课笔记：

反思感悟翻折问题的2个解题策略

画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置

和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、

确定翻折前后变与不变

面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、

的关系

面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中

处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.

所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位

置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及

确定翻折后关键点的位

其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚

置

关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的

_____________位置，进而进行有关的证明与计算.______________

【对点训练】

[2022•佛山质检]图1是直角梯形ABC£),AB//DC,/0=90。，AB=2,C)C=3,AD=√3,

闻=2而.以BE为折痕将aBCE折起，使点C到达Cl的位置，且AG=«，如图2.

G

(1)证明：平面BGE_L平面AB££＞；

(2)求直线BCI与平面AC1D所成角的正弦值.

第2课时空间向量的综合应用

提升关键能力

考点一

例1解析：(1)证明：因为ABJ_平面BBIClC,ClBU平面BBlCIC,

所以AB±C∣B.

在^BCC∣中，BC=I,BCι=√3,CCl=2,

所以BC2+BC;=CcE

所以CB±C,B.

因为ABnBC=B,AB,BCU平面ABC,

所以GB_L平面ABC.

(2)由(1)知，AB±C∣B,BC±ClB,ABlBC,

如图，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz.

X

则B(0,O,O),A(O,O,2),E(-|,√3,1),C(l,O,O).

BC=(1,O,O),≡=(-∣,√3,1).

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),

n∙BC=0,Lx=0,

则一即Cf

n∙BE=0,-∣x+√r3y+z=0.

令y=√5,则X=0,Z=-3,所以“=(θ,√3,-3).

又因为说=(1,0,-2),故点A到平面BCE的距离

._∣AC∙n∣_∣l×0+0×>∕3+(-2)x(-3)∣_rɔ

d='~^T=奇=VA

对点训练

1.解析：取射线AB,AD,AAl分别为X轴、y轴、Z轴非负半轴建立空间直角坐标系,

如图所示.

则4(0,0,1),E(l,0,I),F(|,1,0),01(0,1,1).

所以碓=(1,0,晒=(0,1,0).

设平面4。IE的法向量为〃=a，y,z).

n∙AE=0,spX--Z=Of

n∙A1D1=0,Iy=0

令z=2,则X=1,得〃=(1,0,2),又41F=(，，1,-1)，

所以点F到平面A1D1E的距离d=平=号=乎.

∣n∣√510

答案：等

考点二

例2解析：

(1)证明：如图，由已知得四边形ABCC是直角梯形，由AO=CQ=2√Σ,BC=4√2,可

得AABC是等腰直角三角形，即ABLAC,因为以J_平面ABC。，所以∕¾J>48,

又MdAC=A,

所以平面/¾C,所以AB_LPC

解析：

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),C(2√2,2√2,0),D(0,2√2,0),

P(0,0,2),B(2√2,-2√2,O),PD=(O,2√2,-2),AC=(2√2,2√2,0).

设丽=两(0«1),

则点M的坐标为(0,2√2f,2—2。，

所以加=(0,2√2∕,2-2/).

设平面MAC的法向量是"=(x,y,z),

则卜.七0,,

In∙AM=0

得(2√2x+2λ∕2y=0,

pf(2√2ty÷(2-2t)z=0,

令X=1,得〃=(1,-1,兰

又m=(0,0,1)是平面ACD一个法向量，

所以ICoS〈,〃，加I=兽普=JSL=CoS45。="，解得/=；,即点M是线段PO的中

∣m∣∣n∣.—.222

此时平面MAC的法向量鹿0=(1,-1,√2),M(O,√2,1),BM=(~2√2,3√2,1).

t)

设与平面MAC所成的角为仇贝IJSin夕=|COS<∕ι0,BM)I=In鬻=等

∣n0∣∣BM∣9

对点训练

解析：(1)证明：因为四边形ABCo是正方形，四边形Bf)E/为矩形，所以BFLBD,又

因为ACLBF,AC,8。为平面ABCQ内两条相交直线，所以BFL平面ABCD

(2)假设二面角C-BG-。的大小可以为60。，由(1)知BF，平面ABeZ),以4为原点，分别

以A8,AQ为X轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设A8=AQ=2,BF=h(h>

0),则A(0,O,O),BQ,O,O),D(0,2,O),C(2,2,O),EF的中点G(l,1,h),BG=(-

1,1,h),BC=(O,2,0).

设平面8CG的法向量为"=(x,y,z),

则匠*1=0,

IBC∙n=O

—x+y+hz=O,,取”=(〃，0)])

2y=O

因为AC_LBF,ACVBD,

所以AC，平面BDG,

则平面BoG的一个法向量为阮=(2,2,0).

由题意得CoS6"∣i⅛卜而』,解得Ql,此时需/

所以当整W时，二面角C-BG-D的大小为60°.

BC2

考点三

例3解析：(1)证明：如题图1,在aAOE中，AD=∖,AE=2,ZA=60°,

得到DE=

√AD2+AE2-2AD∙AE∙cos600=√3,

所以A》+OE2=AE2,从而AOJ_OE,BDlDE,

所以在题图2中，A∣D±DE,BDVDE,

所以/AiDB是二面角A-DE-B的平面角，

所以NAIoB=90。,即AQJ

又因为4O_LOE,BDQDE=D,BD,OEU平面BCEO,

所以4£>_L平面BCED.

(2)由(1)知，A∖D,DB,OE两两垂直，以。为原点，DB,DE,D4∣所在直线为X轴，y

轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则8(2,0,0),4(0,0,1),C(J,ɪ,0),

故淳=(2,0,-1),BC=(-∣,竽，0).

假设线段BC上存在点P,使直线PAt与平面4BO所成的角为60。,

设丽=寂=(一泳苧入，0),其中4∈[0,1],

则审=淳+而=(2-竽入，-1).

平面AB。的一个法向量为〃=(0,1,0),

则sin60。=ICOS(A∣P,”〉I=I空

=I喇=一解得2=3，

/(2等丫+第)+1

所以存在满足要求的点P,且线段PB的长度为|.

对点训练

解析：(1)证明：在图1中，连接AE,AC,AC交BE于F

VCE≈2ED,OC=3,：.CE=rl,."B=CE,

又AB〃CD,四边形AECB是平行四边形.

在Rt∆ACD中，AC=J