2023年上海市高考数学考前20天复习-07 计数原理与概率统计小题综合教师版

07计数原理与概率统计小题综合

一、填空题

1.(2023•上海闵行•统考二模)已知常数〃2>0,+的二项展开式中χ2项的系数是

60,则，"的值为.

【答案】2

【分析】根据二项展开式的通项公式确定特定项系数，进而确定/的值.

【详解】由已知则其展开式的通项为C"/1:J=G"fa’,

又其：项展开式中X2项的系数是60,

则令6-2r=2,BPr=2,C>2=15w2=60,

又加›0,

所以a=2,

故答案为：2.

2.(2023•上海浦东新•统考二模)设随机变量X服从正态分布N(0Q2),且

P(X>—2)=0.9,贝IJp(X>2)=.

【答案】o.i/ɪ

【分析】由正态分布曲线的对称性进行求解.

【详解】X服从正态分布N(0,b2),其正态分布曲线关于y轴对称，

由对称性可知P(X>2)=P(X<-2)=l-P(X>-2)=l-0.9=0.l.

故答案为：0」

3.(2023•上海黄浦•统考二模)已知机是加-2与4的等差中项，且

52)45

(w+%)=«0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,则a｝的值为.

【答案】40

【分析】首先根据等差中项的性质求出机=2,再利用二项式的通项得到相应「值，代

入即可得到答案.

【详解】由题意得“z-2+4=2∕n,解得〃?=2,

5

则二项式(2+X)的通项为τr+l=C；.25,短,

令r=3则有7；=c；.2?.1=40X3,故生=40,

故答案为：40.

4.(2023•上海闵行•统考二模)已知事件A与事件B互斥，如果P(A)=O.3,P(B)=0.5,

那么P(T^)=.

【答案】0.2∕∣

【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算.

【详解】由题意P(A8)=1-P(AlB)=1-[P(Λ)+P(B)]=1-(0.3+0.5)=0.2.

故答案为：02

2θ23

5.(2023•上海徐汇•统考二模)若(l+x)(l-2x)=%+αlx+α∕2+...+%o24产,

aj∈R(z=0,l,2,∙∙∙,2024),贝!]ai+a2+…+αMM=.

【答案】-3

【分析】赋值，犬=0和;<=1,即可求解.

【详解】令X=0,¾=1,

令

X=1,%+a[+%+…+O2Q24=2x(—1)=-2,

所以4+%H---1-<⅛4=-2-1=-3.

故答案为：-3

6.(2023•上海徐汇•统考二模)抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高(单位:

Cm)数据如下：163165161157162165158155164162,据此估计该校高一年

级女生身高的第25百分位数是.

【答案】158

【分析】计算10x25%=2.5,确定从小到大第3个数即可.

【详解】IOx25%=2.5,第25百分位数是从小到大第3个数为158.

故答案为：158

7.(2023•上海宝山•统考二模)从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机

摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为4,“第二次摸球时摸到蓝球”为B,则P(BIA)=

【答案】I

[分析]根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.

334?

【详解】由题意可得:P(A)=/(AB)=Ix∖=/,

2

所以P(Bk)=需=z=2

33

7

故答案为：∙∣.

8.(2023•上海宝山•统考二模)如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图(图中仅列出

[50,60),[90,100)的数据)和频率分布直方图，则x-y=

【答案】QoO4

【分析】根据茎叶图可得相应的频数，根据频率分布直方图可得相应的频率，根据频率

与频数之间的关系列式求解.

【详解】由茎叶图可知：[50,60),[90,100)的频数分别为5,2；

由频率分布直方图可得：每组的频率依次为0.2,0.24,0.36,10x,IOy,

设样本容量为〃，

*=0.2

n/7=25

则-=IOy解得元=0.012,

n

y=0.008

0.2+0.24+0.36÷10x+10y=l

故X—y=0.012—0.008=0.004.

故答案为：0.004.

9.(2023•上海松江•统考二模)已知随机变量X服从正态分布N(0,l),若

P(X<-1.96)=0.03,贝IJP(IX|<1.96)=.

【答案】0.94

【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率.

【详解】由正态分布的对.称性得P(IX∣<1.96)=1-2P(X<-1.96)=0.94.

故答案为：0.94.

10.(2023•上海闵行•统考二模)今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名

护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗.若每所学校分配1名医生和2

名护士，则不同的分配方法数为.

【答案】12

【分析】先利用组合知识选出一个小组，剩下的一组就确定了，然后利用分步乘法原理

即可求解.

【详解】从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有C；C：=12

种方法，

剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有I种方法，

根据分步计数原理得不同的分配方法共有C；C；Xl=12种.

故答案为：12.

11.(2023・上海静安•统考二模)今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深

受顾客欢迎.标识质量为500g的这种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布

N(500,2.52)的随机变量.若质量指标介于495g(含)至505g(含)之间的产品包装为

合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为%(结

果保留一位小数)(已知中⑴=0.8413,中(2)aQ9772,①⑶=0.9987.①(x)表示标准正态

分布的密度函数从-8到X的累计面积)

【答案】95.4(sg95.5都对)

【分析】根据正态分布的对称性及标准正态分布的概率取值情况即可得所求答案.

【详解】因为X是服从正态分布N(500,2∙52),

所以P(X>505)=P(X<495)=1-Φ(2)≈1-0.9772=0.0228,

则P(495<X<505)=l-2×0.0228=0.9544≈95.4%或95.5%.

故答案为：95.4或95.5.

12.(2023∙上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测)现有7张卡片，分别写上数字

1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为J,则

E©=.

12

【答案】y

【分析】由条件求4分布列，再由期望公式求其期望.

【详解】由已知可得々的取值有1,2,3,4,

C2ISC"Cy=16

PC=I)=m=至,P(⅞=2)=

―eɜ--35

-吟噎P(I)V=1

35

所以Ee)=IX"+2χ3+3χ3+4χ-!-二12

35353535T

12

故答案为：~■

13.（2023•上海黄浦•统考二模）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概

率为0∙5,变为原来的0.98倍的概率也为0.5,则经过6天该物品的价格较原来价格增

加的概率为.

【答案吗

【分析】先判断价格比原来的升降情况，然后利用二项分布的知识求解，即得结果.

【详解】设物品原价格为1,0⅛1.026≈1.12>1,ɪ.02s×0.98≈1.08>1,

1.024×0.982≈1.04>l,1.023X0.98,≈0.9988<1,

故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低,

5天升高1天降低和6天升高,则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为

叱M/C但啜

故答案为：ɪɪ.

14.（2023•上海徐汇•统考二模）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动,

高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人

限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人

报交通宣传项目，则P（AIB）=.

【答案】I

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】P（AB）=苧,P（B）=W■，故尸（A⑻=黯写总

故答案为：-

15.（2023•上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测）若（丁+与）”展开式的各项系数之

和为32,其展开式中的常数项为.（用数字作答）

【答案】10

【详解】由题意，二项式（丁+二）"展开式的各项系数之和为32,

令X=I,可得2"=32,解得九=5,

则展开式的通项为（+1=q（√）r（4）5^r=q√r-'°,

Jr

令r=2,可得常数项为C；=10.

故答案为：10.

,∖23'

16.（2023•上海奉贤•统考二模）已知随机变量X的分布为111,且y=αv+3,

536›

若E[y]=-2,则实数4=.

【答案】-3

【分析】由期望性质可得答案.

【详解】因y=0X+3,则E团=E[αX+3]=αE[x]+3=-2nαE[X]=-5.

又E「x]=—+—+—=—,贝1]α=-3.

lj2323

故选：-3.

二、单选题

17.（2023•上海杨浦•统考二模）对成对数据伍,匕）、伍，4）.......（乙,%）用最小二

乘法求回归方程是为了使（）

【分析】由最小二乘法的求解即可知.

【详解】根据最小二乘法的求解可知：回Ul方程是为「使得每个数据与估计值之间的差

的平方和最小，

故选：D

18.（2023•上海浦东新•统考二模）某种产品的广告支出X与销售额》（单位：万元）之

间有下表关系，y与X的线性回归方程为y=10∙5x+5.4,当广告支出6万元时，随机误

差的效应即离差（真实值减去预报值）为（）.

X24568

y3040607080

A.1.6B.8.4C.11.6D.7.4

【答案】A

【分析】代入x=6,得至Uy=68.4,从而得到随机误差的效应即离差.

【详解】当x=6时，γ=10.5×6+5.4=68.4,故随机误差的效应即离差为70—68.4=1.6.

故选：A

19.（2023•上海青浦•统考二模）已知〃为正整数，贝广〃是3的倍数”是“（Y-蛾）的二

项展开式中存在常数项''的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的通项公式以及充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】卜JlJ展开式的通项公式为c；.（y厂.（_2/）'=（-2）'C

2

⅛4n-6r=0,解得〃

所以，若（XjI）的二项展开式中存在常数项，则〃是3的倍数.

所以“〃是3的倍数”是的二项展开式中存在常数项”的充要条件.

故选：C

20.（2023•上海金山•统考二模）某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，

随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.

他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）

讲座前讲座后

505

5006

5007

080555

090055

1000

A.讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分

B.讲座前的答卷得分分布较讲座后分散

C.讲座后答卷得分的第80百分位数为95

D.讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差

【答案】C

【分析】根据茎叶图即可判断AB；再根据百分位数的计算公式即可判断C；根据极差

的定义即可判断D.

【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确；

讲座前的答卷得分主要分布在5075之间，而讲座后主要分布在8085之间，

则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确；

讲座后答卷得分依次为80,85,85,85,90,90,95,95,100,100,

因为8O%xlO=8,所以笫80百分位数是第8个数与第9个数的平均数，为1詈95，故C

错误；

讲座前答卷得分的极差为90-50=40,讲座后得分的极差为K）O-80=20,

所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确.

故选：C.

21.（2023•上海松江•统考二模）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机

调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入X（万元）8.28.610.011.311.9

支出y（万元）6.27.58.08.59.8

根据上表可得回归直线方程y=%+g,其中4=0.76,b=y-ax,据此估计，该社区

一户收入为15万元家庭年支出为（）

A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元

【答案】B

【分析】求出元=10，7=8,则求出方=0.4,最后得到回归直线方程，代入χ=15即可.

【详解】由题意得y=0.76x+九x=∣（8.2+8.6+10+11.3+11.9）=10,

1.

y=-（6.2+7.5+8+8.5+9.8）=8,W∣J⅛=y-0.76丁=0.4,

所以y=O76x+O4,当x=15时,y=11.8,

故选：B.

22.（2023•上海长宁•统考二模）在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是

（）

A.平均数B.众数C.百分位数D.标准差

【答案】D

【分析】根据中位数，平均数、百分位数和标准差的定义即可判断.

【详解】平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量，

所以说平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故A、B不正确；

百分位数是指将一组数据从小到大排列，并计算相应的累计百分位，

则某一个百分位所对应的数据的值称为这一百分位数的百分位数.

所以百分位数不能用来描述一组数据离散程度的量，故C不正确；

标准差反映J'数据分散程度的大小，所以说标准差都是描述一组数据的离散程度的统计

量，故D正确.

故选：D.

23.（2023•上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测）在对吸烟与患肺病这两个分类变量

的独立性检验中，下列说法正确的是（）

（参考数据：P（K226.635）=0.01）

①若Y的观测值满足K2≥6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；

②若Kz的观测值满足K2≥6.635,那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病：

③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认

为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；

④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推

断出现错误.

A.①B.①@C.②③D.①©③④

【答案】B

【分析】由给出的数据，结合观测值的意义判定即可.

【详解】若蜉的观测值满足y≥6.635,则我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关

系，而得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有1%的可能性使推断出现错

误，但不能说明100个吸烟的人中约有99人患有肺病，及每个吸烟的人有99%的可能性

会患肺病.

故①④正确、②③错误.

故选：B

24∙（2023∙上海嘉定•统考二模）有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万.该笔

资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关,根据调研，发现市场的向上、

平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1.据此判断房产投资的收益X∣和商业投资的收

‘X113—3\(X74—2\

益x?的分布分别为InDn7nJ，2,则从数学期望的角度

IP0.20.70.1)IP0.20.70.1)

来看，该笔资金如何处理较好()

A.存银行B.房产投资

C.商业投资D.房产投资和商业投资均可

【答案】D

【分析】计算出房产投资和商业投资的收益平均值，根据平均值判断即可.

【详解】房产投资的收益平均值为：E(X1)=Il×0.2+3×0.7-3×0.1=4,

商业投资的收益平均值为：E(X2)=7×0.2+4×0.7-2×0.1=4,

因为E(Xj=E(X2),所以房产投资和商业投资均叱

故选：D

25.(2023•上海闵行•统考二模)在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有

3000人参加考试.为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成

绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,样本容量为〃.按照[50,60),