江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考数学含答案

江苏省百校联考高三年级第三次考试

数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.己知复数Z满足(l+2i)(z—l)=-2+i,则IZl=()

A.√2B.2C.√3D.3

2.设集合M=｛削e*τ>1｝,N=｛H炉-2x<θ｝,则MuN=()

A.(0,l)B,(l,2)C,(0,+(Z>)D,(2,+∞)

3.已知｛%｝是公差不为0的等差数列，｛d｝是等比数列，且q=4=1,/=4,4=&，设

C,=4,+2,则数列｛%｝的前10项和为()

A.567B.568C.1078D.1079

4.设，ABC的外接圆的圆心为。，半径为2,若AB+AC=249,且Iod=IAC∣,则向量BA在向量

BC上的投影为()

A.3B.-3C.y∕3D.-y∕3

5.某学习小组8名同学在一次物理测验中的得分(单位：分)如下：83,84,86,87,88,90,93,96.

这8名同学成绩的第60百分位数是〃.若在该小组中随机选取2名同学，则这2名同学的得分均小于〃的

概率为()

31539

A.-B.—C.—D.—

7281414

6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如

“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四

棱锥，“鳖麝”指四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”ABC-44G，其中

ACYBC,若A4∣=AB=4,则“阳马”8-A∣ACG体积的最大()

1632

A.—B,—C.16D.32

33

1正ππ,则加∣

7.若tan(万+6)—iosin2e+()+2cos2(-e)=()

tan(2乃一8)4,2^

321

A.-----B.一一C.——D.0

1055

v∙

8.已知函数/(x)=Sin乃x+'-1，则直线y=2x-2与/(x)的图象的所有交点的横坐标之和为

X-I

()

A.2B.lC.4D.0

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不

选或有错选的得0分.

9.已知一组数据玉,工2，,%3构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据毛，则()

A.平均数不变B.中位数不变C.方差变小D.方差变大

10.设函数“x)=2Sin(<wx+0)W>O,O<0<;T),若/(x)=/,f(x)=-f(π-x),且

/(χ)的最小正周期大于g,则()

A.69=3

BJ(X)在区间(0,()上单调递增

C"(x)是偶函数

DJ(X)的图象向左平移工个单位长度后得到函数g(x)=2sin3x的图象

6

11.已知抛物线Cy=的焦点为RP为C上一占，下列说法正确的是()

A.抛物线C的准线方程为ʃɪ-ɪ

16

B.战y=x-l与C相切

C.若M(0,4),则IPM的最小值为26

D.在M(3,5),则.PMR的周长的最小值为11

12.若函数/(x)是定义域为(0,+功的单调函数，且对任意的x∈(0,+s),都有/(/(x)-log2∙x)=6,

且方程|/(%)-4|=2/一9—+12*一5+£在区间(0.2］上有两个不同解，则实粒/的取值可能为()

A.0B.lC.2D.3

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.己知定义在R上的函数/（x）为奇函数，且满足/（l+x）=∕（3+x）.当0≤x≤l时，

f（x）=xi-x,则/仁）+〃6）=.

14.已知α>0,卜+^的展开式中所存项的系数和为64,则展开式中的常数项为________.（用数字

IX）

作答）

15.设jt∈R,直线∕∣,Ax+y-k=O,/直线/2：%-6+2左一3=0,记4,分别过定点A8,∕∣与的交

点为c,则MC+忸C的最大值为.

16.小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中

一种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对

角捆扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长、宽

、高分别为苍KZ,贝广十字捆扎”所需绳长为；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为

.（注：长方体礼品盒的高小于长、宽，结果用含χ,y,z的式子表示）

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的

文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

设各项均为正数的数列｛%｝,记｛q,｝的前〃项和为S,,,4=ʒ,5,,+1+S,,=3。；+「

（1）求｛4｝的通项公式；

,1，、

（2）设""=（〃+1”，求数列也｝的前〃项和却

18.（本小题满分12分）

从①2α-b=2cosB:②S=乎+,2）；③布Sin（A+5）=l+2sin2?这三个条件中任选一

个，补充在下列问题中，并作答.

记，ABC的内角AEC的对边分别为α,6,c~A6C的面积为S,己知.

（1）求C的值；

（2）若b=4,点。在边AB上，CZ）为NTlCs的平分线，BCD的面积为26，求。的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.(本小题满分12分)

如图，在三棱锥A—BCD中，ZACB=，平面AC。，平面

ABC,AC=BC=4,DC=2,AD=2√3.

(1)证明：ADL平面BCD.

TT

(2)设点E在线段AB上，直线OE与直线BC所成的角为一，求平面OCE与平面AC。所成的锐二

4

面角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红

打算报名参加大赛.赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下率记录了两人在封闭强化训

练期问每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数。忘了记录，但知道36≤α≤60,α∈Z.

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

序号X1234567

小明成功次数162020253036a

小红成功次数16222526323535

(1)求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；

(2)根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数V关于序号X的线性回归方程，并估计小明第

七天成功次数”的值.

参考公式：回归方程y=⅛x+4中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为

∑i(χi-χ)(yi-y)Yjχiyi-∏χy

b=上―------------=号----------,a=y-bx.

fα-可2∑x,2-nx2

/=I/=1

参考数据：l×16+2×20+3×20+4×25+5×30+6×36=582U2+22+32+42+52+62=91.

21.(本小题满分12分)

己知椭圆C的焦点为Ft(—1,0)和F2(1,0),且椭圆C经过点M(Is).

(1)求椭圆C的方程.

(2)过点后(1,0)的直线/与椭圆C交于P,Q两点，则在X轴上是否存在定点N,使得NP∙NQ的值为

定值？若存在，求出点N的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(%)=«(x-3)ev-ɪɪ3+^2,其中αeR.

⑴若α=L判断/(x)的单调性.

e

(2)设/(X)有且只有两个不同的极值点%•

(i)求。的取值范围；

e49

(ii)当a>—z时，设王<工2，证明：0<ʃ(X1)<.

参考答案

1-8ACCACBDA

9ABDIOACIlBCD12BC

3____________________

13.-14.1515.416.2x+2y+4z,√(2%+2z)2+(2y+2z)2

S+S-3〃2

17.【详解】⑴由Jsls；13：[此2)，两式相找得%+α"=3(.+q,)(--q,)("≥2),

4＞。，:.4+1-4=*22),

91

当〃=1时，52+S1=3生，且q=],

.e.9a^—3a2—2=0,得a,=2(〃=—J.＜。舍去)，

33

211

:.a＞-a=-------=一,

-'333

数列｛an｝为等差数列，公差为:，

1

an=-n-

b=-------------

(2)由(1)及题意可得"(,ʌ1

(〃+1)・铲

.∙,Tn=bt+b2+bi++bn

ɪ_1

1」+∙+

3-4>YlH+1

(2)4.

3

【详解】ɑ)选①2a-〃=2CCOS5,

22I2

222

则由余弦定理可得2a-b=2c∙以十°，整理可得+h-c=ab,

2aca

可得CoSC=土土竺二≤∙=L因为Ce（0,乃），所以C=2.

2ab2'’3

可得LMnC=Wla即SinC=WI"""=病。SC所以tanC="

24Iab

因为C∈(0∕),可得C=

选③如Sin(A+B)=l+2sin2..

可得V^sinC=2-cosC.可得2sin[C+-j=2,可得sin[c+K)=L

因为Ce(O∕),C+g∈(g,?],所以C+J=J,可得C=C.

6{66J623

(2)th.ABC111,SABC=SACD+S8Cf>.可得

-BCCD-SinZBCD+-CACD-sin∕4Cf>=-CACB-sin∕AC8，可得

222

La又CD+CD=币a①

4

又Scdb=；αXCD-2y∣3.②

由①②可得力—2。—8=0,解得α=4或a=—2(舍去)，

所以。的值为4.

19.【答案】(1)见详解：(2)叵.

7

【详解】(1)证明：在，ACD中，因为AC=4,OC=2,A0=2j1,

所以AC2=A£>2+C02,所以AD_LCO.因为NACB=90,所以BCLAC.

因为平面ACD±平面ABC,平面ACr>c平面ABC=AC,BCU平面ABC,

所以BC，平面ACD.因为ADU平面ACr),所以AOJ.BC.

又A£)!.CD,BCCe£>=C,8C,CDU平面BCO,所以AD_L平面BCD

(2)以C为坐标原点，C4所在直线为X轴，CB所在直线为y轴，过C垂直于平面ABC的直

线为Z轴、建立空间直角坐标系、

由题意得4（4,0,0）,3（0,4,0）,。（0,0,0）,。（1,0,石）,

所以A3=（T,4,0）,CB=（0,4,0）,CD=（1,0,班）.

设点E的坐标为（x,y,z）,AE=λAB（λ∈[0,l]）,

则AE=（Uu,440）=（x—4,XZ）.

所以％=4—4Λ,y—44,Z=O,

所以点E的坐标为（4一4442,0）,

所以Z）E=（3—4444一招）.

71

因为直线。E与直线BC所成的角为一，

所以点E的坐标为(2,2,0),则CE=(2,2,0)..

设平面CDE的法向量为∕ι1=(X],y,z∣),

M:Mfcs二Ms可得2,W).

又平面ACD的一个法向量为〃2=(OJO)

“，/∖ZZ∙n,-Gy∕∏

所以cos(n,n)=.1,,-，=——/,

'12/同同l×√3+3+l7

所以平面OcE与平面ACD所成的锐二面角的余弦值为叵

7

1727

20.【答案】(1)—(2)y=—x+ll;38.

257

【详解】(1)因为36≤α≤60,且αeZ.所以”的取值共有25种情况.

57

又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在E>,+a≥Zz,.

1=1/=I

即16+20+20+25+30+36+α≥16+22+25+26+32+35+35,<«>44.

所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，«的取值共有17情况.

17

所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为一.

25

6

(2)由题设可知Z%%=1x16+2x20+3x20+4x25+5x30+6x36=582,

Z=I

1+2+3+4+5+67_16+20+20+25+30+3649

X=

-----------6-----------Y62

749

八582-6×-×-27_J49277

所以方=--------⅛2^=-,a=y-bx=---×-=11,

91-6×-/2'2

4

27

所以y关于序号X的线性回旧方程为y=万x+ll.

27

当x=7时，γ=y×7+ll=38,

估计小明第7天成功次数。的值为38.

21.【答案】(1)工+匕=1,(2)存在点N(]∙,O],使得NP∙NQ为定值一胃.

4364

【详解】(1)设椭圆C的方程为二+/—=1,

a1o2-l

将点代入椭圆方程，

得(〃―4)(4/—1)=0,解得/=；(舍去)，〃=4,

22

所以椭圆C的方程为三+工=1.

43

(2)当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为x="zy+l,设定点N(r,0).

X=my+↑,

联立方程组V

3Λ2+4∕=12∕

消掉X可得(3〃，+4)y2+6my-9-Q.

设P(ApX),。(々，必)，

6加9

可得M+%=展2-∕%=-Q2-，

3m+43m+4

所以NP∙NQ=(X]—f)(W—f)+Xy2=(mχ+l-∕)(my2+l-r)+γ,y2

2

=(m+l)y1y2+m(l-r)(yl+y2)+(l-r)

-9/、-6m/、2(6r-15)m^^—9(\2

m2÷1一-——+m(l-r)--——+(I-Z)=δ-------E--------+(I-Z)•

3m2+4'73m2+4v)3m2+4v7

2711

要使上式为定值，则6-15=-一,解得好一,

48

OCIIλ2135

此时NP.NQ=-^+1――=_上一.

418J64

当直线/的斜率为0时，P(-2,0)