七种数列数学思想方法-2023年高考数学一轮复习讲义与练习（新高考）解析版

重难点08七种数列数学思想方法（核心考点讲与练）

能力拓展

:函数与方程思想

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）数列｛6,｝满足：8<6<9,lnq,=√ξ7-±=,则（）

A.〃3<〃4，。2019<1B.《(%,々2019)1

ɑ.。3>04,”2019<ɪD.。3>“4,”2019>ɪ

【答案】D

［分析］根据题意设/(ɪ)=4-A-InX(X>0)利用导数讨论函数的单调性，进而得出4-%≥lnx在

［1,+8）上恒成立，作出图象，结合图象即可得出结果.

【详解】由题意知，

设/（x）=Tx-N-InX（X>0）,

贝IJf∖x∙)=-L=+-L^-L=尸2年1=(«¥≥0,

2yjx2x7XX2x7X2x7X

所以函数fM在O+⑹上单调递增，

又/⑴=0,所以/（X）=石-白-InX≥0在［l,+8）上恒成立,

即4-≥InX在［1,+8）上恒成立，

画出函数1=2和y=lnx的图象，如图，

-V

由图象可得，4>¾>Λ3>∙∙∙>¾0,9>∙∙∙>1,

故选：D.

2.（2022・全国•高三专题练习）若数列｛q｝满足q=“，¾tl=sinf∣¾J（∏eN*）,记数列｛4,,｝的前〃项和为

S“，则()

A.α∈(l,2)时，血｝是递减数列B.q∈(-2,T)时,｛%｝是递增数列

C.aeɪ,ɪ∣⅛,26Z202,<2ΛI+S2021D.“=时，S202l>-2019

【答案】C

【分析】设MX)=SinOX,根据导数判断出当xe(0,l)时，MX)=Sin生>>0成立，从而可判断选

项A；当Xe(T,0)时，∕z(Λ-)=sinfyX^-x<O,由此可判断选项B；结合蛛网图可判断选项C；根据α=-g

时，数列｛〃,,｝单调递减，同时结合C中结论可判断选项D.

【详解】设/(x)=Sincg(X)=x,MX)=SinoX,则∕√(x)=]COSo1,

若xe(O,l),则∣∙xw(θ,∣∙),所以存在%,使所以“(x0)=/CoSCXO)-I=O,

2

,,,π,22.(π∖√π--422c

此口'J玉)=_arccos-,Λ(x0)=sιn—x0-AO=----------------arccos—>0»

式π∖2J4ππ

又Λ(0)=A(I)=O,所以〃(X)=Sinx]-％>O,gpsin^yxj>x,

当“e(l,2)时，乃)，a2=sin^ɪɑə∈(0,1),

所以“≥2时，凡+|=SinC>。“，所以选项A错误；

易知函数九(X)=Sind-X是奇函数，因为xe(O,l)时∙，6(x)=Sinc-x>0,

所以xe(T,θ)时，MX)=Sin(IX)-X<0,即sin(/X)Cx,

当α∈(-2,-l)时，一肛一5｝电=sin(^∙α∣)e(-1,0),

所以“≥2时，¾+1=SinfydJ<«„,所需选项B错误;

要证2〃2022—24+¾021,只需证2出022一2%≤Sa[,

即i止2[(。2022-。2021)+(。2021一。2020)+…+(生—4)]44+%+…+k^2021

即只需证2%M-2%≤4,

一M+∣,3

所以只需证---≤T,

%2

k

山匕(4,4+J结合蛛网图，可得到自外>op2>->^

1

所以如≤生≤]=I,所以选项C正确:

%«212

因为所以xc(-1,0)时，∕z(Λ∙)=sin^yX^-Λ<0,即Sin(IX)<x,

当α=-g时，"e=sin(∣^)<q,,所以数列｛α,J单调递减，

且当”-8时，¾→-l,同时结合C中结论可推出选项D错误.

故选C

3.(2022•全国•高三专题练习)已知数列｛q｝的前“项和为S,,,若•是公差为d(J≥l)的等差数列，

则()

aa

A.tz1≤tz2B.q≥/C.a｝a2≤α3a4D.4%N34

【答案】D

【分析】由已知可得S“=[l+(〃-l)d]a,,对于AB,令〃=2,可得q==da2f即幺=d≥l,由于正负

。2

不确定,无法比较大小;对于CD,令〃=3,可得4+4=2㈣，即a3="!/,令"=4,可得4+α2+<¾=3d4,

即包=(2"1号+1)%,作差法比较进而得到选项.

6a

'c1s

【详解】Q」是公差为d(d≥l)的等差数列，其首项为」二1

S

∙'∙=l+(∏-l)t/,即Sn=[1+(H-l)6f]an

对于AB,当〃=2时，S2=al+a2=(l+√)¾,整理得：ax=da2t即，=d≥∖

当q,4>0时，al≥a2∙当4,4<0时，qW°2；故AB错误；

对于当〃时,S=a+a+a整理得：

CD,=33l23=(l+2J)03,α1÷α2=Ia3,又《=血，

J+1

(√+l)tz=2cla,/.aa

233--2-d-22

当九二4时，54=^1+¾+a3+a4=(l+3(√)¾,整理得：al+a2+a3=3da41即

2d+Td+1(2t∕+1)(J+1)

（2"1）4=3血，「.％

3d.玄4-6J2

d+1(2d+l)(d+1)2(2d+l)("l)2

/.aa-aa=da；-------------------------------；------------a：

λ2342d6d2∖2dj2

2J3+5√2+4J+l

dj---------------；--------

∖2di

显然∕3）=*I⅛+J+I⅛为减函数'

且f(d)3=f(l)=l,

≥o,即4/24%,故D正确;

故选：D

4.（2021.浙江•高三阶段练习）已知各项都为正数的数列｛q｝满足4="（">2）,

""’"'+"向=-，+&，（〃€N*）,给出下列三个结论：①若左=1,则数列｛%｝仅有有限项；②若&=2,则数

2

列｛%｝单调递增；③若k=2,则对任意的M>0,睹存在%∈N*,使得台>M成立.则上述结论中正确

rtO

的为（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【分析】对于①，利用数列的单调性，通过累加法即可作出判断；对于②，先证明4,>2,再借助作差法即

可得到结果；对于③，判断数列是有界的还是发散的即可.

eaγα+aaa-

【详解】对于①，V~^÷n+l=一^~∏9ʌn+l-n=--^

%an

又数列｛4｝各项都为正数，・•・〃川-%<0，

；・数列｛〃〃｝单调递减，.∙.。<4〃+1<¾«4，.**-----≤-----；

a∣ιa∖

V⅛-矶<〃〃一,即</一'

4an4

：.arl-aλ=(4-%τ)+(4τ-*)++(¾-6f1)

%*ɑi44卬%

n-∖八n-1

an-aλ<--------,gpO<an<%------,

alal

〃一1

.∙.O<α∣--------,即“<α∣2+l=∕+l,而a?+i为定值，

%

数列｛《,｝仅有有限项，命题正确；

对于②，先用数学归纳法证明%>2.

(I)当”=1时，q=4>2,显然成立；

(2)假设〃=Z时，¾>2,

17

贝IJef+矶=——+2ak>-,

ak2

记/(x)=e-*+x,(x>0),

//(x)=l-e-χ>0,.∙.∕(x)=H*+X在(0,+向上单调递增，

7

2

/(2)=e-+2<-<∕(¾+l),

∙*∙ak+∖>2,

；・对FnWN*，都有%>2.

・・・〃用>0,.,・…e(o,l),

1,a,11

:・八一册=，----eZ>all---------1,

ana∏

又)，=2x—]-1在(2,w)上单调递增，

乂《，>2，4,+∣-q,>2-g-1=；>°，

，数列｛%｝单调递增，命题正确；

对于③，

a

∙.∙e-'+a,,^=--+2an,

a,1

a

:.¾÷1=--+2aιl-e-"''>2an---∖,即an+l>2a,,---],

13

又。〃>2,Jα〃+1>一2-1=2an--,

-)

__«_____

显然(3)c，I存在上界，即一存在上界，

[a'-2Γa"

二命题错误.

故选：A

1

【点睛】方法点睛：递推关系"侬+。向=-一+3“("wNφ)显然无法确定通项，从而要从项间关系切入，

a”

利用单调性、最值、周期性等，结合放缩思想即可得到结果.

二、多选题

5.(2022・全国•高三专题练习)设S“是公差为d("≠O)的无穷等差数列｛α,,｝的前〃项和，则下列命题正确的是

()

A.若d<0,则数列｛S,,｝有最大项

B.若数列｛S,,｝有最大项，则“<0

C.若数列对任意的N*,5向>5“恒成立，则5“>0

D.若对任意的〃eN”,均有5“>0,贝”向>S,,恒成立

【答案】ABD

【分析】由等差数列的前〃项和公式可得5“=日川+,-力”，可看作S,关于"的二次函数且〃§N*,对于

选项A和8,根据二次函数的性质即可判断E误；对于选项C,举出反例S/T=〃2-2”，即可判断正误；对

于选项£>,由S.>0并结合二次函数性质，即可得出4>0,d>0,即可判断正误，从而得出答案.

【详解】解：由于等差数列前"项和公式5“=㈣+与为=#+、-介，

对于选项A,若4>0,则S,,有最大值，则数列｛"｝有最大项，故选项A正确；

对于选项8,当数列｛S〃｝有最大项，则S〃对应的二次函数有最大值时，可知d<0,故选项3正确：

对于选项C,令邑=〃2一2〃，对任意的"∈N",则数列｛S〃｝递增，满足Sτ>S“恒成立，但Sl=T<0,故

选项C错误；

对于选项。，若对任意的N*,均有5,>0,则q>0,1>0,则｛S,,｝必为递增数列，故选项。正确.

综上可知，正确的命题是ABD.

故选：ABD.

【点睛】本题考查等差数列的前"项和公式的应用，5,,=陷|+当也4=g〃2+（4-弓〉（“€曰），可看成

S“关于〃的：次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查逻辑推理能力和函数思想.

6.（2020•全国•高三专题练习）等差数列｛即｝的前〃项的和为a，公差d>0,4和殁是函数

"x）ClnX+*-8X的极值点，则下列说法正确的是（）

42

A.Sit=-38B.«i=-7C.«i=-17D.asɪɪ

【答案】ACD

【解析】首先根据&和4是函数"x）=3nx+gχ2-8x的极值点，可以计算出数列的公差以及首项即可得出

答案

【详解】由题得03J5“（”-；）（A万），令f（χ）=onχ,=:,χ,=?,乂因为公差d>0,

4xXX乙乙

「1

q+5d——

所以所以3经计算，4=T7.所以58=8（"；&）=_38

乙乙■ɪJ乙

a.+ld=—

I12

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了极值点以及等差数列的通项式和前“项和，属于基础题。

三、填空题

7.（2022・全国•高三专题练习）已知：”>1,6,%，％，，%为整数且

al+a2+a3++an=al-a2aian=2013,则”的最小值为.

【答案】5

【分析】根据题意，由小到大代入整数〃的值验证得出答案.

【详解】根据题意，n≥2,〃eN*.

〃=2时，题中等式化简为q+%=4a2=2013

所以4，的可看成是方程r-2013x+2013=0的两个实数解

而方程的判别式为♦=20132-4x2013=3x2013,显然方程的判别式为开不尽的数

所以上述方程无整数解，即〃=2不符合题意；

〃=3时，题中等式化为％+〃2+〃3=a∖*a2'a3=2013

根据题意，可设4≤4≤%,且为整数，又2013=3x671=3x11x61

tz+a=2013-a≤-2

1234≥2015

①q,%同时为负整数时，zJ二2013二]此时得

出≤2013

«3

显然不存在满足题目条件的的,即4，%同时为负整数时不符合题意；

4+%=2013-％22

②4,%同时为正数时，,a*=型得^≤2011)

此时4≤671,显然不满足条件；

③q,%g三个数中有一个为O时,情况与〃=2相同

所以〃=3时，不符合题意：

〃=4时，同上可设4≤%≤%4%由2013=3x671知,

当%%均为整数时，％≤671,显然不符合题意

[a,+a.=2015

当4，%吗，4存在负数时，q=%=T,此时有1小。

[a3∙a4=2013

同〃=2时的分析方法，不存在符合条件的a3,α4.

所以，〃=4不符合题意；

〃=5时，取4=〃2=-L%=g=∣g=2013,此时满足题中条件

所以满足条件的〃的最小值为5.

故答案为：5.

8.(2022•浙江•龙港中学高三阶段练习)等差数列｛%｝满足(4,+4)+4d2=ι(zj≥2,aeN),贝IJa“+%的

取值范围是.

【答案】f-√2,√21

【分析】由题设可得-g<4<g,令f=α,,+∕M则r-2d=a,,+α,,τ,可得产―4%+8才=1，将问题转化为

/(x)=8χ2-4"+产7在Xe(C)上有解，利用二次函数性质求f范围即可.

【详解】由题设，(α,,+αa)2=l-4d2=(l-24)(l+2d)≥0,即-J≤d≤g,

当d=±；时，｛%｝为常数列，显然有矛盾，故-g<d<g,

令f=α,,+α,,+∣,则f-2"=α,+α,τ,

所以(4,+«„_,)2+4J2=Q—2d)?+4/-t2-4df+8d2=1,

令/(x)=8f-4∕x+∕2-l,则/(x)在X€(-；,；)[：有解，

又/O)开口向上且对称轴为X=J,ʌ=16/2-32(/2-1)=32-16产，

当r=2,即f=±0时，工=±立满足要求：

4422

当-夜<f<√∑时，i∈(-^-,⅛⊂(-l,1),又/(3=(r-l)2>o,γ∙(-3=(f+i)2>o,满足要求；

综上，r=¾÷¾+1∈f-√2,√2].

故答案为：[-后,&]

9.(2022・全国•高三专题练习)在数列｛4｝中，a,=l,¾=«„_,+«(«>2,»∈N*).若不等式3>需对任意

的〃eN*恒成立，则实数彳的取值范围是.

【答案】[2,E)

【分析】由已知得4-α,ι=”,运用累加法求得4=叫上D，代入不等式，由恒成立思想可得答案.

2

【详解】解：：“22时，a,,=。,-+”,即q-q1τ=",

∙'∙an=(a,,~a,,-l)+(a,,-l~%-2)++(%-4)+%

/、n(n+∖]

=ZZ+(〃-1)+…+2+1=—•

又"=1时，4=1也符合上式，，4=皿的.

2

八2

λλ,Λ+1..4>ɔ

不A等Mr-式4λL弱化u为1+Q√

--------Z—<2

V,I2,ΛΛ≥2.

故答案为：［2,+∞).

10.(2022•全国•高三专题练习)某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关于

对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若从

高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以I为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为

人.

【答案】900

【分析】假设高一、高二、高三抽取人数分别为3;x,x2,(x,根据抽取的容量可得X,然后简单计算，即可

得到高一人数.

【详解】因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以w为公比的等比数列

设从高二年级抽取的学生人数为X人，

则从高二、高三年级抽取的人数分别为q3χ,(2χ.

323

由题意可得Gx+x+§x=38，所以X=I2,..∙.1x=18

OO1Q

设我校高一年级的学生人数为M再根据会=?,

1900N

求得N=900.

故答案为：900

【点睛】本题考查分层抽样的应用，熟悉分层抽样的概念以及基本量的计算是解题关键.

四、解答题

IL(2022∙河北•模拟预测)已知数列｛《｝的前”项和为S“，且25“一1=〃(24+4-3).

(1)求数列｛《｝的通项公式：

(2)设ς,=?”,求数列｛%｝的最大项.

【答案】⑴⑵=%8=今

【分析】(1)先令〃=1,"=2求出4，%，然后利用S,,-ET=%，代入便可求的通项公式.

(2)求导后分析单调性，便可知数列的最值.

⑴解：由题意得：

25“—〃-=〃(26?]+CLy_3)

2

2S1-I=2a]-1=26+tz2—3J6r2=2

2S?—2~=2(q+%)-4=2(2q+1—3)]q=l

2

/.2Stl=n+n

当)=1时,£=q=1

当九≥2时,2(S〃—SztT)=2々〃=〃2+〃_(〃_1)2_(〃-1)=2〃，解得〃〃=〃

故数列｛4｝的通项公式〃“=〃

,__,Ci-1132〃—113

(2)由(1x)可r知：c„ɪ7ɪ­=•3，

设函数/(χ)=a⅛^113∙=在/

,ʃ.、2x3"—(2H3)x3'ln32-2xln3+l131n3

m则lf。)=二—

令，(X)=O,解得XO=孚+J7,可知/e(57,58)

当Xe(O,x°)时，/(x)>0,/(x)单调递增；

当"€(%,+∞)时，/(x)<0,/(x)单调递减；

c"=%"3=与”可以看成函数/(x)取正整数时的离散的点.

因为〃为整数，故〃=57或〃=58,有C57=c⅛i为数列的最大值.

故数列｛c,,｝的最大项为：%=%=｝

I2∙(2022∙全国•高三专题练习)等比数列｛叫的前〃项和为S.，已知对任意的"∈M,点(〃,S“)，均在函数

y=bx+r(b>0Scb≠],b,『均为常数)的图象上.

⑴求「的值；

⑵当b=2时，记2=詈(〃€*)，求数列｛〃,｝的前〃项和T.；

(3)由(2),是否存在最小的整数m,使得对于任意的〃eN*,均有3-2],<为，若存在，求出m的值，若

不存在，说明理由.

【答案】⑴，=-1.⑵∣∙-∙^^∙⑶存在，m=41.

【分析】（1）山已知得S,,=∕+r,由"=1,"N2求得4,4,,再根据等比数列的定义可求得答案;

（2）由（1）求得数列也J,再运用错位相减法求得答案；

（3）运用作差法判断出数列的单调性，由此可得答案.

（1）W：因为对任意的wwN*,点（〃,S“），均在函数y="+r（b＞O且bxl,b,r均为常数）的图象上，所

以得Sz,=b"+r,

当〃=1时，4=S1=b+r,

当〃..2时，«„=5„-S,-=b',+r-(b"-'+r)=(b-∖)bn-',

又因为｛4｝为等比数列，.•・公比为b,所以詈=$¥=%，解得r=τ,首项q=/7-1,

∙∙q=(6T*τ；

..n+↑n+1n+1

n

(2)解：当8=2时，an=2^',或=五一=EH=FT，

-234n+∖1234n+∖

贝“十二中+方+梦+…+声''5*=万+齐+无+.••+产'

I

两式相减'得TI=堤+/+泉+…+击-需=g+二〃+131〃+1

2"+2-7Γzi

144T^2^

31/2+13n+3

2^^27^r7r-2^2π+,

〃+3m〃+3mr,丁“》,,

（3）解：若3-27；＜养使得对于任意的“eN*,都成立，,3-0-＜不，即rlrι方「＜方对于任息的"N，

NU乙NU

都成立,

n÷1)+3〃+3_-〃-2

又<0,

2〃2"+ι

・•.竽的最大值在〃=1时取得，最大值为2,

点＞2,m＞40,所以存在这样的加=41符合题意.

题型二：数形结合思想

一、单选题

1.（2022•全国•高三专题练习）记S,为数列｛”“｝的前项和，己知点（",《,）在直线y=IO-2x上，若有且只有

两个正整数〃满足s.2k,则实数上的取值范围是()

A.(8,14]B.(14,18]

Q1

C.(18,20]D.(18,—]

4

【答案】C

【解析】由已知可得数列｛4“｝为等差数列,首项为8,公差为-2,由等差数列的前"项和公式可得S.=-/+9〃，

由二次函数的性质可得〃=4或5时，S”取得最大值为20,根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得

Z的取值范围.

【详解】解：由已知可得4=10-2”,

由α.-∕τ=-2,所以数列｛α,,｝为等差数列，首项为8,公差为-2,

所以S“=8〃+X(-2)=一"+9〃，

当〃=4或5时，S11取得最大值为20,

因为有且只有两个正整数〃满足S,,≥k,

所以满足条件的〃=4和〃=5,

因为S3=E=18,

所以实数k的取值范围是(18,20].

故选：C.

【点睛】方法点睛：最值范围问题常用的方法有：(1)函数单调性法；(2)数形结合法；(3)导数法；(4)

基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.

2.(2020•黑龙江・牡丹江一中高三阶段练习(理))定义max｛a,。｝=1'"?',若函数

，J∖b,a<b

/(x)=max｛-χ2+2,χ-4｝,数列｛%｝满足的=〃％)(〃eN*),若｛αz,｝是等差数列，则4的取值范围是()

A.｛-2,1｝B.(―∞,-3]∣j[2,+∞)

C.(F,-3]∣｛-2,1｝D.(7,—3][2,^)∣｛-2,1｝

【答案】C

【解析】求得/(x)的解析式，根据｛4｝是等差数列，取得4的取值范围.

产一二+2解得「或

【详解】由于定义max｛α,b｝=而函数/(幻=0m｛-』+2»-4｝,由,

y=x-4

fx=2

jy=-2画出3=-炉+2,丁=%-4的图像如下图所示,

X-4∙,X≤—3

由图可知/(x)=,-/+2,-3<X<2.

x-4,x≥2

由于数列｛q｝满足("cN*),且｛4｝是等差数列.当4≤-3时，¾=/(«,)=«,-4≤-7,

α,=∕(α2)=¾-4≤-ll............推辞类推，数列｛5｝是首项为4,公差为T的等差数列，符合题意.

当-3<%<2时，-7<-d+2<2,要使｛%｝是公差为Y的等差数列，则需-d+2-q=-4,解得

4=-3或q=2不符合.由-£+2=χ,解得x=-2或x=l.则当q=-2时，q=-2为常数歹ij；当q=1时，an=1

为常数列.此时｛α,,｝为等差数列.

当q22时，由于色=4-42-2,故｛《,｝不能构成公差为Y的等差数列，也不是常数列，不符合题意.

综上所述，4的取值范围是(9,-3],｛-2,1｝

故选：C

【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查等差数列的知识的运用，属于中档题.

二、填空题

3.(2020•全国•高三专题练习)已知max｛a,。｝=[：'?-“',ʃ(ɪ)=maxʃlnɪ-/ɪ-ɪx2-∕x-el(e为自然对

∖b,b>aI2J

数的底数)，若/(x)≥-2在xw[l,e]上恒成立，则实数r的取值范围为.

(2∖[e

【r合案】-8,---

IeJ

[^∙⅛τ]^⅛^(∙y)=max∣ln-^-p∙^2-^,则.f(x)N-2在xe[l,e]上恒成立等价于g(x)2fx—2在x∈[l,e]上

恒成立，在直角坐标系中画出函数y=lnx-g,y=/_e,y=g(x)的图像，结合图像，进而可求出结果.

【详解】设g(x)=max,nx-J,χ2-e1,

则人力N-2在X∈[1,e]上恒成立等价于g(x)N枕一2在X∈[1,e]上恒成立，

在直角坐标系中分别画出y=∣nx-g,y=χ2-e的图象，

函数y=lnx-g与y=χ2-e都过点A(G,0),

又当X=e时，函数J=W-e与函数X=e相交于C(e,/-e),

当X=I时，函数y=lnx-；与函数χ=l相交于点O(I

根据条件得＞=g*)图象如下图所示，

显然函数y=rχ-2,过定点3(0,-2),

由图象易得，当fe[l,e]时，将函数y=a-2旋转到过点A时，函数y=rx-2的斜率为％α=型，

e

所以f≤2叵时，/SR-2在χ∈[l,e]上恒成立，

e

【点睛】本题主要考查分段函数的问题，考查数形结合的思想，熟记分段函数的性质等即可，属于常考题

型.

4.(2020.山西长治•高三阶段练习(理))定义R在上的函数/(x)为奇函数，并且其图象关于x=l对称；

当x∈(0,1］时,f(x)=9X-3.若数列｛“"｝满足an=f｛logɔ(64+n))(n∈W)；若n<50时，当Sn=a∣+a2+...+an

取的最大值时，∏=.

【答案】26

【解析】先山函数/(x)的奇偶性和对称性求得函数的周期,再根据函数的值域及对数运算求得q>0及

an<0时"的取值范围,即可求得4+4+%+…+4取得最大值时”的值.

【详解】因为函数f(x)为奇函数,所以/(T)=-/6),

又因为其图象关于直线X=I对称，

所以"Jx)="l+x),即/(τ)=∕(2+x),

所以〃2+x)=-∕(x),可得/(x+4)f(x+2)"(x)

即函数/(x)是周期为4的周期函数，

因为当Xe(0,1］时，/(x)=9x-3,

所以/(；)=9二3=0,

因为函数/(X)=9'-3为(0,1］上的增函数，

所以当xw(θ,g)时,J∙(χ)<O,当xe(g,l时,/(x)>0,

作出函数/(x)在(-2,2)上的图象如图所示:

13is

x∈,)时，/(x)<0.

22

因为1≤〃≤50,〃∈N',

所以6Vlog2(64+〃)<log2∣14<7.

1O

而当6VI0g2(64+〃)<—=Iog2MyflB't∕∕∏>O

即当64<64+n<64√2≈90.496,πn>0

.∙.∕7≤26时，an>0.

当27S"W50时，TVlOg2(64+〃)Vk>g2l14V7,此时助V0,

•*.当几=26时,S〃=a/+〃2+...+〃〃取的最大值.

故答案为:26

【点睛】本题考查函数奇偶性、图象的对称性、函数的周期性，对数的运算及数列前n项和的最值问题;

考查学生的运算求解能力、抽象概括能力、分类讨论思想和数形结合思想；属于综合型、难度大型试题.

题型三：分类与整合思想

一、单选题

1.(2022•北京・北大附中高三开学考试)在等比数列｛4｝中，4=-9,%=T记T11=a,a,a5...a2,,.l(rt=l,2,

则数列亿｝()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】A

【分析】根据题意易求得等比数列｛4｝的公比0，设数列也｝为等比数列｛q｝的奇数项《，生，%，…。a

Cn=i,2,...),则数列也“｝是以4为首项，不为公比的等比数列，再分奇偶讨论数列｛1｝的项，即可得

出结论.

【详解】解：设等比数列｛〃,,｝的公比为4，

则，=q4=:,所以q'；,

设数列也｝为等比数列｛%｝的奇数项49吗，…,％,,τ(n=l.2,

则数列他,｝是以-9为首项，ɪ为公比的等比数列，

所以(=卅345«2,,-I=b∖blbibn，

当〃“时，同<1,当1≤W≤3时，战归1,

当〃为奇数时，刀,<0,因为"=τ,

所以(≥q=-27,

当”为偶数时，Tn>0,因为4=7,

所以(≤(=27,

综上所述，数列亿｝有最大项(=27和最小项7；=-27.

故选：A.

nπ∖〃sin号］,其前〃项和为S,,,贝1］与8为（）

2.（2022・全国•高三专题练习）数列｛4｝的通项4=ncos-I

A.173B.174C.175D.176

【答案】B

【分析】化简可得为="2COS等，讨论“取不同值时勺的通项公式，并项求和.

【详解】

当w=3k(%eN*)时，/A=")?；∕ι=3%-l(左eN*)时,%,∣=一12^_9_；

〃=302(丘")时，*=-(女;2)2

…τ+"-曰-曰+…W

所以S"=9（l+2+L+6）-∣×6=9×^1+^x6-y=174

故选：B

3.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足4=2,。2=3且。什2-4,=1+（-1）"，"€.，则该数列的前

9项之和为（）

A.32B.43C.34D.35

【答案】C

【分析】讨论“为奇数、偶数的情况数列｛4｝的性质，并写出对应通项公式，进而应用分组求和的方法求数

列的前9项之和.

,

【详解】an+2-an=l+(-l)",neN,

二当〃为奇数时，，向-%z=0,则数列｛%τ｝是常数列，%T=4=2;

当”为偶数时,a2n+2-a2n=2,则数歹1_|｛4“｝是以4=3为首项，公差为2的等差数列,

4×3

,

..6Zl+¾++a9=(ai+¾++Λ9)+(¾+a4++¾)=2×5+(3×4+——-×2)=34.

故选：C

4.（2022•全国•高三专题练习）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次

取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次

取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去，得到一个子数列I,2,4,5,7,9,10,12,14,

16,17,19...,则在这个子数列中第2020个数是()

A.3976B.3974

C.3978D.3973

【答案】A

【分析】根据题意分析出第〃次取〃个数，前〃次共取国P个数，且第〃次取的最后一个数为序,然后

算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2020个数是3976.

【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前〃次共取了1+2+3+…+〃=吟D个数,

且第n次取的最后一个数为二,

当“=63时，63x(63+1)=20①

2

即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为63‘=3969,

即第2016个数为3969,

所以当〃=64时，依次取3970,3972,3974,3976,所以第2020个数是3976.

故选：A.

二、多选题

5.(2021.江苏常州.高三阶段练习)数列｛4｝满足q=1,的用-(〃+1)4=1,w∈N*,其前〃项和为S“，下列

选项中正确的是()

A.数列｛%｝是公差为2的等差数列B.S,,除以4的余数只能为1或0

C.满足S,,≤100的”的最大值是9D.2Sn=n(an+∖)

【答案】ABD

【分析】由题意-5+1)/=1,可得巴一%=丁==1一一再由叠加法求出｛%｝的通项公式，

进而求｛4,｝的通项公式，可判断A；再求｛4｝的前"项和S“代数式可判断D,分别令“为奇数，偶数两种情

况判断B；令£,100,求出〃的最大值，判断出C,从而选出答案.

]

【详解】解：nα,-(n+l)α=l,可得落斗

n+πn(n+l)nn÷l

n-∖nn-2n-∖

可得q=2〃-l,

则q.∣-4=2("+l)T-2N+1=2,所以｛α,,｝为公差为2的等差数列，所以A正确;

可得S,=-------------=n，

当〃=2&一1时，k∈Z,贝IJS),=(2k-l)2=4公-4k+l,显然S.除以4的余数为1；

当〃=2&,keZ,则S,,=442,可得S“除以4的余数为0,所以B正确；

因为S"=",JOO,4,10,UJ得此时的〃的最大值为10,故C不正确；

因为S.=幽押=*S1,所以2S.="(α,,+l),故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

6.(2022•全国•高三专题练习)已知qeN*(i=l,2,…9),且对任意左∈N*(2≤A≤8)都有4=为1+1或

ak=4+ιT中有且仅有一个成立，4=6,a9=9,则q+,+%的最小值为.

【答案】31

【分析】根据题意分两种情况讨论求出4++%的值，即可求得4++的的最小值.

【详解】解：由题设，知：ai≥∖.

%=4+1或4=4-1中恰有•个成立；

%=%+l或％=4-l中恰有一个成立：

4=%+1或%=%-1中恰有一个成立；

贝|]①%=4∣+1=7,ɑɜ=α4-1,a5=a6-I,a1=αg—1,

则4+%++%=25+2(%+4+%),当％=%=%=1时，at+a2++4,的和为最小值为：31：

②％=”3-1,=α5-1,α6=6f7—1,as=a9—I,

则4+/++%=26+2(4+%+<⅞),当4=4=/=1时，4+生++处的和为最小值为：32：

因此,ai+a2+•+%的最小值为:31.

故答案为：31.

四、解答题

7.(2022•北京•二模)已知数列A：%,a2,...,a2,ll,其中用是给定的正整数，且帆W2.令=,

i=l,∙∙∙,m,X(A)=max{⅛l,⅛2,,2},q=max{02"∣,%},i=l,…，y(A)=min{q,C2,∙,ςn}.这里，max{}

表示括号中各数的最大值，Inin{}表示括号中各数的最小值.

(1)若数列A：2,0,2,1,-4,2,求X(A),Y(A)的值；

(2)若数列A是首项为1,公比为4的等比数列，且X(A)=Y(A),求q的值；

(3)若数列A是公差4=1的等差数列，数列8是数列A中所有项的一个排列，求X(B)T(B)的所有可能值(用

加表示).

【答案】(I)X(A)=1,V(A)=2；⑵4=1；(3)所有可能值为Tl,2,...,2m-3.

【分析】(1)根据函数定义写出X(A),Y(A)即可.

(2)讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设q定义判断

{b,,b2,...,bm}r>{cl,c2,...,cm)=0,当存在相等项，由等比数列通项公式求g,进而确定9的值；

(3)利用数列A的单调性结合(2)的结论求X(B)-FCB)的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨

论求证X(B)-V(B)对应所有可能值均可取到，即可得结果.

(1)由题设,(=0,b2=l,b3=-4,则X(A)=max{0,1,-4}=1,

c1=2,c2=2,C3=2,则Y(A)=min{2,2,2}=2,

所以X(A)=1,Y(A)=2.

(2)若数列A任意两项均不相等，

当i=l,...,w时2≠q∙;

当i,Je{1,…,利}且i≠/时，{%τ,¾}n{¾7.l,α2J=0,

又白=min{a2j-l,i