江苏省南京市六校2024届高三下学期期初联合调研数学

第第页2023-2024学年第二学期期初联合调研试题高三数学2024.2一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z满足z2+3i=1+i2023，则复数z对应点位于第（

A．一 B．二 C．三 D．四2.在数列中，已知，则的前11项的和为（

）A．2045 B．2046 C．4093 D．40943.已知平面向量a=2,0，b=1,3，则向量a−bA．π6 B．π3 C．2π4.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆的蒙日圆是，若圆(x−3)2+(y−4)2=9与椭圆x2m+yA．2或8 B．3或63 C．3有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（

）A．300 B．360 C．390 D．420已知则（

）A．b<a<cB．c<b<aC．a<c<b7.某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为（

A．106米 B．203米 C．2033米8.斜率为的直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左，右两支分别交于A，B两点，以双曲线右焦点为圆心的圆经过A，B，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知样本数据x1,x2,⋯,xn的平均数为xA．与原数据的极差相同 B．与原数据的众数相同C．与原数据的方差相同 D．与原数据的平均数相同10.已知函数，给出下列四个选项，正确的有（

）A．函数的最小正周期是B．函数在区间上是减函数C．函数的图象关于点对称D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到.11.如图，该几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90∘得到的，已知点G是圆弧CE的中点，点H是圆弧DF上的动点（含端点），则下列结论正确的是（

）A．不存在点H，使得CH⊥平面BDGB．存在点H，使得平面AHE//平面C．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角的余弦值为7D．不存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的展开式中的系数为80，则m的值为eq\o(▲,________)．13.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为eq\o(▲,________)．14.已知实数m，n满足，则mn=eq\o(▲,________)．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．16．（15分）扬州某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量（单位：mg）与药效指标值（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据（，2，⋯，20），其中，分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，.(1)求关于的经验回归方程；(2)该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立.①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率.参考公式：，.

17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，上的点，且.

(1)证明：平面；(2)若平面，为的中点，，，求二面角的正切值.（17分）已知，，动点Z满足.（1）求动点Z的轨迹曲线E的标准方程；（2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是k1,k（i）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；（ii）证明：AB//19．（17分）设数列an满足an2=an+1a（1）若an是等差数列，且公差d≠0，求λ（2）若a1=1,a2=2,a3=4，且存在（3）若λ≠0，且数列an不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的n∈

2023-2024学年第二学期期初联合调研试题高三数学答案2024.21-8.ACABCADD9.AD10.ABD11.BCD12.13.514.15.(1)；(2)（1）当时，，，则，而，所以曲线在点处的切线方程为；…………6分（2），由，得，设，则，令，得，则时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，故，故,即实数a的取值范围为.…………13分16.(1)；(2)①0.008；②（1），，所以，，所以关于的经验回归方程为.………………5分（2）设事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“所抽药品为不合格品”，①因为设备的生产效率是设备的2倍，所以，，，，所以，………………12分②，所以三件不合格品中至少有两件是设备生产的概率为…15分17.(1)证明见解析；(2).（1）如图，在上取一点G，使得，连接，，因为，且是平行四边形，所以，故，又因为平面，平面，所以平面，因为是平行四边形，且，所以是平行四边形，故，又因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.………………7分（2）方法1：当E为中点，，时，易知，F为中点，又因为平面，所以，，两两互相垂直，则以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立坐标系，则，，，，所以，，.设平面与平面的法向量分别为，，则，，不妨取，，则，，所以，故二面角的正弦值为，正切值为.………………15分方法2：过作，垂足为M，分别连接，，，

因为平面，平面，所以，因为，是平面内两相交直线，所以平面，因为平面，平面，所以，，即就是二面角的平面角，设，，，因为E为的中点，，底面是平行四边形，所以F是中点，设，因为，易知，且，所以，所以，所以，所以，，所以，即二面角的正切值为.18.（1）x2（1）因为所以Z点的轨迹是以为焦点的椭圆，其长轴长2a=4,焦距为2c=2，b=a2所以曲线E的标准方程为：x24+y（2）（i）设点G(x,y)，因为y=k1(x−2)因为y=k2x+因为k1k2=34，所以因为ABCD为四边形，所以2y+3所以点G在定直线3x−2y=0上；…………………10（ii）由题知A(2,0),B(0,1)，直线AB:y=−3设C(x1,将y=kx+m代入x24+所以x1所以k=k所以3m所以(163所以163k3所以AB//CD.…………………17分19.（1）λ=1；（2）1128；（1）由题意，可得an化简得(λ−1)d2=0，又d≠0，所以λ=1.

………………（2）将a1=1,a2=2,所以an2=an+1an−1欲存在r∈[3,7]，使得m⋅2n−1⩾n−r，即r⩾n−m⋅则7⩾n−m⋅2n−1，所以m⩾n−7令bn=n−7所以当n>8时，bn+1<bn；当n=8时，b9所以bn的最大值为b9=b8=1128，所以（3）因为数列an不是常数列，所以T⩾2①若T=2，则an+2=an恒成立，从而a3所