2023年高考数学一轮复习讲义：第五章平面向量与复数

第五章平面向量与复数

§5.1平面向量的概念及线性运算

【考试要求】L理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运

算，并理解其几何意义及向量共线的含义∙3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有力囱的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为止的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量

法则(或几何意义)运算律

运算

Nb

a

交换律：a+b=b+a;

加法三角形法则

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四边形法则

减法a-b=a+(-b)

a*

儿何意义

数乘,∣2α∣=川“I，当2>0时，2。的方向与“的方向λ(∕ιa)=(λμ)a↑

相同;(λ+μ)a=λa+μa↑

当2<0时，加的方向与。的方向相反;λ(a-∖-b)=λa+λb

当A=O时，Aa=O

3.向量共线定理

向量”(α≠0)与B共线的充要条件是：存在唯一一个实数人使得b=λa.

【常用结论】

I.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

量，即用£+无益+用用4-----FA,,-∣A,=XjX,,特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量

和为零向量.

2.若产为线段48的中点，。为平面内任意一点，则泣'=∕δλ+5h).

3.若A,B,C是平面内不共线的三点，则莉+而+无=OoP为AABC的重心，崩=IGM

~∖~AC).

4.若宓=7∂⅛+〃拉7(九〃为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件是a+p=l.

5.对于任意两个向量4,b,都有IkII-I训WkslWl⑷+向.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(I)IaI与Ibl是否相等，与a,5的方向无关.(√)

(2)若向量“与》同向，且间>|例，则a>b.(×)

(3)若向量初与向量δb是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.(X)

(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(J)

【教材改编题1

1.给出下列命题：

①若a与b都是单位向量，则a=b∙,

②直角坐标平面上的X轴、y轴都是向量；

③若用有向线段表示的向量而与而不相等，则点M与N不重合；

④海拔、温度、角度都不是向量.

则所有正确命题的序号是()

A.①②B.①③

C.②③D.@@

答案D

解析①错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；②错误，由于只有方向，没有大

小，故X轴、），轴不是向量；③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；

④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.

2.下列各式化简结果正确的是（）

A.AB+A＜J=BC

B.AM+MB+BO+OM=AM

C.AB+BC-AC=O

D-AB-AD-DC=BC

答案B

3.已知“与方是两个不共线的向量，且向量α+劝与-S-3α）共线，则4=.

答案S

解析由题意知存在Z∈R,

使得α+M=M-（b—3α）］,

-探究

题型一平面向量的概念

例1（1）给出下列命题，正确的有（）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,B,C,。是不共线的四点，且Q=皮，则四边形ABCO为平行四边形

C.α=Z＞的充要条件是IaI=向且“〃力

D.已知九"为实数，若/.a=μb,则。与B共线

答案B

解析A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定

有相同的起点和终点；

B正确，因为赢=灰?，所以而|=|成!且油〃皮，又4,B,C,。是不共线的四点，所以

四边形48C。为平行四边形；

C错误，当a〃Z＞且方向相反时，即使Ial=Ib也不能得到α=b,所以Ial=Ibl且a〃b不是。

=6的充要条件，而是必要不充分条件；

D错误，当2=〃=0时，α与》可以为任意向量，满足痴=曲，但α与b不一定共线.

(2)如图，在等腰梯形ABe。中，对角线AC与8。交于点尸，点E,F分别在腰AQ,BC上,

EF过点P,且E77"A8,则下列等式中成立的是()

A,AD=BCB.AC=BD

C.PE=PFD.EP=PF

答案D

【教师备选】

下列命题为假命题的是()

A.若α与b为非零向量，且a〃b,则α+5必与α或人平行

B.若e为单位向量，且a〃e,则a=∣a∣e

C两个非零向量a,b,若|a—。I=Ial+|可，则a与方共线且反向

D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件

答案B

思维升华平行向量有关概念的四个关注点

(1)非零向量的平行具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

⑷Ai是与a同方向的单位向量.

Ial

跟踪训练1(1)下列命题不正确的是()

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于O

C.若a,5都为非零向量，则使声喘=O成立的条件是a与b反向共线

D.若a=》，b—c,则a=c

答案A

解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

C项，因为合与言都是单位向量，所以只有当与l是相反向量，即a与b是反向共线时才

成立，故C正确；

D项，由向量相等的定义知D正确.

（2）对于非零向量α,b,%+》=0"是%∕⅛”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若α+⅛=0,

则α=-b,则α〃儿即充分性成立；若a〃b,则a=-b不一定成立，即必要性不成立，

即飞+5=0”是“all6'的充分不必要条件.

题型二平面向量的线性运算

命题点I向量加、减法的几何意义

例2（2022・济南模拟）已知单位向量ei，©2,…,©2023,则期+e?+…+e2023∣的最大值是>

最小值是.

答案20230

解析当单位向量e∣,€2,…，02023方向相同时，

∣eι+e2∏----He2023∣取得最大值，

∣ei+e2H----F¢2023∣—kll+k2HHe2023∣

=2023；

当单位向量e∣,C2,•••»e2023首尾相连时,

ei+e2+…+e2O23=O,

所以∣e1+e2T----Fe2023∣的最小值为0.

命题点2向量的线性运算

例3如图，在四边形A8C。中，AB//CD,ABLAD,AB=2AD^2CD,E是BC边上一点,

且反?=3比，尸是AE的中点，则下列关系式不正确的是（）

-A1——►—►

λ.BC=~^AB+AD

—►1—►1—►

BAF=^AB+-jAD

C.B>=-∣Aβ+∣AD

—*If2-

-τAB-^AD

D.CF=0ɔ

答案C

AAAAA--AɪAɪA►

解析因为BC=BA+A。+OC=-AB+A。+/B=~^AB+AD,

所以选项A正确；

―►1―►1—►—►

因为A∕7=]AE=1(4B+BE)

=KAM砌,

而反=V赢+病，

-A1-Aɪ-►

代入可得A尸=铲B+,AO,

所以选项B正确；

因为游'=4＞一赢，

~►1­►1―►

而4尸=1A8+§4£),

.2—]一

代入得B尸=一铲8+养。，

所以选项C不正确；

因为#=历+扇+赤

=-^AB-AD+AF9

f1-1-*

而4/=养3+?£),

.fIf2f

代入得CT7=-τAB~τAD,

O3

所以选项D正确.

命题点3根据向量线性运算求参数

例4(2022.青岛模拟)己知平面四边形ABCO满足Ab=I正，平面内点E满足读'=3无，CD

与AE交于点M,^BM=xAB+yAD,则x+y等于()

,55

ʌib--2

44

e,ɜD.—ɜ

答案C

解析如图所示，

AD

易知BC=4ADf

CE=2AD9

BM=AM-AB

=∣AE-AB

1—►―►—►

=^AB+BE)-AB

1―►——►—►

=W(AB+6AQ)-AB

2-►—►

=-^AB+2AD,

4

.∙x+y=g∙

【教师备选】

1.（2022・资阳模拟）在AABC中,AD为BC边上的中线,若点。满足∙5=2∂b,则无'等于（）

A.一qAB+%C2-1→

B.^AB—^AC

C.∣AB-∣ΛCD.—∣AB+∣AC

答案A

解析如图所示,

,：D为BC的中点，

.∙.ΛD=∣(AB+AC),

t

∖AO=2θb9

.∖AO=^AI)=^AB-∖-^AC9

：.OC=AC-AO=AC-(∣AB+∣AC

=—∣AB+∣AC.

2.(2022・长春调研)在aABC中，延长BC至点M使得3C=2CM,连接AM,点N为AM上

一点且AN=%M,若AN=Λ48+"AC,则λ+μ等于()

11

-B-

A.32

11

C-D-

2•3

答案A

解析由题意，知病=g赢=/赢+的

If13->

=^AB+^×^BC

=∣A⅛+^(AC—AB)

1一1一

=~7AB+τAC,

O2

又病=痴+痴∂,

所以％=一焉，//=|,贝!∏+A=∙∣.

思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

跟踪训练2(1)点G为AABC的重心，设寿=α,GC=b,则B等于()

31

A.b-2aB./a—/b

C.∣α÷^⅛D.2a+⅛

答案A

解析如图所示，由题意可知

^AB+BG=^GC9

故赢=Gb—2灰;=~一20.

(2)(2022•大连模拟)在AABC中，AD=2DB,AE=2EC,P为线段。E上的动点，^AP=λAB+

μACfλf/ER,贝!|丸+〃等于()

23

A.1BqC，2D.2

答案B

解析如图所示，由题意知，

AE=∣AC,AD—^AB,

设丽=x5k

所以布=Q)+5>=Q)+x虎

-AD-∖-χ(AE-AD)

=ΛAE+(I-X)AD

2-2―

=QXAC+g(l—x)AB,

22

所以〃=Wx,λ=^(l-X),

222

所以2+〃=]x+§(l-χ)-y

题型三共线定理及其应用

例5设两向量”与b不共线.

(1)若最="+Z>,BC=2a+Sb,CD^3(a-b).求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定实数化使Aα+b和。+心共线.

⑴证明'：AB=a+b,BC=2a+Sb,

CD=3(a—b).

.∖Bb=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5Aβ..'.AB,而共线,

又它们有公共点8,

.∙.A,B,。三点共线.

⑵解∙.∙⅛α+b与α+劭共线，.∙.存在实数九

使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,

.,.(k—λ)a=(λk—1)6.

Vα,b是不共线的两个向量，

:.k——λ=λk——1=0,Λ⅛2——1=0,Λ⅛=÷l.

【教师备选】

1.已知P是aABC所在平面内一点，且满足该+崩+正=2初，若SAMC=6,则△/¾B的

面积为()

A.2B.3

C.4D.8

答案A

解析,：PA-∖-PB-\-PC=IAB=I(PB-PA),

J.3PA^PB-PC^CB,

J.PA//CB,且两向量方向相同，

.SAABC_BC_\CB\

,.SA/MBAP∣→∣，

又SAA8C=6,S∆β⅞β-T-2.

2.设两个非零向量。与8不共线，若α与〃的起点相同，且α,力，∕α+b)的终点在同一条

直线上，则实数，的值为.

答案g

解析■：a,tb,g(α+Z>)的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，

.,.a-tb与α一;(α+A)共线，

即a—Ib与多;一∙∣5共线，

存在实数λ,使a—fb=∕(∣a—切，

又a,8为两个不共线的非零向量，

思维升华利用共线向量定理解题的策略

(l)a∕/力SQ=助(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.

⑵若a与b不共线且λa=μb,则2=//=0.

(3)OA=λOB+μOC(λf"为实数)，若A,B,。三点共线，则∕l+"=l.

跟踪训练3(1)若a,》是两个不共线的向量，已知质V=a-2b,PN=2a+kb,PQ=3a-b,

若M,N,Q三点共线，则％等于()

A.-1B.1C.∣D.2

答案B

解析由题意知，

NQ=PQ-PN=a-(k+∖)b,

因为M,N,。三点共线，故存在实数大,

使得访/=2液,

即α-2B="4—(A+1)R,解得2=1,k=∖.

(2)如图，已知A,B,C是圆。上不同的三点，线段C。与线段AB交于点。(点。与点。不

重合)，若灰=疝⅛+∕∕δ⅛G,〃WR),则什"的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+∞)

C.(1,√2]D.(-1,0)

答案B

解析因为线段Co与线段AB交于点

所以。，C,。三点共线，

所以历与山)共线，

设历=〃?而，则加＞1,

因为沆=2万l+∕∕5⅛,

所以加元＞=2总+〃协，

可得OO=-m04+m

因为A,B,。三点共线，

所以5+2=1,可得，+〃=加＞1,

mm

所以2+〃的取值范围是(1,+∞).

课时精练

C基础保分练

1.如图所示，在正六边形ABCQE尸中，晶+δb+祥等于（）

DE

cOf

β----A

A.0B.BE

CADD.CF

答案D

解析根据正六边形的性质，

易得，BA+CD+BA+AF+EF

^BF+CB=CF.

2.若a,b为非零向量，则噎=方是％，b共线”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析W卷分别表示与db同方向的单位向量，育=看，则有α,b共线,而α,办共线，

则含，卷是相等向量或相反向量，所以"1⅛=Q是％，力共线”的充分不必要条件•

3.设α=（A⅛+δb）+（应:+苏I）,〃是一个非零向量，则下列结论不正确的是（）

A.a∕∕bB.a+b=a

C.a+b=bD.∣α+⅛∣=∣α∣+∣6∣

答案B

解析由题意得，α=（AB+eb）+（BC+DA）=AC+C½=O,且分是一个非零向量，所以a〃b

成立，所以A正确；由α+∕>=b,所以B不正确，C正确；由∣α+Z>∣=步|,∣α∣+∣Z>∣=网，

所以∣α+b∣=∣α∣+∣b∣,所以D正确.

4.（2022・汕头模拟）下列命题中正确的是（）

A.若“〃），则存在唯一的实数力使得α=M

B.若a〃b,b〃c,W∣Ja∕7c

C.若“√>=0,则α=0或8=0

D.∣α∣-∣ft∣≤∣fl+*∣≤∣α∣+∣*l

答案D

解析若α〃从且5=0,则可有无数个实数/使得α=劝，故A错误；

若“〃仇⅛√c（*≠0）,则a〃c,若8=0,

则4,C不一定平行，故B错误；

若Λ∙⅛=0,也可以为aJLb,故C错误；

根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，⑷一例W∣a+MWlal+步|成立，故D正

确.

5.在平行四边形ABeQ中，n与而交于点O,E是线段。。的中点.若最?="，BD=b,

则能等于（）

I21

A-4β∙30+36

1,2,

Cqa+%D.铲+下

答案C

解析如图所示,

'：AC=a,BD=b,

.∖AD=AO+δb

I,1,

^2a+2b'

.,.AE=AD-ED=ya+^b~τb

1l

-?+

4ft

6.下列说法正确的是（）

A.向量油与向量防的长度相等

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.向量“与》平行，则。与6的方向相同或相反

D,向量的模是一个正实数

答案A

解析A项，赢与俄的长度相等，方向相反，正确；

B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；

C项，向量。与平行时，若。或分为零向量，不满足条件，故错误；

D项，向量的模是一个非负实数，故错误.

7.如图，在平行四边形ABCZ）中，E为BC的中点，/为Z）E的中点，若乔=Λ成+加，则

X等于（）

1

clD

4

答案C

解析连接AE（图略），因为F为OE的中点，

-1—→

所以AF=5（AO+AE）,

—►―►—►-A1—>—►1―►

而AE=A5+3E=A5+/∙=43+'AO,

-*If-

所以AF=子4。+A£）

=XAL+赢+地）

-^AB+^AD,

→—3—

又AF=X4B+jAD,

所以x=∣.

8.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何

图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶

点的多边形为正五边形，且整=耳ɪ.下列关系中正确的是（）

∕i√乙

B

R

CD

λ.BP-TS=y^^iRS

B.&+力=呼」点

C.ES~AP^~lBQ

D.AT+BQ=^~iCR

答案A

解析由题意得，成一点=花一点=豆=1誓」忌，所以A正确；CQ+TP=PA+

2

)=6=呼1⅛,所以B错误；ES-AP=RC-QC=RQ=^~iQB,所以C错误；而'+的

^SD+RD,^γ^-CR=^=RD-SD,若后+丽=夸二无，则豆)=0,不符合题意，所以

D错误.

9.(2022•太原模拟)已知不共线向量a,h,AB=∕α-⅛(r∈R),AC=2a+3b,若A,B,C三点

共线，则实数t—.

2

较案—-

口呆3

解析因为A,B,C三点共线，所以存在实数使得B=盛，

所以ta~b=k(2a+3b)=2ka+3kb,

即Q-2k)α=(3k+l)4

t-2k=O,

因为α,力不共线，所以“，

3/+1=0,

10.己知AABC的重心为G,经过点G的直线交AB于。,交AC于E,若Ab=弱,AE=μAC,

w⅛+Λ=-------------

答案3

解析如图，设尸为BC的中点，

A

则AG=IA∕7=g(A8+AC),

又AC=~AEf

.'.AG=^^AD+^AE,

又G,D,E三点共线，

.∙.]+4=l,即;+'=3.

3Λ3μλμ

11.若正六边形ABCZ)EF的边长为2,中心为O,W∣J∣EB+δb+CA∣=.

答案2√5

解析正六边形ABCQEF中，EB+θb+CA=E∂+DC+θb+CA=ED+DA=EA,

在AAE尸中，ZAFE=UOo,AF=EF=2,

.,.∣E4∣=√22+22-2×2×2×cos120o=2√3,

≡P∣⅛+δb+CA∣=2√3.

12.在平行四边形ABC。中，点M为BC边的中点，AC=λAM+μBD,则2+〃=,

答案3

解析京=4（赢+；Ab）+〃（Ab-石）

=（2~μ）AJi+Ab,

又因为启=初+最›,

λ-//—1>['=]，

所以"解得《:

ELg

所以2+〃=/

过技能提升练

13•点P是AABC所在平面内一点,且满足I丽一丽1一|丽+正一2两|=0,则AABC是

________三角形，

答案直角

解析因为点P是BC所在平面内一点,

^∖PB-PC∖-∖PB+PC-2PA∖=0,

所以|乃|一|（两一诙）+（元1一说）|=0,

gP∣Cβ∣=∣AB+AC∣,

所以I成一启I=I/+@|,

等式两边平方并化简得启•赢=0,

所以元，赢，ZBAC=90°,则4ABC为直角三角形.

14.在AABC中，ZA=60o,ZA的平分线交BC于点。，若AB=4,一旦标=裁'+2赢QGR）,

贝IJ2=,AO的长为.

答案I3√3

解析VB,D,C三点共线，

13

；[+2=1，解得A=]

如图，过。分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,

则俞=；启，AM=-AB,

；在AABC中，N4=60。，NA的平分线交BC于。，

四边形AMrW是菱形，

VAB=4,AN=AM=3,

ΛAD=3√3.

过拓展冲刺练

15.（2022•滁州模拟）已知P为XABC所在平面内一点，AB+PB+PC^0,∣AB∣=∣PB∣=∣PC∣

=2,则AABC的面积为（）

A.√3B.2√3C.3√3D.4√3

答案B

解析设8C的中点为。，AC的中点为M,连接PO,MD,BM,如图所示，

A

M,

则有丽+正=2而.

由赢+丽+元=0,

得赢=—2访,

又。为BC的中点，M为4C的中点，

所以赢=一2成，则防=血，

贝∣JP,D,例三点共线且。为PM的中点,

又。为BC的中点，

所以四边形CPBM为平行四边形.

又而|=|而|=|正|=2,

所以I而=I而1=2,则IAbI=4,

且I诙I=I的=2,

所以AAMB为等边三角形，ZBAC=60o,

则SAABC=3X2X4X坐=2yβ.

16.若2d+无+3诙=0,5ΔA0C.SAABC分别表示AAOC,Z∖4BC的面积，则SAAOC：S9死

答案1：6

解析若2晶+为+3沆1=O,

设。彳=20A,OC'=30C,

可得。为△/!'BC的重心，如图,

设SAAOB=X,S4BOC=y,SAAOC=Z,

,,

贝IJSΔΛ08=2X,S&BOC=3y,SΔΛOC=6zf

由2x=3y=6zf

可得SΔAOC:S4ABC=Z:(X+y+z)=l:6.

§5.2平面向量基本定理及坐标表示

【考试要求】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.

会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

-落实

【知识梳理】

1.平面向量基本定理

如果e∣,e?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量α,有且只有

一对实数2∣,λz,使α=九eι+∕e2.

我们把不共线的向量e∣,62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设4=(X1，X),)=(X2，")，则

α+Z>=(xι+x2,丫|+丫2)，(Xl—Λ⅞,丫1一1'2)，λa=(λx∖,λy∖),∖a∖=yjxi+y^.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设4(xι,X),B(X2，m)，则AB=(刈一XI，刀一yι),∖AB∣=∙∖∣(.xz-x∖)2+(yι^-7∣)2∙

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(x”yι),b=(×2>刃)，其中b≠0,则XzH=O.

【常用结论】

已知P为线段AB的中点，若A(X乃)，B(X2,y2),则点P的坐标为(口^也，畛目；已知

∆ΛBC的顶点A(XI,yl),8(X2，为)，C(x3,y3)，则∕∖ABC的重心G的坐标为

网十m+心yi+)、+)。

V3，3y

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(×)

(2)设a,〜是平面内的一组基底，若实数为，μ∖,彩，〃2满足力α+4ι)=A2。+〃2瓦则九=石，

4ι="2∙(J)

（3）若α=（xι,%）,⅛=（x2,yι）,则α/%的充要条件可以表示成£=1.（X）

（4）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.（√）

【教材改编题1

1.下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A.eι=(O,O),e2=(l,—2)

B.ei=(—1,2),e2=(5,—10)

C.e∣=(3,5),¢2=(6,10)

C2=&3、

D.eι=(2,3),

答案D

2.若尸∣(1,3),P2(4,0),且尸是线段PB的一个三等分点（靠近点多），则点尸的坐标为（）

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

答案A

解析设P{x,y)>

由题意知耳？=；八后,

∙φ∙(x~1,y-3)=β(4-1,0—3)=(1,—1),

X—1=1,X^~2.9

即，

»-3=-1,y=2∙

3.已知向量a=(x,l),5=(2,χ-l),若(2。一①〃α,则X为.

答案2或一1

解析2α-⅛=(2χ-2,3—%),

"."(2a-b)//a,

2x—2=x(3—x),

即9一X—2=0,

解得x=2或x=-l.

■探究核心题型

题型一平面向量基本定理的应用

例1（1）在BC中，AD为BC边上的中线，E为A拉的中点，则EB等于（）

AtABACIf3->

BaAB-WAC

C^AB+^ACD.∣ΛB+∣AC

答案A

(2)如图，已知平面内有三个向量∂λ,OB,OC,其中5λ与励的夹角为120°,以与历的夹

角为30。，⅛δA∣=∣δβ∣=l,∖OC∖=2yβ.^OC=λOA+μOB(λ,;∕∈R),则2+幺=.

OA

答案6

解析方法一如图，作平行四边形OBC4,

则δ∂=旃+而，

因为苏与无的夹角为120。，苏与沆的夹角为30。，

所以NBloC=90。.

在Rt4OB∣C中，NoCBl=30。，∣δq=2√3,

所以I两∣=2,I瓦下|=4,

所以|5前|=|京忑|=4,

所以δ∂=4-+2(⅛,

所以2=4,〃=2,

所以2+〃=6.

方法二以。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,

则4(1,0),fif-ɪ里)，C(3,√3).

由历=疝!+〃δk

f3=2^⅛'μ=4,

得〈解得所以2+〃=6.

,—亚『4=2.

[∙√3-2μ9

【教师备选】

JT

1.（2022•山东省实验中学等四校联考）如图，在RIZ∖ABC中，ZABC=^AC=2AB,ZBAC

的角平分线交AABC的外接圆于点。，设B=",启="则向量Q）等于（）

C.α÷^⅛D.α÷∣⅛

答案C

解析设圆的半径为r,

JT

在RtZVLBC中，NABC=2,AC=IAB,

所以NBAC=ZACB=V,

ɔo

又/BAC的角平分线交4A3C的外接圆于点D,

TT

所以ZACB=NBAD=ZCAD=V

o1

则根据圆的性质得Bo=A3,

又因为在RtZ∖ABC中，AB=2ΛC=r=OD,

所以四边形ABOO为菱形，

所以Zi）=魂+AO=α+g力.

2.（2022•郑州质检）如图，在平行四边形A8C。中，E,尸分别为边A8,Be的中点，连接CE,

DF,交于点G.若δ∂=∕lδb+〃为（九∕z∈R）,则。=.

AEB

答案2

解析由题图可设&7=x函0<x<I）,

则∂∂=x6+函=[①+；同

X―►—►

=^CD+xCB.

因为G=Zdb+〃次,诙与无不共线，

Y

所以4=2，μ=x,

所以铝

思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则

进行向量的加、减或数乘运算.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

跟踪训练1(1)如图，矩形ABC。的对角线相交于点O,E为Ao的中点，若5k=∙+aAb

{λ,M为实数)，则”+〃2等于()

A，Bi

A-8坎4

5

C.1D.T7

Io

答案A

解析DE=^DA÷^DO

=昴+那

1—►1—►—►

135

所以2=不"=一不故》+〃2=京

(2)如图，以向量才1=〃，加=b为邻边作平行四边形QAZ)8,BM=∣BC,C7√=∣cb,则加=

.(用a，b表示)

BD

答案2a~6b

解析∖'BA=OA-OB^a-b,

：.OM=OB+BM=b+(^a~^

'J0iy=a+b,

C.σN=OCA-∖cD=∖δb^OD

⅜+⅜∙

题型二平面向量的坐标运算

例2(1)已知α=(5,-2),*=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则C等于()

<134、C13

C.(∙p于D∖T'

答案D

解析Va—2b+3c=O,

Λc=-∣(α-2⅛).

Va-2⅛=(5,-2)-(-8,—6)=(13,4),

1(134A

.∙c=-ɜ(ɑ-2fr)=l­ɪ,—ɜj.

(2)如图，在直角梯形A8CD中，AB∕∕DC,ADLDC,AD=DC=IAB,E为AQ的中点，若无

^λCE+μDB(λ^∕z∈R),则2+〃的值为()

A./BC.2DT

答案B

解析建立如图所示的平面直角坐标系,

则£>(0,0).

不妨设AB=1,则CD=AD=2,

ΛC(2,0),A(0,2),8(1,2),£(0,1),

3=(—2,2),CE=(-2,1),Z)β=(l,2),

∖'CA=λ^+μDB,

.∙.(—2,2)=晨-2,1)+〃(1,2),

r/=6

—2λ~∖~μ=-2,I5,

•••丁H,解得［l,

故2+∕∕=∣.

【教师备选】

己知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-l,-2),C(3,l),且说∙=4b,则顶点O的坐标

为()

C.(3,2)D.(1,3)

答案A

解析设D(x,>■),

则4B=(x,y-2),诙=(4,3),

又反?=助，

思维升华向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,

成为数与形结合的载体.

跟踪训练2⑴向量α,b,C在正方形网格中的位置如图所示，若C=痴+油（九"∈R）,则（

等于（）

A.IB.2

C.3D.4

答案D

解析以向量“和》的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长

为1）,

则4(1,-1),8(6,2),C(5,-I)，

.,.a=AO=(-l,l),b=OB=(6,2),

C=谎=(—1,-3),

・c-^λcιΛ~,ιb,

∙β∙(-1»-3)=Λ(-1,1)÷∕z(6,2),

-2+6〃=-1,

则

λ+2μ=-39

λ—-2,

解得(__1

（2）在AABC中，点P在5C上，且丽=2正，点Q是AC的中点，若前=（4,3）,的=（1,5）,

则屁=，BC=.

答案(-3,2)(-6,21)

解析通=的一方=(1,5)—(4,3)

=(-3,2),

PC=PA+AC=PA+2AQ=(4,3)+2(-3,2)

=(-2,7).

BC=3PC=3(-2,7)=(-6,21).

题型三向量共线的坐标表示

例3(1)已知Q=(1,2+sinx),5=(2,COSx),c=(—1,2),若(a—b)〃c，则锐角X等于()

A.15oB.30o

C.45oD.60o

答案C

(2)已知在平面直角坐标系XOy中,Pl(3,l),P2(-l,3),PI,P2,B三点共线且向量万甚与向

量α=(l,-1)共线，若旗=2褊+(1—2)•不耳，则力等于()

A.-3B.3

C.1D.-1

答案D

解析设而i=(x,>'),

则由0月〃α知x+y=O,

所以0^=(x,—x).

若5K=而K+(IT)旗，

则(x,—x)=2(3,1)÷(1—Λ)∙(-1,3)

=(4λ—1,3—2A),

4Λ-l=x,

即

[3—2λ=-X,

所以42—1+3—27=0,解得2=—1.

【教师备选】

1.己知向量α=(l,2),⅛=(2,—2),C=(Lλ).若。〃(2α+b),则2=.

答案I

解析由题意得2α+b=(4,2),

因为c=(l,z),c∕∕(2a+b),

所以42—2=0,解得2=；

2.已知O为坐标原点，点A(6,3),若点尸在直线OA上，且∣δ>∣=3该|,P是OB的中点,

则点B的坐标为.

答案(4,2)或(一12,-6)

解析：点P在直线OA上,

:,OP//PA,

又∙.∙∣δ>∣=m的，

：.OP=^PA,

设点P(m,ri),

则。P=(∕%,H),24=(6一3—〃).

①若δ>=g或，

则(加，n)=^(6-∕n,3-n),

m=g(6-m),

{H=∣(3-H),

m=2,

解得

In=I,

∙∙∙P(2,1),

Y尸是03的中点，ΛB(4,2).

②若δ?=一多有，

则(加，〃)=-g(6一肛3一〃)，

m=-2(6-τn),

{"=-(3+),

m=-6,

解得

n=-3,

；・P(—6,—3),

Y尸是08的中点,

ΛB(-12,-6).

综上所述，点3的坐标为(4,2)或(一12,-6).

思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)若α=(xι,y∣),b=(x2,yi)f其中5≠0,则。〃方的充要条件是Xly2=x2)k

(2)在求与一个已知向量α共线的向量时，可设所求向量为2Λ(Λ∈R).

跟踪训练3平面内给定三个向量α=(3,2),*=(-l,2),c=(4,l).

(1)若(a+h)〃(28—a),求实数左；

(2)若d满足(d-c)〃(“+b),且Id-Cl=黄，求d的坐标.

解(l)α+kc=(3+4k,2+Z),

2*-α=(-5,2),

由题意得2X(3+4火)一(-5)X(2+Q=0,

解得太=-

(2)设d=(x,y),

则d—c=(X—4,y—1),

又α+Z>=(2,4),∣<Z-c∣=√5,

.∙.d的坐标为(3,一1)或(5,3).

课时精练

过基础保分练

1.(2022.巴中模拟)若向量油=(2,3),AC=(4,7),则心等于()

A.(-2,-4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

答案B

2.(2022∙TOP300尖子生联考)已知A(T,2),2(2,-1),若点C满足启+通=0,则点C的

坐标为()

ʌ(?2)B.(—3,3)

C.(3,13)D.(-4,5)

答案D

3.下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一组基底是()

A.α=(l,2),⅛=(0,0)

B.a=(l,-2),6=(3,5)

C.α=(3,2),5=(9,6)

D.α=f-1,乡,b=（3,—2）

答案B

4.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为4,b,c,m=（a,b）,zι=（cosB,cosA）,则

''m∕7n''是"XABC是等腰三角形”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案D

解析由m//n,

得⅛cosB-αcosA=O,

即sinBCoSB=sinAcosA,

所以sin2B=sin2A,

所以24=28或2A+2B=7t,

即A-B或A+B=^,

所以AABC为等腰三角形或直角三角形；

反之，ZVlBC是等腰三角形，若α=c≠Z>,

则不能得到机〃”，

所以“mHn"是"AABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.

5.（2022・聊城一中模拟）在梯形A8CZ）中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分别是AB,CT）的中

点，AC与BO交于点M,设诵=α,AD=b,则下列结论不正确的是（）

A,AC=^a+bB.8C=~^a+b

C.BM-~∖a+^bD.际=Ta+，

答案C

解析AC=AD+DC=AD+^AB=^a+b,

故A正确；

BC=BA-∖-AIJ+DC=-Aβ+AI）+^AB

——^a+b,故B正确；

————7—22

BM=BA+AM--AB+^AC--^a+^^b,

故C错误；

-A->-A-A1-►—A1-A

EF=EA+AD+DF=