八年级上册数学直角三角形全等的判定(HL)

12.2-4直角三角形全等的判定(HL)邵东县黑田铺中学唐良顾与思考1、判定两个三角形全等方法，

，

，

，

。SSSASAAASSAS3、如图，ABBE于B，DEBE于E，⊥

⊥

2、如图，RtABC中，直角边

、

，斜边

。ABCBCACAB（1）若A=D，AB=DE，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

ABCDEF全等ASAABCDEF（2）若A=D，BC=EF，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

全等SSSABCB`B`A′C′B`A′C`B′A′C′B′A′C`B′A′C`B`A′C′B`A′C′B′A`C′B′A′C`(A′)(B′)(C′)AB=A′B′AC=A′

C′条件：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。结论：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′等腰三角形ABB′中，AB=AB′

，AC是高Rt△ABCRt△A`B`C`定理：（简记：斜边直角边公理或“HL”）(A′)(B′)(C′)直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中AB=A′B′AC=A′C′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（

E:/%E6%88%91%E7%9A%84%E6%96%87%E4%BB%B6/%E6%95%99%E8%82%B2%E6%95%99%E5%AD%A63.97g/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%95%99%E5%AD%A6/%E8%AF%BE%E4%BB%B6721m/%E5%85%AB%E5%B9%B4%E7%BA%A7%E4%B8%8A%E5%86%8C/11.%E5%85%A8%E7%AD%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2/11.2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%85%A8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%88%A4%E5%AE%9A/%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%85%A8%E7%AD%89%E4%B9%A0%E9%A2%98.swf

）书写格式

任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。∟BCAB´A´按照下面的步骤画Rt△A´B´C´⑴作∠MC´N=90°;⑵在射线C´M上取B´C´=BC;⑶以B´为圆心,AB为半径画弧，交射线C´N于点A´;⑷连接A´B´.∟C´MN42页探究5请你动手画一画再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´=90°，B´C´=BC，A´B´=

AB。

任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´=90°，B´C´=BC，A´B´=

AB。B´A´按照下面的步骤画一画⑴作∠MC´N=90°;⑵在射线C´M上取段B´C´=BC;⑶以B´为圆心,AB为半径画弧，交

射线C´N于点A´;⑷连接A´B´.∟C´MN42页探究5请你动手画一画∟B´C´A´∟BCA现象：两个直角三角形能重合。说明：探索发现的规律是：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写为“斜边、直角边”或“HL”。几何语言：AB=A´B´

∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中

Rt△ABC≌

Rt△A´B´C´∴∟B´C´A´∟BCA（HL）BC=B´C´RtRtRtRt在使用“HL”时,同学们应注意什么?“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.注意对应相等.因为”HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:

在Rt△ABC与Rt△DEF中AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)ABCDEF判断直角三角形全等条件三边对应相等SSS一锐角和它的邻边对应相等ASA一锐角和它的对边对应相等AAS两直角边对应相等SAS斜边和一条直角边对应相等HL

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.

想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（4）若AB=DE，AC=DF则△ABC与△DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）1.如图，∠ABD与∠DEF都是直角（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）练习全等全等全等全等ASAAASSASHLABCDEF

(1)_______,∠A=∠D(ASA)(2)AC=DF,________(SAS)(3)AB=DE,BC=EF()(4)AC=DF,______(HL)(5)∠A=∠D,BC=EF()(6)________,AC=DF(AAS)

BCAEFD看谁快!把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.AC=DFBC=EFHLAB=DEAAS∠B=∠E在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=∠F=90º，BC=EF，要使Rt△ABC≌Rt△DEF，还需添加一个什么条件？请你把添加的一个条件写在横线上，并在括号内填上全等的理由①

()②

()

③

()④

()

练一练AC=DF

SAS

∠B=∠E

ASA

∠A=∠D

AAS

AB=DE

HL

例题分析1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？CDAB解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则

AB=AB,AC=AD.∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形对应边相等).2、如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：BC=AD.CDAB证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD(已知)

∴∠C=∠D=90°(垂直的定义).在Rt△ABC和Rt△BAD中,∴Rt△ABC≌

Rt△BAD(HL).AB=BA(公共边),AC=BD(已知)∴BC=AD(全等三角形对应边相等)例题

3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD在Rt△ABD与Rt△ACD中AB=ACAD=AD所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)所以BD=CD练习1：如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF.ABCDEF∵ＣＥ=ＢF∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ即ＣＦ=ＢＥ。求证AE=DF.课本14页练习2题练习1如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF.求证：AE=DF.ABCDEF证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。又∵ＣＥ=ＢF∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ即ＣＦ=ＢＥ。在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中ＣＥ＝ＢＦＡＢ＝ＤＣ∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）∴ＡＥ＝ＤＦＲｔＲｔ

练习2：如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？BDACE实际问题数学问题求证：ＤＡ＝ＥＢ。①ＡＣ＝ＢＣ②ＣＤ＝ＣＥCD与CE相等吗？课本14页练习2题证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A和∠B都是直角。AC=BCDC=EC∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）∴DA=EB在Rt△ACD和Rt△BCE中，又∵C是AB的中点，∴AC=BC∵C到D、E的速度、时间相同，∴DC=ECBDACE（全等三角形对应边相等）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，并且AC=A′C′，CD=C′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′练习3:CABC′A′B′DD′∠ACB=∠A′C′B′△ABC≌△A′B′C′｝AC=A′C′∠ACB=∠A′C′B′∠A=∠A′Rt△ADC≌Rt△A′D′C′AB=A′B′分析思路：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，并且AC=A′C′，CD=C′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′练习4:CABC′A′B′DD′∠ACB=∠A`C`B`△ABC≌△A′B′C′｝AC=A′C′AB=A′B′∠A=∠A′Rt△ADC≌Rt△A′D′C′AB=A′B′BC=B′C′