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文档简介

第四章DISIZI1ΛNG

三角函数、解三角形

第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数

考纲要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念;2.能进行弧度与角度的互化;3.理解任意

角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知识分类落实r回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.角的概念的推广

(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着抽点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

,、J按旋转方向不同分为正免、负角、零角.

(2)分类j按终边位置不同分为象限角和轴线角

(3)终边相同的角:所有与角。终边相同的角,连同角。在内,可构成一个集合S={夕步=α

+⅛∙360o,⅛∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.

⑵公式

IaI=:(弧长用/表示)

角α的弧度数公式

。=焉;1

角度与弧度的换算1rad1rad=(¾t

弧长公式弧长I=Mr

扇形面积公式5=赳=加.

3.任意角的三角函数

(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(X,y),那么Sina=工,cosα=χ,

tanα=*x≠O).

(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在X轴上,余

弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角

α的正弦线,余弦线和正切线.

常用结论与微点提醒

1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

2.角度制与弧度制可利用180。=兀rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,

不可混用.

3.象限角

4.轴线角

∕⅛∖终边落在刀轴上的角αα=A∙π,⅛∈Z

线

角""[终边落在y轴上的需{a∣a=y+Aπ,4∈z)

{a∣a=^∙τr.A-∈Z∣

终边落在坐标轴上的角

诊断自测

,思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)小于90。的角是锐角.()

(2)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.()

(3)角a的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()

(4)若a为第--象限角,则Sina+cosa>l.()

答案(I)X(2)×(3)√(4)√

解析⑴锐角的取值范围是(0,。

(2)第一象限角不一定是锐角.

〉教材衍化

12

2.已知角。的终边过点P(—12,〃?),CoSe=一万,则〃7的值为()

A.-5B.5C.±5D.+8

答案C

解析由三角函数的定义可知COSd=//,八,,;=一片,解得利=±5.

√(一⑵2+m213

3.在一720。〜0。范围内,所有与角a=45。终边相同的角夕构成的集合为.

答案{一675。,-315o}

解析所有与角α终边相同的角可表示为:^-45o+⅛×360o(⅛∈Z),则令一720。W45。+%

X360o<0o(⅛∈Z),得一765°WjtX360o<-45o(⅛∈Z).

解得比=-2或上=-1,;/=一675。或β=-315°.

►•考题体验

4.(2021•合肥期末)集合*|航+:WaW航+T,k∈,中的角α所表示的范围(阴影部分)是

()

答案C

解析当火为偶数时,集合{α∣E+太α<E+全后}与{a|gaW,表示的角终边相同,

位于第一象限;

当上为奇数时,集合{α∣⅛π+gαW⅛π+5,Z∈"ɑ牌≤α≤"表示的角终边相同,位于

第三象限.故选C.

5.(2020.全国Il卷)若α为第四象限角,则()

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

答案D

解析∙.‘a是第四象限角,.∙.sina<O,cos«>0,Λsin2α=2sinacosa<0,故选D.

6.(2021・荷泽质检)密位广泛用于航海和军事,我国采取的“密位制”是6000密位制,即将

一个圆周分成6OOO等份,每一等份是一个密位,那么60密位等于rad.

答案

U木ɪ50

解析二周角为2兀rad,

.∙.1密位=60θθ=3000(rad),

兀Tr

.'.60密位=获而∙60=否(rad).

、考点分层突破考点聚焦・题型剖析

考点一角的概念及其表示自主演练

1.下列与角QTT詈的终边相同的角的表达式中正确的是()

9兀

A.2⅛π+45o(Λ∈Z)BA360°+W(AGZ)

C∙k360°-315°(kCZ)D,Λπ+y(⅛∈Z)

答案C

解析与学Qjr的终边相同的角可以写成2E+詈QTT(Z∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除

A,B,易知D错误,C正确.

2.(2021•海南调研)已知α为第三象限角,贝号的终边所在的象限是()

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

答案D

3Jr

解析为第三象限角,.∙∙π+2Zπ<α<宁+2E,⅛∈Z,

.π,[3兀I~

..2+⅛fπ<2<^^÷kπ,⅛∈Z,

当Z=2〃z,mGZ时,+2mπ<^<^+2mτt,mGZ,此时与在第二象限,

当k-f2m~∖~1,相WZ时,~+2∕Hπ<,2<^^^+2ιnτt,∕τz≡Z,

此时与在第四象限.

综上,为终边在第二或第四象限.

3.终边在直线y=√lr上,且在[-2兀,2兀)内的角α的集合为.

ff5兀2兀兀4πl

答案Fr^T'3'TJ

解析终边在直线y=√5x上的角ɑ的集合为

∣α∣ot=^÷⅛π∣,

又由α∈[―2π,2π),即一2π<1+攵兀<2兀,⅛≡Z,

解得女=-2,-1,0,1,

故满足条件的角α构成的集合为{一竽,-y,y∣.

感悟升华1.确定“α,系"GN*)的终边位置的方法

先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出〃a或2的范围,然后根据〃的可能取值

Ct

讨论确定na或彳的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法).

2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角:先写出与这个角的终边相同的所有角的集

合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.

考点二弧度制及其应用师生共研

【例1】已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为/,若a=?R=IOcm,求:

(1)扇形的面积;

(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.

解⑴由已知得a=$R=IO,

;.S⅛W=%∙R2=3X∙∣X102=^y^(cm2).

π10π

(2)∕=a∙R=gX10-—ɜ-(cm),

11ɔH

S弓形=S扇形一S三角形=]∙∕∙R-]∙R'∙sinɜ

√350π~75√3

10—102×(Cm2).

感悟升华应用弧度制解决问题时应注意:

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

【训练1】(1)(2021・长沙质检)已知弧长4兀的弧所对的圆心角为2弧度,则这条弧所在的圆

的半径为()

A.1B.2C.πD.2π

(2)已知扇形的周长为8cm,则该扇形面积的最大值为cm2.

答案(I)D(2)4

解析(1):孤长4兀的弧所对的圆心角为2弧度,

∙,.~=2,解得r=2π,

,这条瓠所在的圆的半径为2兀.

(2)设扇形半径为rcm,弧长为/cm,

则2r+∕=8,S=;〃=;rX(8-2r)

=­r2+4r=—(r—2)2÷4,

所以SmaX=4(Cm2).

考点三三角函数的定义及应用多维探究

角度1求三角函数值

【例2】已知角ɑ的终边与单位圆的交点为P(一今ə

,则sina∙tana等于()

A-.c.-∣D.±∣

答案C

解析由0〃=;+)?=1,得ʃ2=,,y=±坐

,sinα=坐,tanα=f,

当y=

3

此时

sina∙tana2-

当丫=一半时,sinα=一坐,

tana=y∣3,

3

此时,

sinσ∙tana2-

、3

综上sina∙tana=一另.

角度2由三角函数值求参数

4

【例3】已知角。的终边过点P(—8m,—6sin30°),且COSa=一§,则加的值为()

A.—^B.-2C.;D.2

答案C

解析由题意得点P(—8,%-3),r=√6W+9,

rPJ—8,"4

所fi以CoSa=河书=一小

所以m>0,解得J??=/

角度3三角函数值的符号

[例4](2020∙北京海淀区质量监控)已知sin心>0且cos。<0,则角。的终边所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析由题意及三角函数的定义可知角6终边上的点的横坐标小于零,纵坐标大于零,所以

终边在第二象限,故选B.

感悟升华1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标,及这点到原点的距离,

确定这个角的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列出含参数的方程,求参数的值.

2.要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦

函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定南所在象限,那就要进行分类讨论求解.

【训练2】⑴若SinO∙cos。<0,黑^∣>0,则角。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)己知角。的顶点与原点重合,始边与X轴非负半轴重合,若A(-l,y)是角9终边上的一

点,且Sino=一今续,则y=.

答案(I)D(2)-3

解析(D由黑£>0,得盛力>°,所以COSG0.

又sinHcos。<0,所以sin所以。为第四象限角.故选D.

(2)因为Sind=—=*<0,A(-l,y)是角。终边上一点,所以y<0,由三角函数的定义,得

y_3√10

√∕+i^^1°-

解得J=-3.

考点四三角函数线的应用师生共研

[例5]函数y=lg(2sinx-1)+Λ∕1—2cos无的定义域为.

Ti5兀、

答案2⅛π+β,2⅛π+^^-J(⅛∈Z)

解析要使函数有意义,必须有

1

2sinχ-l>0,su''>2,

即《

1—2COSX20,

COS

如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,

由图可知,原函数的定义域为

2E+^,2Aπ+∙)(k∈Z).

感悟升华1.三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上

为正,向下为负;余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负.

2.利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍,结合三角函数的周期性写出角的范围.

【训练3】若一斗α<苫,从单位圆中的三角函数线观察Sina,cosa,tana的大小关系是

答案sinavcosa<tana

解析如图,作出角1的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,

观察可知AT>0M>MP,故有sina<cosa<tana.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(2021・西安调研)小明出国旅游,当地时间比北京时间晚一个小时,他需要调整手表的时间,

则时针转过的角的弧度数为()

πC兀C兀C兀

ʌɜB6C^3D^6

答案B

解析因为当地时间比北京时间晚一个小时,所以时针应该是逆时针方向旋转,故时针转过

的角的弧度数为5.故选B.

2.给出下列四个命题:

①一个是第二象限角;鳄是第三象限角;③一400。是第四象限角;④一315。是第一象限角.

其中正确的命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案C

解析一手是第三象限角,故①错误.华=π+率从而专是第三象限角,②正确.-400。=

-360°-40°,从而一400。是第四象限角,③正确.-315。=-360。+45。,从而一315。是第一

象限角,④正确.

3.(2020•天津期末)在平面直角坐标系中,若角α以X轴的非负半轴为始边,且终边过点

(一坐,£),则sinα=()

A.-2B,-C.坐Dq

答案D

解析由任意角三角函数的定义得

4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为()

A.2B.4C.6D.8

答案C

解析设扇形的半径为,,弧长为/,则由扇形面积公式可得2=肯旬户=∕X4X∕,解得r=l,

∕=ctr=4,所以所求扇形的周长为2r+∕=6.

5.若角α的终边在直线丫=一无上,则角口的取值集合为()

Alaa=k2π~^fk∈Zj

B.11g=&・2兀+当⅛∈Zj∙

CjaQ=上兀一竽,%∈z}

D.{α1=&•兀一;,女∈z]

答案D

解析由图知,角]的取值集合为{α。=2〃兀+学,攵∈z}u

{αa=2nπ~^9⅛≡Z∣

={αa=(2〃+1)兀—;,⅛∈Z∣U

,

{αa=2nπ-^f⅛∈Zj

=jαa=kπ-^i⅛∈Z∣.

4

ON工;

\\

6.设9是第三象限角,且cosI=-cos则与是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

解析由。是第三象限角知,卷为第二或第四象限角,

nCn

σσ

又-=-COSS-

2co2

2,

综上可知,3为第二象限角.

7.(2021・唐山模拟)已知角α的顶点在原点,始边与X轴的非负半轴重合,终边上一点

Λ(2sina,3)(sina≠0),则cosa=()

B.—T

A,2

c∙2d-23

答案A

解析由三角函数定义得tanα=云为,即黑£=五汜,得3cosα=2si∏2α=2(l—CoS?a),

解得COSQ=T或COSQ=-2(舍去).故选A.

8.已知点一;)在角。的终边上,且6∈[0,2π),则。的值为()

A5π-2兀1lπ、5兀

ATBTC-DT

答案c

解析因为点d坐,一乡在第四象限,

根据三角函数的定义可知tanO=]=一坐,

2

又e∈[0,2π),可得。=平.

二、填空题

9.己知扇形的圆心角为会面积为冬则扇形的弧长等于.

答案f

解析设扇形半径为「,弧长为/,

10.在平面直角坐标系Xoy中,点P在角7的终边上,且IOPl=2,则点P的坐标为.

答案(-1,√3)

x=IOPlCOS2π-

3X=-1,

所以V所以点

,P

2π-J=√3>

{),=|。PISin3,

的坐标为(一1,√3).

11.(2021•河北九校联考)已知点P(Sin35。,cos35。)为角α终边上一点,若0°Wα<360°,则α

答案55o

解析由题意知COSa=Sin350=cos55°,sina=cos35o=sin55o,P在第一象限,所以Q=

55°.

12.函数y=√2cosχ-1的定义域为.

Tl71

答案2E-],2E+](⅛∈Z)

解析Y2cosX—120,

.>1

..cosX2'

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