必修2《机械能守恒》典型例题

机械能守恒定律1.对于质量一定的物体，下面陈述中正确的选项是A．物体的动量发生变化，其动能必定变化B．物体的动量发生变化，其动能不一定变化C．物体的动能发生变化，其动量不一定变化D．物体的动能变化，其动量必定变化解析对于质量一定的物体，由p=mυ可知，物体的动量变化只有可能是υ的变化引起，υ是矢量，其变化有三种可能：(1)方向不变，大小改变(例如，自由落体运动)；(2)方向改变，大小不变(例如，匀速圆周运动)；(3)方向、大小均改变(例如，平抛物体运动)．所以，在第二种情况中，物体速度的大小不变，其动能就不变，动量的大小也不变，但由于物体速度的方向改变，动量的方向也就改变，故动量在变化.选项B正确，选项A错误．对于质量一定的物体，物体的动能变化，物体的速度大小一定变化，又由p=mυ可知，物体的动量一定变化，选项C错误，选项D正确。答案BD2.质量为0.2kg的小球自距地0.8m高处自由落下，碰地后跳起，第一次所能到达的最大高度是0.45m，假设空气阻力不计，以竖直向下方向为正方向，那么小球落地时的速度是________；弹起时的速度是________；碰撞过程中动量的增量是_______.解析：设小球落地时的速度是，弹起时的速度是，那么自由落体运动公式，得：．小球弹起时做竖直上抛运动，由得：，方向竖直向上，碰撞过程中动量的增量是.答案4m／s；-3m／s；-1.4kg·m／s．3.质量为0.1kg的小球以υ=3m／s的速度水平抛出，当t=0.4s时，小球的动量多大?在0.4s内，重力的冲量是多大?(g取)解析：小球作平抛物体运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动．当t=0.4s时，小球的水平速度，竖直方向速度，小球的合速度(如图7—1)．所以，小球的动量p=mυ=0.1×5kg·m／s=0.5kg·m／s．由于υ与水平方向的夹角θ满足：sinθ=4／5=0.8，即θ=53°，所以小球在0.4s的动量方向跟υ相同，与水平方向成53°角．在0.4s内，重力的冲量I=mgt=0.1×10×0.4N·s=0.4N·s，方向沿重力方向，竖直向下．答案：0.5kg·m／s，与水平方向成53°角；0.4N·s，方向竖直向下．4.总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的小滑轮，开始时底端相齐(图8—46)．当略有扰动时，其一端下落，那么铁链脱离滑轮的瞬间速度多大?解析设铁链的质量为m，取铁链刚离开滑轮时其下端所在水平面为参考平面．那么初状态铁链的机械能(是铁链重心到参考平面的高度)末状态铁链的机械能由机械能守恒定律得解得5.如图8-47所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，那么此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中A．动量守恒，机械能守恒B．动量不守恒，机械能不守恒C．动量守恒，机械能不守恒D．动量不守恒，机械能守恒解析从子弹射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程可以分为两个阶段，第一阶段，子弹射入，使木块获得速度，此过程时间非常短暂，弹簧还未被压缩；第二阶段，子弹与木块以同一速度压缩弹簧，直到速度为零，弹簧被压缩至最短．在第一阶段，系统不受外力，动量守恒，但由于子弹射入木块中会产生热量，子弹损失一局部机械能，机械能不守恒．在第二阶段，子弹和木块以同一速度压缩弹簧，只有弹力做功，机械能守恒，而此阶段中，墙壁对弹簧产生越来越大的作用力，系统受到的合外力不为零，动量不守恒．(从直观也可以判断出系统的动量从有到无，不守恒)综上所述，子弹从开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中动量不守恒，机械能也不守恒．答案B6.如以下图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的子弹A沿水平方向射入木块后留在木块将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，那么此系统在从子弹开始射入到弹簧压缩至最短的整个过程中()A.动量守恒，机械能守恒B.动量不守恒，机械能不守恒C.动量守恒，机械能不守恒D.动量不守恒，机械能守恒解析：子弹打击木块B，子弹和B组成系统.由于作用时间很短，弹簧还未发生形变，合外力为零，系统动量守恒.子弹对B的摩擦力做功(A的位移很小)，小于子弹克服摩擦力做功，两者的总功为摩擦力乘以子弹射入木块的深度，即-f·d，机械能减少，机械能不守恒.在压缩过程中，系统受墙的冲量，动量不守恒但机械能守恒，因系统所受墙的作用力不做功，只有弹簧弹力做功.假设从开始作用直到将弹簧压至最短作为一个过程，组成系统的木块、子弹和弹簧既受外力作用又有除弹力以外的力做功，所以系统的动量和机械能均不守恒.答案选D.7.如以下图所示，轻弹簧竖直立在水平桌面上并与桌面连接，在距弹簧上端高为h处有一小球自由下落，正好落在弹簧上，把弹簧压缩后又被弹起，不计空气阻力，那么以下说法中正确的选项是()A.小球落到弹簧上后立即做减速运动，动能不断减小，但动能与弹性势能之和保持不变B.小球在碰到弹簧后，把弹簧压至最短的过程中，系统的重力势能与动能之和一直在减小C.小球在碰到弹簧后，把弹簧压至最短的过程中，系统的弹性势能与重力势能之和一直在增大D.小球被弹簧弹起后，运动的最高点仍是出发点

解析：由于不计空气阻力，以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，那么只有系统内的重力和弹力做功，因此系统的机械能守恒，即小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，这三种能量之和保持不变.所以此题应根据机械能守恒进行分析与判断.小球落到弹簧上，压缩弹簧向下运动至最低点的过程中，小球所受重力做正功，使小球的重力势能减小，同时小球又克服弹簧弹力做功，使弹簧的弹性势能增大.在此过程中，先是小球所受重力大于向上的弹力，合力向下，速度与加速度方向均向下，小球向下作变加速运动，动能与弹性势能增大而重力势能减小，因此选项A不正确；当小球运动到平衡位置时，小球所受合力为零，加速度为零，速度增至最大，动能也到达最大；当小球越过平衡位置继续向下运动时，小球所受合力及其产生的加速度方向改为向上，与速度反向，小球作变减速运动，动能减小，重力势能继续减小而弹性势能继续增大；当小球到达最低点时，动能减到零，重力势能减小到最小而弹性势能到达最大.由此可知，在此运动过程中，动能与重力势能之和(等于系统机械能与弹性势能之差)随弹性势能的增大而减小，应选项B正确.而弹性势能与重力势能之和(等于系统机械能与动能之差)那么在平衡位置上方是随动能的增大而减小，在平衡位置下方是随动能的减小而增大，即经历了先减小后增大的过程，应选项C不对.从最低点反弹后的运动中，动能、重力势能，弹性势能又经历了与上述相反的过程，由机械能守恒可知小球上升的最高点与出发点相同，系统的机械能表现为最大的重力势能，应选项D正确.故此题正确答案是B、D.8.如以下图所示，粗细均匀的全长为L的光滑铁链对称地挂在轻小而光滑的定滑轮上.轻轻扰动一下铁链的一端，使它从静止开始运动，那么铁链刚脱离滑轮的瞬间的速度多大?解析：铁链在运动过程中只有重力做功，因此铁链的机械能守恒.当铁链刚脱离滑轮时具有动能，而刚开始时铁链的动能为零，那么这个动能只能是减小的重力势能转化而来的.因此应运用机械能守恒定律求解此题.设铁链的质量为m，由于只有重力对铁链做功，因此铁链的机械能守恒.铁链从静止开始运动到刚脱离滑轮过程中，减少的重力势能为△Ep=mg·-mg·=mgL，增加的重力势能为△Ep=mυ2根据机械能守恒定律，有△Ep=△Ek即mgL=mυ2得υ=9.如以下图所示，离地高为H的物体A通过跨在定滑轮上的轻绳与放在光滑水平桌面上，质量和A相同的物体B连接，由静止开始下落和从同一高度单单独由下落这两种情况下，A离地面的高度h分别为多少时，它的动能与势能相等?(设B没有滑离桌面)解析：取地面为零势能参考面，设A离地高度为h时，其动能等于势能，那么有mgh=mυ2当A物体单单独由下落时，初始机械能为E1=mgH，末态时机械能为E2=Ep2+Ek2=mgh+mυ2=2mgh,由机械能守恒E2=E1得mgH=2mgh.∴h=H当A通过绳子连接B后再由静止下落时，设桌面高为H′，那么初态系统的机械能为E1=mgH+mgH′，末了状态系统的机械能为E2=mgh+mgH′+(m+m)υ2，根据机械能守恒定律得E2=E1,即mgH+mgH′+·2mυ2=mgH+mgH′将mgh=mυ2代入上式，解得h=H即两种情况下，A物体动能与势能相等时离地面的高度分别为H和H.10.如以下图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直.圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B.放开盘让其自由转动，问：(1)当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少?(2)A球转到最低点时的线速度是多少?(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少?解析：(1)两小球势能之和的减少，可选取任意参考平面进行计算.设以通过O点的水平面为参考平面，开始时和A球转到最低点时两球的重力势能之和分别为：Ep1=EpA+EpB=0+(-mg)=-mg,Ep2=E′pA+E′pB=(-mgr)+0=-mgr,那么两球重力势能之和减少量为△Ep=Ep1-Ep2=-mgr-(-mgr)=mgr.

(2)由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，机械能守恒，因此两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加.设A球转到最低点时，A、B两球速度分别为υA、υB，那么△Ep=△EkA+△EkB,即mgr=mυ2A+υ2B.①又A、B两球固定在同一个圆盘上，转动过程中的角速度ω相同，由圆周运动知：υA=ωr，υB=ω，所以υA=2υB。②代入①式，得υA=(3)设半径OA向左偏离竖直线的最大偏角为θ，如上图所示.该位置的机械能E3=Ep3=mgsinθ-mgrcosθ.而开始时的机械能E1=Ep1=-mgr.由机械能守恒定律，得：E3=E1,mgrsinθ-mgrcosθ=-mgr,2cosθ=1+simθ.等式两边平方并整理，得5sin2θ+2sinθ-3=0.解得：sinθ=,sinθ=-1(舍去).∴θ=arcsin.11.如以下图所示，质量为M的小车在光滑的水平面上以υ0向左匀速运动，一质量为m的小球从高h处自由下落，与小车碰撞后，反弹上升的高度仍为h，设Mm，碰撞弹力Nmg，球与车之间的摩擦系数为μ，那么小球弹起后的水平速度是()A.ghB.0C.2μD.-υ解析：设小球与小车碰前速度为υ1，碰后竖直向上弹起速度为υ2，碰后水平速度为υ3，相互作用时间为t，相互作用时间为t，相互作用弹力为N，摩擦力为f.设向上方向为正方向，那么据机械能守恒定律及动量定理有：υ1=υ2=(N-mg)t=+mυ2-m(-υ1)=m(υ2+υ1)又因为Nmg:所以有：N=小球在水平方向只受摩擦力f=μN=水平方向应用动量定理有：ft=mυ3，·t=mυ3，υ3=2μ.应选C.12.一物体从固定的斜面底端A点冲上斜面，向上滑到斜面上的B点时，与在A点时比拟，其动能减少100J，由于摩擦力的作用其机械能减少30J.当它再次返回A点时，动能为100J.那么当它向上冲时，在A点所具有的初动能为多大?解析：设斜面倾角为θ，A、B间距离为s1,那么物体由A运动到B时，根据动能定理，有(f+mgsinθ)s1=△Ek=100J.①根据功和能的关系知机械能减少等于克服摩擦力所做的功，有fs1=△E机=30J.②设物体从A点沿斜面上升的最大距离为s，那么有A点的初动能EkA等于克服摩擦力和重力做的总功，即EkA=(f+mgsinθ)s.③由①、③式，解得s=s1，④所以从A点到最大高度处这一过程中克服摩擦力做的功为Wf=fs=fs1.⑤将②式代入⑤式，得Wf=·△E机=EkA=0.3EkA.物体从A点出发返回A点过程中克服摩擦力做功为2Wf，重力势能不变，根据功能关系，有EkA-E′kA=2Wf,即EkA-E′kA=2×0.3EkA.所以在A点所具有的初动能为EkA=E′kA=E′kA=×100J=250J.13.如下图，A、B两物体彼此接触静放于水平面上，且水平面和A的外表均光滑，物体C由静止开始从P点下滑，设三个物体的质量均为m,C刚滑到最低点时速率为υ，那么()A.A和B不会出现别离现象B.当C第一次滑到A左侧最高点时，A的速度为，方向向左C.当C滑行到A左侧最高点时，A的速度为，方向向左D.A将会从桌面左边滑出解析：此问题中，因为所有接触面均光滑，所以满足水平方向上动量守恒，机械能守恒.当C从P下滑时，A将向右滑动，故B也向右滑动，所以A和C组成系统有向左的动量，当C滑到A最低点时，A开始减速，AB别离.当C滑到A最低点时，有：mgh=mCυ2+(mA+mB)υ21mCυ=(mA+mB)υ1当C从A的最低点滑到A的左侧最高时，有水平方向动量守恒：mCυ-mA·υ1=(mC+mA)υ共mA=mB=mC,由以上得：υ共=.应选B、D.

14.如以下图所示，质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x0，一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动，物块质量也为m时，它们恰能回到O点，假设物块质量为2m，仍从A处自由落下，那么物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.解析：物体和钢板碰撞过程瞬间动量守恒，而后，系统机械能守恒.物块与钢板碰撞前速度υ0=υ1为两物体碰后的共同速度，那么mυ0=2mυ1,∴υ1=设碰前弹簧的弹性势能为Ep,那么Ep+(2m)υ21=2mgx0当2m的物体与钢板相碰，那么2mυ0=3mυ2，∴υ2=υ0两次弹簧的势能相等，那么Ep+(3m)·υ22=3mgx0+(3M)·υ2式中υ为物块离钢板的速度.·2m·υ2=2mgL∴L=υ2/2g整理：L=x015.如以下图所示，小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子，OB=y.初始时，小球A与O同水平面，无初速释放A，绳长为L.为使球能绕B点做圆周运动，求y的取值范围.解析：小球摆到最低点只有重力做功，绳碰到B点的钉子后，绳绕B点做圆周运动，要保证让小球上升到圆最高点，那么圆半径不能太大.那么R=L-y.①做完整的圆周运动，只要最高点D满足关系式mυ2D/R≥mg.②球从初始位置释放，到圆的最高点D，只有重力做功，拉力不做功，机械能守恒，有mg(L-2R)=mυ2D.③由①、②、③式，得L＞y≥L.16.如以下图所示，质量均为m的三个小球A、B、C用两根长均为l的细线相连，放在高为h的光滑水平桌面上(h＜l)，其中A球刚跨过桌边.从静止开始释放后，A、B球相继下落后着地后均不反跳，那么C球刚离开桌边时的速度大小是多少?解析：设A球落地时的速度为υ1，那么由释放到A球着地的过程中，由机械能守恒定律，A、B、C系统减少的重力势能等于连接体增加的动能，即mgh=·3m·υ12①设B球着地时的速度为υ2，从A球着地后至B球着地前的过程中，由机械能守恒定律，B球减少的重力势能等于B球和C球增加的动能，即mgh=·2m·υ22-·2m·υ21②将①式中的υ21代入②式解得：υ2=由于l＞h，B球着地后又不再反跳，C球即以速度υ2作匀速直线运动直到离开桌边.因此C球离开桌边时的速度大小为.

17.一轻绳通过无摩擦的定滑轮与在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.定滑轮到杆的距离为m，物体m2由静止从AB连线为水平的位置开始下滑1m时，m1、m2恰受力平衡如下图.试求：(1)m2在下滑过程中的最大速度.(2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.解析：(1)由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C的过程是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.△E增=△E减，即m1υ21+m2υ22+m1g(-)sin30°=m2g·又由图示位置m1、m2受力平衡，应有：Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°.又由速度分解图知υ1=υ2cos∠ACB,代入数值后可解得υ2=2.15m/s.(2)m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，对整个过程应用机械能守恒定律，得△E′增=△E′减，即m1g(-)sin30°=m2gH.利用(1)中质量关系可求得m2下滑的最大距离为H=m=2.31m.HHamgF2mg18.面积很大的水池，水深为H，如图6-6所示，水面上浮着一正立方体木块，木块边长为a，质量为m，密度为水的.开始时木块静止，有一半没入水中，现用力F将木块缓慢地压入池底，不计摩擦，那么从木块起始到刚好完全没入水中的过程中池水势能的改变量为，从木块起始到停在池底的过程中，力F所做的功为.【解析】(1)如图木块起始到刚好完全没入水中的过程中，相当于把阴影局部的体积的水搬到了水面上，因水面积很大，可认为新水面高度不变，故体积的的水重心升高了，，(2)法一：木块起始到停在池底的过程中，分成两阶段：一是木块起始到刚好完全没入水中，此过程中浮力是变力，其平均值＝推力平均值推力做的功第二阶段是木块从刚没入水中到池底，推力推力的功推力做的总功法二：把木块与全池的水作为一个系统，推力作的功等于系统机械能的增量，即势能的增量〔因系统动能几乎为零〕.【答案】19.某司机为确定他的汽车上所载货物的质量，他采用如下方法：汽车自身的质量为，当汽车空载时，让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上读出汽车到达的最大速度为.当汽车载重时，仍让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上再读出汽车到达的最大速度为.设汽车行驶时的阻力与总重力成正比.试根据以上提供的量求出车上所载货物的质量.【解析】设汽车行驶时的阻力与总重力的比例系数为μ汽车空载时汽车载重时解得：图6-720(2003·上海·21)质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，假设飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力〔该升力由其它力的合力提供，不含重力〕。今测得当飞机在水平方向的位移为时，它的上升高度为h，如图6-7所示.求：图6-7〔1〕飞机受到的升力大小；〔2〕从起飞到上升至h高度的过程中升力所作的功及在高度h处飞机的动能。【解析】〔1〕飞机水平速度不变①y方向加速度恒定②消去t即得③由牛顿第二定律④〔2〕升力做功⑤在h处⑥∴⑦【答案】〔1〕〔2〕21.如图6-8所示，将一颗小钢珠由静止释放到盛有蓖麻油的量筒中，下落不久钢珠就开始作匀速直线运动.〔量筒中为什么不放清水而用蓖麻油？这是因为蓖麻油的密度虽小于清水，但它对钢珠产生的粘滞阻力却大大超过清水〕v图6-81845年英国物理学家和数学家斯·托克斯〔S.G.Stokes〕研究球体在液体中下落时，发现了液体对球体的粘滞阻力与球的半径、速度及液体的种类有关，有,其中物理量η为液体的粘滞系数，它与液体的种类及温度有关.钢珠在蓖麻油中运动一段时间后就以稳定的速度下落，这一速度称为收尾速度.v图6-8〔1〕实验室的温度为20.0℃时，蓖麻油的粘滞系数为0.986，请写出它的单位〔2〕假设钢珠的半径为2.00㎜，钢珠的质量为，在蓖麻油中所受的浮力为，求钢珠在蓖麻油中的收尾速度.〔3〕设量筒中蓖麻油的深度为H=40.0㎝，钢珠从液面无初速释放，下沉至刚要到达筒底时，因克服粘滞阻力而产生的热量为多少？【解析】〔1〕因粘滞阻力，故有，其单位应是〔2〕钢珠稳定下落时，其所受向上粘滞阻力F与、mg平衡，有得：〔3〕根据总能量守恒的方法：钢珠下落过程中损失的势能转化为钢珠的动能，以及与钢珠同样大小的油滴上升至液面处的动能和势能，还有钢珠克服粘滞阻力而产生的热量Q，其中油滴重力.【答案】〔1〕〔2〕〔3〕Ah=3R甲乙RAh=3R甲乙RrCD图6-9【解析】(1)小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为设小球能通过甲轨道最高点时速度为v1.由机械能守恒定律得：∵>∴小球能通过甲轨道而不撞轨(2)设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为小球要通过乙轨道最高点，那么需满足：得：x≤小球到乙轨圆心等高处之前再返回，那么需满足：且得：≤x＜总结论：CD≤或≤CD＜【答案】CD≤或≤CD＜23.如下图，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H.解：对系统由机械能守恒定律4mgSsinθ–mgS=1/2×5mv