2022-2023学年广西南宁市高三年级下册学期一模（理科）数学试题【含答案】

绝密★启用前

南宁市2023届高中毕业班第一次适应性测试

数学(理科)

注意事项：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0∙5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作

答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={x∣x＞4},B={xeZ∣3＜无＜7},则ACB=()

A.(4,6)B.{4,7}C.{4,5,6,7}D.{5,6}

2.已知复数Z满足N(l+i)=3-i(i为虚数单位)，则复数Z=()

A.l+2iB.l-2iC.l+iD.l-i

3.电动工具己成为人们生产和生活中常备的作业工具、数据显示,全球电动工具零部件市场规模由2016年的58

亿美元增长至2020年的72亿美元，复合年均增长率达5.55%,2022年全球电动工具零部件市场规模达到80

亿美元.根据此图，下列说法中正确的是()

2016-2022年全球电动工具零部件市场规撰套测麴势图

A.2016-2022年全球电动工具零部件市场规模逐步减少

B.2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度逐年增长

C.2021年全球电动工具零部件市场规模大于2020年全球电动工具零部件市场规模

D.2018-2019年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大

4.已知sin?a=cosα—1，则sin(α+∙^∙)=()

1

B.-B.-lC.2D.----

2

5.已知数列｛α,,｝满足q=5，。e=1二，则数列的前5项和为()

\

A.25B.26C.32D.-

7

6.设随机变量X~N(LO∙2),P(1<X<2)=0.28,则P(X>0)=()

A.0.68B.0.56C.0.78D.0.22

7.如图，已知圆锥的底面半径为1,母线长S4=3,一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A，

则蚂蚁爬行的最短距离为()

9.已知函数/(x)=f的图象在X=I处的切线与函数g(χ)=J的图象相切，则实数α=()

a

A.亚B.&C巫D.e&

22

10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛''的最上层

有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……在2015年世乒赛期间，苏州某景点就用乒乓球堆成“三角垛”

型的装饰品、假设一个“三角垛”装饰品共有〃层，记使用的乒乓球数量为了(〃)，则/(〃)=()

(参考公式：l2+22+32+-+√=-71(H+1)(271+1))

6

A^π(n+l)(2n+l)B.〃(〃+1)

62

C.-n(n+l)(π+2)D.-n(π÷l)(n÷2)

36

11.己知直线2：y=(x-曰)与抛物线Uy2=2pχ(p>0)相交于AB两点(其中A位于第一象限)，若

∖BF∖=3∖F^,则左=()

r√31

A.-√3B.--C.-C.-lD.——

33

12.已知函数/(x)=SinNX+W>0),关于光的方程/(χ)=g在区间［0,π］上有且仅有2个实根，对于

下列4个结论：①在区间(0,乃)上存在石,尤2,满足了(王)—/(%)=2；②/(x)在区间(0,乃)有且仅有1个

最大值点;③/(χ)在区间。,京上单调递增；④口的取值范围是,其中所有正确结论的编号是()

62

A.①③B.①③④C.②③D.①④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x+y+2,,0,

13.若X，y满足约束条件，2x-y+2..0,则Z=3x+y的最大值为.

%,2,

14.如图，已知正方体ABC。一A4GA的棱长为2,反E分别是棱A41,AA的中点，点P为底面四边形

ABcD内(包括边界)的一动点，若直线AP与平面BER无公共点，则点P在四边形ABC。内运动所形成

轨迹的长度为.

15.已知£,外是双曲线C的两个焦点，P为C上一点,/"P"=60,且sin/P马6=2SinNT耳巴，则C

的离心率为.

X2C

-----e、与，0

16.已知函数/(犬)=《,：____,点“、N是函数y=∕(九)图象上不同的两个点，设。为坐标原点，则

_J]+χ2,X>0

tanNMoN的取值范围是.

三,解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生依据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

在，ABC中，角A、B、C的对边分别为,己知g-c）（sinβ+sinC）=α（sinA-sinC）.

（1）求8；

（2）若ABC为锐角三角形，b=6,求M+cz的取值范围.

18.（本小题满分12分）

如图1,平面图形ABC。是一个直角梯形，其中AABC=90,BC=OC=2,A8=6,E是AB

上一点，且AE=2EB∙将=4ED沿着。折起使得平面血＞J_平面。E5C,连接A&AC,M、N分别是

AZZAC的中点，如图2.

（1）证明：在图2中E、M、N、8四点共面，且平面A£＞C_L平面AED；

（2）在图2中，，若G是线段AE上一个动点，当直线CG与平面BDG所成角的正弦值取得最大值时，求GE

的长.

19.（本小题满分12分）

在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取3个问题作

2

答.假设甲能答对的题目有4道，乙每道题目能答对的概率为一，

3

（1）求甲在第一次答错的情况下，第二次和第三次均答对的概率；

（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大？

20.（本小题满分12分）

己知函数/（x）=X-αln（l+x）,

（1）讨论/（χ）的单调性;

(2)当α=l时，证明/(x)..0;

ll

(3)证明对于任意正整数〃，都有4+—1—+—-++—-+-L>21n2.

nn+∖n+24n-l4〃

21.(本小题满分12分)

已知椭圆石:鼻+/=1（a＞人＞0）的左焦点为1卜6,0）,点/＞（6,；）

在E上,

（I）求椭圆E的标准方程:

(2)已知椭圆E的上顶点为A,圆M:(X-1)?+:/=∕(r>0),椭圆E上是否存在两点8,C使得圆M内

切于ABC?若存在，求出直线BC的方程；若不存在，请说明理由.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分10分)

在直角坐标系XQy中，以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆。的极坐标方程为

3ττ

夕+4Sine=O,6∈

(1)求C的参数方程；

(2)已知点。在C上，若C在。处的切线与直线/:y=gx-3平行，求点。的极坐标.

23.(本小题满分10分)

已知函数/(x)=2∣x-l∣-∣x+l∣,g(x)=∣x-l∣

(1)在给出的坐标系中画出函数y=/(χ)的图象;

(2)若关于X的不等式/(x),,αg(x)恒成立，求实数。的取值范围.

南宁市2023届高中毕业班第一次适应性测试

数学(理科)参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.【答案】D

1.【解析】因为A={Wx>4},3={x∈Z∣3<x<7}={4,5,6},所以4cB={5,6},故选D.

2.【答案】A

.、3-i(3-i)(l-i)2-4i

【解析】由题意N(l+i)=3-i,可变形为2=丁丁.<=—^=l—2i,

',l+i(l+ι)(l-ι)2

则复数z=l+2i,故选A.

3.【答案】C

【解析】依题意C正确.

4.【答案】B

【解析】Vsin2ɑ=l-cos2α,/.l-cos2ɑ=cosσ-l,

CoS2a+cosa-2=0,(COSa-I)(CoSa+2)=0,

.∙.cosα=l或COSa=-2(舍)

P.(31

又∙.∙sina+-π--cosα=-11.

I2)

5.【答案】A

，、ɪ11

【解答】数列{α,,}满足q=.,%+∣=—整理得：--------=1(常数)，

ɔ%+1cιn+lan

故数列I-I-I是以3为首项，1为公差的等差数列，所以」-=3+(〃—1)="+2,

lβJ册

1n(n-l]5×4

所以S5=5•一+-δ——^d=5χ3+——×1=25,故选A.

aλ22

6.【答案】C

【解析】X-N(1,σ2),.∙.P(0<X<1)=P(l<X<2)=0.28

7.【答案】D

【解析】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回

到点A的最短距离为44'，设∕AS4'=c,圆锥底面周长为24，

所以AA=aχ3=2"所以a=q-，在，S4A中，由S4=S4'=3,得

AA,=y]SA1+SA2-2SA∙SA∙cosa

=j32+32-2×3×3×^-∣=3>j3

故选：D.

故P(X>0)=P(O<X<1)+P(X>1)=0.28+0.5=0.78,故选C.

8.【答案】B

【解析】百Sina-Sin(α+色]=百Sina-^∙sinα+,CoSa=4√3.14

=—,——Sincr——COSa=一,

一I6；I22J5225

.(万、4(π,λ)(C乃、/万)1c∙2兀、«_16

sina——=—,cos----2aI=COSl2a——=cos2a-----I=l-2sιn^a----=l-2×—

I6j5lɜJI3)I6)I6；25

故选B

9.【答案】C

【解析】由F(X)=X2,得/'(χ)=2x,则/'(1)=2,又F(I)=I,所以函数/(x)=χ2的图象

在％=1处的切线方程为y-l=2(x-l),即y=2x—1.

设y=2x-l与函数g(χ)=∙≤的图象相切于点(%,%),

1g'(%)=m=2,R13

=C徨，故选c.

由/(X)=土_,可得J:解得XO=±,a=j^e2

'g(%)=J=2∙⅞T一一2

Q

10.【答案】D

【解析】

ciy—1902=3,Ciy—6,•

n(n+∖]17,

=1+2+3++n=----------=-(n^+n

22v

.∙./(∏)-al+a1+a3++all

=^(12+22+32++/)+(1+2+3++")]

1H(H+1)(2Π+1)rt(π+l)

~2'~6~~1Γ

1

=-n(H+1)(H+2)

6

11.【答案】A

【解析】

解法一：如图所示，由题意知直线过抛物线V=2px(p>0)的焦点R已,0

准线方程为X=-4，分别过AB作准线的垂线，垂足为A',8',

2

如图，^∖AA∖=∖AF∖=t,因为IEBI=3∣E4∣,所以忸阴=忸耳=3f,

则忸M=2r,∣AB∣=4r,所以NABM=60,

即直线/的倾斜角等于/AEx=120，可得直线/的斜率为-G，故选A∙

解法二：设直线的倾斜角为6,由焦比定理2=目=2,∣cos6∣=1=—ɪ

IJD∕*I31+Λ›]+ɪ

3

r

1)π

依题意CoSe=—-,。=——，所求直线斜率为Z=-百，故选A.

23

12.【答案】B

ππʌπππ

【解析】-Xe[0,万+-,ωπ+-令Z=SH——,则z∈-,ωπ+

33333

g..1.ππ,-W—5π«13万13万π∖lπ/八

由l题意SInZ=一在-,ωπ+-上只能有两解Z=—和Z=————≤ωπ+-<-----,(*)

2133」66636v7

因为ZG-,ωπ+-上必有SinE-SinG-=2,

故在(0,〃)上存在满足/(XJ-/(W)=2,①成立；

Z=5开对应的X(显然在[0,可上)一定是最大值点，

因Z=彳对应的X值有可能在[0,乃]上，故②结论错误；

解(*)得?∙≤<y<2,所以④成立；当Xe(O时，ze]1,笔+]],由于2∙≤<υ<[,

62\15j1315ʒJ62

，冗ffiττ7Γ^∖7TTT(冗、

故ZG——⊂—,此时y=sinz是增函数，从而/(%)在|0,6|上单调递增，所以③成立综

、D∙1JɔJD乙∖ɪ«_zJ

上，①③④成立，故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】2

【解析】由约束条件作出可行域如图所示，由目标函数z=3x+y可知，

当目标函数过点C(2,Y)时，Z取得最大值，，最大值3*2-4=2.

14.【答案】√5

详解：取BC的中点G,连接AG,AG,A",如图所示：

政尸分别是棱AA、4A的中点，所以E尸〃A0,

又因为EFU平面BEF,AD∣①平面BEF，所以Aol〃平面F.

因为FDI〃BG,FD∣=BG,

所以四边形尸BGA为平行四边形，所以F8〃G。.

又因为EBU平面BEF,GD1（Z平面BEF，所以GA〃平面BEF.

因为GACADi=Di,所以平面ADtG//平面BEF.

因为点P为底面四边形ABeD内（包括边界）的一动点，直线AP与

平面庇F无公共点，

所以P的轨迹为线段AG,则IAq=J22+『=#）.

15.【答案】√3

IP用

【解析】由正弦定理得附I=2

SinNPFzK所以着≡S

即用=2∣∕⅛由双曲线的定义可得归用一归周=IP用=2α,

所以忸玛|=勿,|「耳|=4小

因为弱=60,由余弦定理可得4。2=164?+4α?-2χ4α∙2α∙cos60，

整理可得4。2=12〃，所以e2=∙⅛=3,即e=G∙

a

16.【答案】（0/+：）

【解析】当x≤0时，/（ɪ）=ɪ-e2,则/（力=3>0,

所以，函数/（x）在（—8,0]上为增函数；

2

当X>0时，由y=-Jl+χ<0可得V=l+χ2,即y2-χ2=],

作出函数/（X）的图象如下图所示:

设过原点且与函数/(x)(x≤0)的图象相切的直线的方程为

y=kx,设切点为(X(PeAi)II-ej,

所以，切线方程为丁-言？+/=3^∙(x-Xo),

将原点坐标代入切线方程可得一T7+e2=-(1—x0)T7，即

0⅞+t∖v7e*°+e

ɪɔɔr一ɪɔ

构造函数g(x)=W∙,其中x≤0,则g'(x)=三d-≤0,

2

所以，函数g(x)=』在(一8,0]上单调递减，且g(-e)=e2,

由g(%)=Wτ=e2,解得XO=—e,所以，％=m=e+l,

而函数/(X)=√ι+%2(%<0)的渐近线方程为y=一%,

设直线%与y=(e+l)x的夹角为6,设直线y=(e+l)x的倾斜角为ɑ,

3π

l1lAf3τr)tan彳-tana-i-(e+i)2

—J"tan网tana1√e÷1)e

4

结合图形可知，0<tan/MON<1+：.故答案为：∣^0,l+jj.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

17.【答案】(1)B"(2)(5,6]

【解析】(1)由他一C)(SirLB+sin。)=(SinA-Sine)Q

根据正弦定理可得仅-C)仅+c)=(α-c)α,

所以，a2+c2-b1=ac

22121

由余弦定理可得CosB=4+

2ac2

B∈(θ,Tr)

TT

因此8=—.

3

(2)由余弦定理，得"二矿+L—2。CCOSB,3=Q-+—QC,

即a2÷c2=3+ac

a_c_b_逝_

由正弦定理，得SinAsinCsinBʌ/ɜ,

T

2TT

即α=2sinA,c=2sinC,又C=----A,所以

3

ac=4sinAsinC=4sinAsin∣--A]=2>∕3sinAcosA+2sin2A

I3)

gsin2A-cos2A+1=2sinf2A-j^-1+1.

_.Tl

0<A<—

2-π“π

由＜C,解得一<A<一,

八2万.乃62

O<------A<—

32

所以？2A-∏,所以Sin(24一讣、,1

所以αce(2,3],所以4+c?=3+αcw(5,6].

18.(1)证明：肠V分别是A。、AC的中点

:.MN//DC,又∙.DC//EB

MN//EB,:.E、M、N、B四点共面.

在图1中，由AB=6,AE-2EB得AE--4,BE—2,

VAB//DC,ZABC=90,BC=DC=2.

二四边形OEBC是正方形，.∙.Z)EL45.

在图2中，平面AED_L平面OEBC,平面AEDC平面DEBC=ED,AE工ED.

.∙.AEJ_平面DEBC,:.AE1DC

又,DC±DE,DEnAE-E,

.∙.OCj■平面AED,平面ADC±平面AED.

(2)由图易知直线E4、EB、E。两两垂直，以E为原点，分别以E&E£＞、E4所在直线为X轴、＞轴、Z轴，建

立空间直角坐标系E-xyz,则β(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

设G(0,0,f),(O≤.≤4).得CG=(―2,—2"),BO=(-2,2,0),BG=(-2,0√)

设〃=(%,»Z)是平面BDG的一个法向量

nVBD[n-BD=O一2x+2y=0t

由〈,得〈即《=>x=y=-z.

n±BGn∙BG=O-2x+tz=O.2

设直线CG与平面3。G所成角为6,则

Ct√2×一ɪ一,,√2×1ɪ

(8+产•"+23

f2+7+1°pψ×7+1°

16

当且仅当产9=；,即当f=2取等号.

所以当f=2,即G为AE中点时，直线CG与平面8。G所成角的正弦值Sine

取得最大值为L.

3

322

19.【答案】(1)-(2)E(X)=2,θ(X)=g∙(3)E(Y)=2,D(Y)=~,

甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大

【解析】

(1)记“该甲自媒体平台公司第一次答错”为事件A，“该甲自媒体平台公司第二次和第三次均答对”为事件B，

则P(A)W,「(AB)=?｝：=5

二甲自媒体平台公司在第一次答错的的条件下，第二次和第三次均答对的概率为

1

P(BM)=竽=3

',P(A)15

3

(2)设甲自媒体平台公司答对的问题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.

P(X=I)=驾ljp(χ=2)=G‰3,P(X=3)=^0J

7v7v7

'eɜO5Oeɜ5Oeɜ5

・•・X的分布列为

X123

ɪ3ɪ

P

555

131

E(X)=Ix-+2x2+3x-=2

v7555

1312

r>(X)=(l-2)2×-+(2-2)2×-+(3-2)2×-=-.

(3)设乙自媒体平台公司答对的问题数为y,则y的所有可能取值为o,ι,2,3.

p(y=o)=[i—gi」

127

2(2Y

叩=1)=5乂1-§2

9

4

-

×19-

另解y-B^3,∣j,.∙.E(y)=3×∣=2

D(y)=(0-2)2x^+(l-2)2x|+(2-2)2x^+(3-2)2x^=|.

(另解：D(y)=3χ∣×fl-∣‰∣)

由E(X)=E(y),£>(%)<O(Y)可得，甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大.

20.【答案】(1)(2)见解析(3)见解析

【解析】

(I)/(x)的定义域为(-l,+∞).∕,(x)=l--=--1~-

ʌ十1ʌI1

①若6，O,当x∈(τ,+e)时，∕,(x)>0,

所以“X)在(-1,+向上单调递增；

②若α>0,当x∈(-l,α-l)时，∕,(x)<0:

当x∈(α-l,+oo)时，∕,(x)>0,

所以/(x)在(Ta-I)上单调递减，在(α-l,+e)上单调递增.

⑵当α=l时，由(1)知/(x)在(TO)上单调递减，在(0,+“)上单调递增，/(Λ)>/(O)=O-Inl=O;

(3)由(2)知当α=l且x∈(0,+oo)时，

X-In(I+x)>0,令X=ɪ■得L〉In(1+L

nn∖n

从而

111

—+------+------+H----≥In1H—+1∏Id-------+1∏1H---------+÷In1H-------

n〃+1〃+24〃In)\?7+1)∖n+2)\4〃

n+1,H+2.n+34∕ι+l∕ι÷l〃+2〃+34∕ι+l

=I1n-----+In------+In------++I1n-------=I1n------×------×------××-------

nn÷l〃+24/1n〃+1〃+24n

1n+1n+2n+34/14π

>In-----×------×------XX—ɪ=ln-=21n2..

n∕t+l〃+24n-ln

21.【答案】(1)—+/ɪl

4-

(2)直线BC存在，且直线BC的方程为-2x+8近一>40√7-70=0

3-9

【解析】

解：(1)由题意可知椭圆的右焦点为玛(6,0),

因为点P(百在椭圆C上，所以归周+归周=2α

2«=J(2√3)2+^+∣=4,α=2

C=JJ,所以人=1，

椭圆E的方程为三+：/=1.

4-

(2)由⑴可知椭圆的上顶点为A(0,l)

假设这样的B,C存在，且设8(%,χ),C(W,%)，

.y—1

则直线AB的斜率为火一

ɪl

直线AB的方程为(y-l)χ-X]>+Xι=0..

因为直线AB与圆M相切，则4=r,

∣x+χτ∣

所以7；J,∖2=J

√Λ^I+(yt)

22

两边平方化简得(x∣+%-1)2=/Xl+(yl-I),

整理得(1_/卜；+(1_r)(弘_1)2+2芭(％_])=0

因为％2=4