2023年甘肃省张掖市普通高校对口单招数学自考模拟考试(含答案)

2023年甘肃省张掖市普通高校对口单招数

学自考模拟考试（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（10题）

1.已知A={x∣x+l>0},B{-2,-l,0,1},贝!）（CRA）ΠB=（）

A.{-2,-1}B.{-2}C.{-l,0,l}D.{0,l}

2.下列命题正确的是O

A.若IaHbl贝∣Ja=bB.若Ial=Ib|,贝IJa>bC.若IaHb|贝∣Ja∕∕bD.若IaI=I贝IJa=I

设X,V为实数,则/=/的充要条件是（）

3.””

A.x=y

B.x-y

D.

4.设m>n>l且0Va<l,则下列不等式成立的是（）

Ag”

B°yd

c。-7

D.wβ<Λα

5.设1表示一条直线，α,β,γ表示三个不同的平面，下列命题正确的

是（）

A.若l∕∕a,a∕∕β,则l∕∕β

B.若l∕∕a,l∕∕β,则a∕∕β

C.若a∕∕β,β∕∕γ,则a∕∕γ

D.若a∕∕0,β∕∕γ,则a∕∕γ

6.sin750o=（）

A.-1/2

B.1/2

42

C.T

在

D.J

∣l∙-gI

7.函数y=…二的定义域是（）

A.（-2,2）B.[-2,2）C.（-2,2]D.[-2,2]

8.函数"x）=-3+ax--在（_,3）上单调递增，则a的取值范围是（）

A.a>6B.a<6C.a>6D.-8

直线V=X-1的倾斜角为

9.

π

AS

π

B孑

O.

π

C.6

已知集台4={(x..v)∣2r+r=4卜3=kx,v)∣x-F=2卜则，等于().

10.

ʌ((2.0)}

B.(2,-l)

C{(-2,1)}

D.φ

二、填空题(10题)

11.已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m,-

2)到焦点的距离为4,则m的值为.

12.已知等差数列{aj的公差是正数,且a3∙a7=-i2,a4+a6=-4,则

S20=.

已知向里a=(2.1),b=(3∕),且aJ~b,则力

13.

14.若/S-D=--2x+3,则/(x)=

15.设等差数列｛a11｝的前n项和为Sn,若Ss=32,则a2+2a5十

a6=・

16.若直线6x-4x+7=0与直线ax+2y-6=0平行，则a的值等于

17.不等式半：5的解集为

z

函数y=∙Jx-2jr+I的定义域是_____________

18.o

19.在ABC中，A=45°,b=4,C=&,那么a=,

20已知等差数列｛4｝满足,=5,J+4=3().则［

三、计算题(5题)

21.解不等式4<∣l-3x∣<7

l-χ

己知函f(x)=Ioga-------，(a>0且a≠)

22.l+x

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

23.有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这

些书随机排在书架上.

(1)求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种？

(2)求英语书不挨着排的概率P。

24.已知函数y=0cos2x+3sin2x,XWR求：

(I)函数的值域；

(2)函数的最小正周期。

25.设函数f(x)既是R上的减函数，也是R上的奇函数，且f(l)=2∙

(1)求f(-l)的值；

(2)若f(t2-3t+l)>-2,求t的取值范围.

四、简答题(10题)

3,万一，1

,sma=-.ae{-.π).iΛn(π-b)=,、

26.已知二22求tan(a-2b)的值

27.等差数列⅛的前n项和为Sn,已知a∣o=3O,a20=50o

(1)求通项公式an。

(2)若Sn=242,求n。

χ3/

28.已知双曲线C：丁广(—的右焦点为外孙且点耳到C

的一条渐近线的距离为贬.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设P为双曲线C上一点，若IPFll=,求点P到C的左焦点角的距

离.

29.四棱锥S-ABCD中，底面ABoD为平行四边形，侧面SBC_L底面

ABCD

(1)证明：SA±BC

(工

D

30.在等差数列&:中，已知a∣,a4是方程χ2-IOx+16=0的两个根，且a4

>aι,求S8的值

31.等比数列｛a11｝的前n项和Sn,已知Si,S3,S2成等差数列

(1)求数列｛a11｝的公比q

(2)当ai—a3=3时，求Sn

32.在抛物线y2=12x上有一弦(两端点在抛物线上的线段)被点M

(1,2)平分.

(1)求这条弦所在的直线方程；

(2)求这条弦的长度.

__〃品

33.已知函数」(x)=d(α>θ∙且"I),且，2.

(1)求a的值；

(2)求f(x)函数的定义域及值域.

34.求过点P(2,3)且被两条直线九3x+4y-7=0,‘2：3x+4y+8=0所截

得的线段长为3、历的直线方程。

35.某篮球运动员进行投篮测验，每次投中的概率是0.9,假设每次投篮

之间没有影响

(1)求该运动员投篮三次都投中的概率

(2)求该运动员投篮三次至少一次投中的概率

五、解答题(10题)

36.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,

在正方体中，设BC的中点为M,G〃的中点为N。

(I)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)

(II)证明，直线Λ∕N〃平面8。”

(III)求二面角A-EG-M余花值

37.已知函数f(x)=4cosxsin(x+π∕6)-1.

(1)求f(x)的最小正周期；

⑵求f(x)在区间［-π∕6,π∕4］上的最大值和最小值.

38.已知圆Cr(x-l)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线1交圆C于

A、B两点.

(1)当直线1过圆心C时，求直线1的方程；

(2)当直线1的倾斜角为45。时，求弦AB的长.

39.已知等差数列｛a11｝的前72项和为Sn,a5=8,S3=6.

(1)求数列｛a11｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝的前k项和Sk=72,求k的值.

40.已知函数/Qfn.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间［0,2π∕3］上的最小值.

已知向量α=(2sin∖2sin.ι),b=(cosΛ,-sinΛ),函数

/(x)=≡∙b+1

(I)如果《9=1,求sin人的值；

41.2

叫如果ʌ∈。g),求ʃ(ʌ)的取值范围.

42.已知椭圆CW∕a2+y2∕b2=i(a>b>0)的离心率为.，其中左焦点F(-

2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中

点M在圆:x?+y2=l上，求m的值.

43.如图，在三棱锥A-BCD中，AB，平面BCD,BC±BD,BC=3,

BD=4,直线AD与平面BCD所成的角为45。点E,F分别是AC,AD

的中点.

⑴求证:EF//平面BCD;

(2)求三棱锥A-BCD的体积.

44.已知椭圆Cχ2∕a2+y2∕b2=i(a>b>0)的两焦点分别FiE点P在椭圆C

O

上，KZPF2FI=90,∣PFI∣=6,∣PF2∣=2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线L与椭圆C相交于A、B两点，且使线段AB的中点

恰为圆M^+y2+4x-2y=。的圆心，如果存在，求直线1的方程；如果不

存在，请说明理由.

45.

已知二次函数f(x)=ax∙⅛x∙⅛的图象过两点A(-1，0)和B(5,0).且其顶点的纵坐

标为-9，求

①a、b、c的值

②若f(x)不小于7,求对应X的取值范围。

六、单选题(0题)

46.已知角α的终边经过点P(2,-l),则(Sina-CoSa)/(Sina+cosa尸()

A.3B.l/3C.-l∕3D.-3

参考答案

1.A

交集

2.C

a、b长度相等但是方向不确定，故A不正确；向量无法比较大小，故

B不正确；a两个向量相同，故C正确；左边是向量，右边是数量，

等式不成立，D不正确。

3.D

4.A

同底时，当底数大于。小于1时，减函数；当底数大于1时，增函

数，底数越大值越大。

5.C

由已知可得

/、若“∕α,c√∕0,则"/0,若/U户内，就不正

确；故/错误；

B、若"/ɑ〃/仇则α〃仇当α与。相交时，2

平行于其交线也成立

故6错误；

。、若Q〃△"/7,则a〃7,由平行平面的传递

性可知，C正确；

D、若,则a_L7,错误，当小〃7时，

也成立；故。错误

综上所述.答案选择：C

6.B

利用诱导公式化简求值∙.,sinθ=sin(k×360o+θ)(k∈Z)/,

sin750o=sin(2×360o+30o)=sin30o=l∕2.

7.C

自变量X能取到2,但是不能取-2,因此答案为C。

8.A

由题意可得：函数/(力)为二次函数，其图像抛

物线开口向下，对称轴方程为：X=当

∙∙∙^23时满足题意，

.,.α≥6

9.A

10.A

11+4,

由题意可设抛物线的标准方程为/=-2py,

∙.∙抛物线上的点M(m,-2)到焦点的距离为

4,

.,.《+2=4,解得p=4.

.∙.抛物线的方程为/=-87/.

把点M(m,-2)代入m2=16,解得m=±4.

故答案为：±4.

12.180,

由等差数列的性质可得

。3+。7=。4+。6=-4,

又。3•。7=—12,.∙.。3,。7为方程

X2+4%—12=0的两根，

解方程可得两根为：-6,2,又∙.∙公差是正

数，

/.。3=—6,a>7=2,「.公差d=———=2,

(一J

Qi=。3—2d=—10,

20X19

.∙.S20=20X(-10)+---X2=180,

14.

X3+2,

设7—1=/则N=%+1,

贝IJ/(£)=(力+1)2—2。+1)+3=/+2.

故/(N)=X2+2.

综上所述，答案：x2+2

15.16.等差数列的性质.由S8=32得4(a4+a5)=8,故

a2+2a5+a6=2(a4+a5)=16.

16.-3,

直线6χ-4y+7=z0与直线ax+2y-6二。平行

Λ6×2=-4a

Λa=-3

17.-1<X<4,

不等式也一同<5,可化为

-5V2/-3V5,

解得：—

综上所述，不等式|2N-3|<5的解集是

(x∣-l<x<4}.

18.R

19.

√io

20.5n-10

21.

解：对不等式进行同解变形得：

4<l-3x<7或-7<l-3x<-4

58

解得：一VX<-或-2<x<-l

33

22.

解：(1)由题意可知：---->O>解得：—1<.v<l>

1+x

：.函数/(X)的定义域为Xe(τ,1)

(2)函数/(x)是奇函数，理由如下：

/㈠)=Iogaɪ-ɪʒ=Ioga辛=-Ioguɪ-ɪ=-/H)-

l+(-x)I-X1+x

函数/(x)为奇函数

23.

解：(1)利用捆绑法

先内部排：语文书、数学书、英语书排法分别为N；、4、&

再把语文书、数学书、英语书看成三类，排法为

排法为：WH⑷HHlo3680

(2)利用插空法

全排列：4；

语文书3本，数学书4本排法为：4

插空：英语书需要8个空中5个：4

英语书不挨着排的概率：尸=4.=工

邠99

24.

:解：y=VJcos2x+3sin2x

=2∕J(Lcos2x+^^

λsin2x)

22

=2λ∕3(sin^cos2x+cos-^sin2x)

=2>∕3sin(2x+-^)

(I)函数的值域为［-2j5,2百］.

(2)函数的最小正周期为τ=2c=

2

25解

(1)因为f(x)=在R上是奇函数

所以f(-χ)hf(χ),f(-1)=-f(1)=-2

(2)f(t2-3t+1)>-2=f(-1)

因为f(χ)=在R上是减函数,t2-3t+1<-1

所以1<t<2

26.

解：Sina=I■比I弓,町二.cosθ=4

31

得tanα=——又tan(π-⅛)=—

42

,∖tanb=-ɪ,W1Jtan2b2tan∕)4

21—tan2Λ3

-,、tan4-tan67

.fc.tan(yα-2⅛)=-----------------=—

1÷tanαtanb24

27.

(1)=α∣+(n+1)<∕,ɑ∣0=30,a20=50

.∙.%+9d=30,q+19J=50得α∣=12,d=2

则ar,=2〃+10

(2)S“=叫+””产d且SlI=242

.∙.12"+"("T)χ2=24

2

得n=ll或n=—22(舍去)

28.(1)2双曲线C的右焦点为Fi(2,0),Λc=2

1|气2|__后

又点FI到Cl的一条渐近线的距离为∙E,.∙.②+从一,即以

H=√2

C

解得b=A

J=J-y=激双曲线C的标准方程为M-^=I

22

(2)由双曲线的定义得IlPF卜归刚=2√Σ

..∣PFa∣-√2∣=2√2,解得照I=工也

故点阕C的左焦点F为距离为3尤

29.证明：作SOLBC,垂足为0,连接AO

：侧面SB_1底面ABCD

.∙.SO_L底面ABCD

VSA=SBΛ0A=0B

又∙.∙ABC=45O.∙.AOB是等腰直角三角形

贝IJOA±OB得SA±BC

30方程/T0x+l6=0的两个根为2和8,又磋四

,,,%=2,B,=S

又∙.'a4=aι+3d,.*.d=2

e8(8-1)rfC8×7×2”

..g=β8.+————=8βx2+---------≡72

♦二二

31.

(1)由已知得

2

«1+(al+的)=2(αl+alq+aiq)

aq2+q=Q9=-∣g=W)

⑵α∣-α∣=3.∙.q=4

4(i-(-∣r]8

SB=---------2-=⅛-

1-3

32.V(1)这条弦与抛物线两交点小孙无6(占仍)，4=12丸*=12勺

,

∙∙(J1-^)(J∣+Λ)=12(X1-X2)Y弦的中点为M(l,2)

.V.-V12126r〜1、

：・~∙2=----=——=一=y—2=2(x—1)

XI-X2必+为2Jo2

.∙•弦所在的直线方程为3χ-y-l=0

v2-12x2*2

(2)λJ-得Gx-D_12x=O..9x-18x+l=0

3x-j-l=O

.∙.弦长∕=√i7^4-4x,=屈乂殍=华

/(-l)≡√l-α-1=^

33.(1)

l-α~l=ɪ,/.α^4=L即α=2

22

/(X)=√l-2*.∙.l-2,≥αX<O

..函数以商定义域为(-∞Q)

∙∕2*>0<0<l-2,<l./(x)e[0.1)

(2)函数Λx注I值域^(-∞.θ]

34.x-7y+19=0或7x+y-17=0

35.(1)P=0.9×0.9×0.9=0.729

(2)P=]-O.l×O.l×O.1=0.999

36.

(I)如图

(II)连接BI),取8。的中点0,连接MQ

因为M`。为线段4C、8。中点，所以MQHCDHGll且MQ=:?Gll

又因N为GH中点，所以NH=-GH

ɔ

得到NH=MQ且NHuMQ

所以四边形QMN〃为£7

得到JQH/IMN

又因为。〃U平面8/)，

所以MNU平面BDH(得证)

(∏D连接八C,EG,过点M作MK±AC,垂足在AC上,过点K作平面AliCD垂

线，交KG于点L,连接，WA,贝」二面角A-KG-M=NMLK

因为MKU平面八SCO,且八E±ΛBCD所以MKɪAE

又八£,ACU平面八EGJ所以何KJ.平面AEG

且KLUAECi,所以MK1KL,所以三角形MKL为RT\

设正方体棱长为a,则Λli=BC=KL=a,

所以Me=

因为^MCK=45°,三角形MCK为RTA,所以MK=MCcosZ450=警

√2w

所以tanNMLK=—=」一=—,所以cosZMLK=士更

KLa43

2√2

所以cos</1—EG—M>=cos/MLK=--—

37.

(1)因为/(X)-4CoIkrjHn(jr+】)一】

6

]

-4coax(—sinʃ+yCoJLr>-I=VI9∣nZx+

2CO√JΓ-1=TJsinir4-cctZx≡2nin(^+ɪ).

6

所UX/U)的最小正周期为《

(2泗为一所以一三<2∙r+=≤⅛.

04663

于是+即-r=T∙N.f(∙r)取网最

大值2,当2x÷ɪ",ɪ«SP*—-J时♦/《*>

D06

取傅∙小值-1.

38.

(i>H4>C<l,0).MAAa<HAPit.

t>4M<∙.HfUta/

化IBlB∙lr-y-2・■

(»■■/■方∙*"一,∙o.∙C∙l[tfU>

1ɪ-'ttr-l./.«

々∙

Aβ∙⅝∣t-J√√-rf,-tJ∙-y-√K.

39.(1)设等差数列｛a11｝的公差为d由题

意可得'r,+4d=8解相:一。则数列

∣Sj≡3uI÷3d=6Id≡2

楠・)的通项公式为。・=α∣〜(内一】)d-2万一2・

Gnɛθ+(2n—2)]•._

(2)S.-,----------=程一n.由S.s≡7σ2o∙

可得A,-A=72.即**-*-72∙0,解得上・9

或A-一8(舍)・

40.

<l)l∣A∕,(jr>∙BURJ÷TJCOM-J5∙

SaM∣<j÷j)-∕r.IKCl/O)S・小王JII

*+；■・.・Jr-?"H.∕<r>"■■小值.«

α∕u>ftκw[o.j]1i⅞a*Mλ/(y)

——Λ・

41.

,

⑴解:'.α=(2sι∏Λs2sin.v),h=(cosΛ5-sι∏.v),

/(∖)=¾b-1=2SinxCOS工一2Sinlt-1=sin2-v÷cos2.v.

,.βf(Λ)=ɪ).β.in2Λ+COS2Λ=->.*.1+2sin2.vcos2ʌ=ɪ..∖sin4Λ=∙ɪ-.

(II)解：由(I)知/。声0+-V=√Σ(*sm2∙i=gcos2x)=>^J2g'P争)ʌ7

2244

=VΞsin(2-'+^).

4

∙'-`∈(θ>~),,,~^2.v+--^<siπ(2-v-∙^)≤1.

.∙./(ʌ)的取值范围为(-ι√3]∙

42.

—ey

二^

a,≡6,+e,<

所以需艮的方程»1(+[-].

∣⅛∙2.8*

(2)ItjftAJI蚪串标分剜为(Jr..%)。。，。,)，

线段AB的中点为M<xj.y.).(H

区+^a1

J84消去y■+42m'-8・

b-ʃ♦∣w.

0所以Δ^96-9mt>O.WV1-2√3<■V2

L……ɪi⅛Xf2m"«

√T∙所0，..一;一___V∙∕∙w,χ∙+βl**T∙

因为点MQ.>.>βHrf+y,*1±.WU(-

2巴尸+(二)'。1.所0m∙三斗士.

33ɔ

43.

(1)【证明】E、F分别为ACAD中点ΛEF

HCDVCDU平面BCD.EFU平面BCD.

IEF〃平面BCD.

(2)【解】直线AD与平面BCD的夹角为45∙又

V在aABD中∙AB1BD,，NBQA=NBAD

♦45°∙AB=BD=4♦乂VSΔBΓD≡3×4×~—

M

=

6,；∙VAU6X4X-ɪ≡8«

44.

(1)由楠网的定义得.Za=|PF11+

IPFtI=6+2=8.α=4又/PF1F1=90".

2f2

Λ(2<∙)=I