2022-2023学年山东省济南市普通高校对口单招高等数学二自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年山东省济南市普通高校对口

单招高等数学二自考模拟考试（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

一次抛掷二枚骰子（每枚骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6）,则向上的数

字之和为6的概率等于《〉

A.1/6

B.1/12

C.5/18

D.5/36

2.

设/（x）为连续的偶函数,且F（x）=//（，）市，则F（-C等于

).

A.F(x)

C.OD.2F(x)

3.

下列等式不成立的是

A.lim(l+⅛+5=eB.lim(l-ɪf=e'1

rt→*nΛ→<x>fl

C.Iim(I+J)"=eD.lim(l--U"=I

"→-n

<g¾χ=*in(√).PM⅛PT().

a/

•∙c√-B.-∕cos(x∕)C.√sin(Λ)∙,)D.~CM

设f(χ)①,则Ir(X)dx]'=

X

COSXB.包UC.2+CD.⅛C

XXXX

ln(l÷t)⅛

6犷「()

A.∞B.0C.lD.1/2

7设f(x)=xa+d,+lnα,(α>()且α≠l的常数)，则/'(1)=

ʌʌα(l+lnα)

Bɑ(l-ɪnɑ)

C.Hna

β+-

D.a

8.

设函数y=f(工)在χ=l处可导,且

Hmf(l+3Aa)-f(D=1

Δx'**'03

则，(1)等于

ʌ-⅜b∙i

C∙-⅛D∙-⅛

4X->∣2ɔ

设函数/(x)=<X2-4、在x=2处连续，则α=

9.ΑJC=2Oo

1

1

B.M

1

CF

1

D.动

已知函数f(x)在x=2处可导，且Iim/(2+2)W⑵=L则/⑵=

IOΔ<→Oʌr2

A.A.-1∕4B.-1/2C.l/4D.1/2

11.函数y=lnx在(0,1)内()。

A.严格单调增加且有界B.严格单调增加且无界C.严格单调减少且有

界D.严格单调减少且无界

12.

过曲线y=x+lnx上MO点的切线平行直线y=2x+3,则切点M)的坐标是

OO

A.(hɪ)

B(e，e)

c(I.e+l)

D(e,c+2)

13.若在(a,b)内F(x)>0,f(b)>O,则在(a,b)内必有()。

A.f(x)>OB.f(x)<OC.f(x)=OD.f(x)符号不定

14.函数曲线y=ln(l+χ2)的凹区间是

A.A.(-1,1)B.(-∞,-l)C.(l,+∞)D.(-∞,+∞)

∫'ι(2+xln(l+√)]ck=

A.4B.2C.OD.-2

16.已知/(x)=InarcCotx,则/'(】)=()0

2

A.R

2

B.π

X

C.2

π

D.2

17设函数N=ln(1+3。,则dy=.

18.当XTO时，下列变量是无穷小量的是【】

A.sinx/xB.ln∣x∣C.x∕(l+x)D.cotx

19.

两封信随机地投入标号为1,2,3,4的4个邮筒，则1,2号邮筒各有一封信的概率

等于

设U(X)是可导函数，且U(X)≠(),则[Ind(X)]'=

∕rU∙\

U

A.u

/

U

B.11

2√

C.m

D.2W"'

已知函数/U)=x∖则Iim八12)7⑴=

21.AiZ()o

A.-3B.0C.lD.3

22.已知/⑺=」.则∫>'(*)dx等于()∙A.I∕2B.1C.3/2D.2

设/(x)=xlnX,则/S)(X)(〃22)=

(-1)"(〃-1)!

χ"^l

A.A.

B.Xn

(T)A2(〃-2)!

C.x"^2

(一(id)!

24.

下列各式中存在极限的是

2B.iim

ʌ,⅛(x+Dx-»+«»JC

C.Iim-ɪɪD.Iimɜɪ

jr-*O

设z=e'，则典=

25.衣力()o

A.2x(l+χ2y)e'y

R2x(1+X2)eχ2y

JO∙

2χ2y

r2xy(l+x)e

V.z∙

2?y

Dxy(l+x)e

已知点(5.2)为函IU=Jy+。+§的极值点,则分别为

A.-50.-20B.5020

“C20,50D.2O.5O

27.设内。)二阶可导，且广⑴=0,r'(l)X),则必有

A.A./(l)=θ

BJ(I)是极小值

r/(1)是极大值

点(1,〃1))是拐点

28.若随机事件A与B互不相容，且P(A)=O.4,P(B)=0.3,则P(A+B)=

OO

A.0.82B.0.7C.0.58D.0.52

29.

设/(x)=x(x+l)(x+2)(x+3),则尸X)=

A.3B.2C.1D.O

∫∣e∣inx∣dx

30.；

∫∣Inxdx+JJnxdx

A.A.«

∫∣Inxdx-∫*Inxdx

-J；Inxdx÷∫*Inxdr

C.C

-∫∣Inxdx-ʃɪInxdx

D.e

二、填空题(30题)

31.

设/(X)=sin2•，则/d)=.

Xπ

32.

若f(x)=de3贝∣J/"(X)=.

已知J∕(x)dx=α+χ2)arctanx+C.则f'(x)=∙

33.

「・$=¥,则α=________________.

la2

λ44+x8

35.

设2∕(J∙)COSJ=ʃ-[/(ɪ)]ɪ♦/(0)=1,则/(ɪ)=

ɑʃ

Λ.eosʃB.2-eosʃC.1÷sinɪD.I-sinɪ

36.函数y=lnx,则严)o

37.岬βin(x-15^------------

汹

®z=arcsin(xv)•则ɪ-ɪ-=____________・

38.9

r

39.

40.

已知函数/(2x-l)的定义域为[0.1].则函数/(ɪ)的定义域为

A.Q-y,1]H.[-1.1]C.[θ»1]D.[-1.2]

41.

j-÷√i≡7

设Z=JE，则dz=

42.Vv

43.

函数曲线y=xe'的凸区间是

44.

不定积分1p∙∞s-<iχ=

45.

若Γ---ι=τL=dχ=----arcsin2Λ+C»则G(X)=

JJl-9(x)in2

“设V=InX-X2,求dy.

fcτ¾*•

.设y=/1+ln(ʃ*E+11则y*≈

47.

48.

若f(N)=Sin(12+z+l),则f(ɪ)=

49.

设z=∕3,v)∙"=exy,v=ln(x2+ʃ2),/是可微函数，则生三

∂x

50.

c

∫ιd[∫dlnx]=

52.设函数y=xll+2n,贝!ly®(I)=。

53.

已知(COtX)'=f(x),则JXf'(x)dx=.

阿O

nfc⅛・

已知/(x)=InX,则∫2∕,(e4)dx=.

55.

56.

Iim吗Ξ二&=

IX—1

A.1B.0C.2D.ɪ

57.设y=sin(lnx),则y")=_.

58.

.分2Z

设Z=e"aτcosy,则不一=__________

∂y∂x

59.设函数/(，)=/+1，则/(口的极小值为

60.

若函数y=/(ɪ)在点ɪ.处不可导.则函数y=/(ɪ)在点X9处

A.无定义B.不连埃C没有切歧D.不可微

三、计算题(30题)

O求函数Z=-y+工、'的全部二阶偏导数•

计算jj/dxdy,其中D为ffll∕+y=1及/+y=9所围成的环形区域.

计算］］（√p+炉-Q）CLrd.v∙其中D为一+y≤L

63.

设施数u∙=/Q—/可做.樽窗.票

64.

设函数y=κ⅛∏∙求/

65.

设函数Z=α'+y')e-E"，求Az与嘉•

66.

67.j√^<l+χ）

68.①求曲线y=x2(x≥0),y=l与x=O所围成的平面图形的面积S：

②求①中的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

69设z=∕(*y)是由方程XZ=)+/所确定,求M

7。.计算F/??公

71.设函数Z=/(e，Siny.3z∖),且f(u,v)为可微函数.求dz.

0≤J-≤1,

求［八H)dɪ,其中/(ɪ)

72.J÷l.1≤ɪ≤2.

73.求微分方程2y'—3y=J∙e'的通解.

74.求•分方程3x,÷5χ-5√-O的通解.

求不定积分］―⅛——.

75.J1+，3—Jr

计算定枳分I/2+2cos2zdz.

76.

77计算定枳分j]n(G+ndr∙

I(arctan∕)2dj

求极限Iim

78.**hb√rr+l

求曲线/''在点(l.一2.1)处的切线方程fθ法平面方程.

79.13x+2y+l≡0

求极限啊!⅛⅛1-e一】)cos}}

改变积分fdɪ[∕G0)dy+F(lj∙∫1∕(H.Wdy的积分次序.

82.求函数z=x2+y2+2y的极值.

83.求二元函数f(x,y)=x2+y2+xy在条件x+2y=4下的极值.

求定积分，-^χ(l∏.r)2djr.

84.J'6

85设函数之=(2/+y尸；.求dz.

86.

计算二重积分∕=g∣∙<i∙rdy.其中D为由曲线y=ɪ-ʃ*与y=工，-1所围成的区域•

ɪɪstn-♦ɪ≠0∙

x的导数∙

(0∙X=O

设/+y：+2ι-2A=C,确定函数C=zG,Q,求生,生.

88.ðʃ∂y

求不定积分[ln(ι+√ΓΓPr)dj.

90.若曲线由方程工+e"=4-2e"确定.求此曲线在H=1处的切线方程.

四、综合题（10题）

91.

过曲线N=r'Q>0）上某点A作切线.若过点A作的切线•曲线）=>及/轴围成

的图形面积为士.求该图形绕/轴旋转一冏所得旋转体体枳V.

92.讨论函数/（.r）=3工一二的单调性.

93证明I当OVHV■1时,co*V[一1+1.

「—1—dz=O在区间（0.D内有唯一的实根•

Joɪ+t'

过点P<1.0>作Ii物线y=/E的切线，液切线与上述幄物线及，轴圉成一平面图

95.心.求此用即废r轴艇用一网所成的箕转体的体根.

证明：方程］ɪʌd/=ɪ在（0.1）内恰有一实根.

97.证明方程<r=2'在［0」］上有且只有一个实根.

QQ求由曲线》=r,4与y=所圉成的平面图形的面积.

设平面图形D是由曲线y=c',直线y=c及y轴所围成的•求：

<1）平面图形D的面积I

99.（2）平面图形“绕N轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

100.

设函数）=αr,-6or*+6在［-1,2］上的最大值为3,最小值为-29,又a>0・求a,6.

五、解答题（10题）

曲线y=∕（x）过原点，且在点X处的斜率为4x,求Iim冬.

JT→0X4

101.

∫arcsinɪdɪ.

（本班清分io分）

（«）求曲线y=/（XAO）,y=l与X=O所四成的平面图形的面积

S;

（2）求（I）中的平面图形绕ySi旋转一周所得旋转体的体积匕.

104.

设y=2x3arccosjc÷(ɪ2—2)八一心,求dy.

［

计算L±±L⅛t.

1U3.I«

106’7庆分X分」tBI.ɪn：.anɪdr.

107讨论/(x)=J；red的单调性、极值和拐点∙

108.

求函数z=2∙?+3寸在1=10,y=8,∆x=0.2,Ay=0.3时的全增量与全微分.

109.

上半部为等边三角形下半部为矩形的窗户

（如图所示），其周长为12m,为使窗户的面积人达到最大,

宽/应为多少米？

计算吗也dx

110.

六、单选题（0题）

111.

,Q/(Λ:÷2∆x)-/(x).>、

及函数/(*)=/,则llim〃---------—~等λλ于()•

a-。∆χ

QOB.2xsC.6/D.3x'

参考答案

1.D

2.B

答应选B.

提示利用/(7)=/(M)及F(7)=作变量代换，=-U.则F(-X)

,∙-u)d(-u)=-ʃ*/(u)du=-F(w).所以应选B.

3.C解析：

利用第二个重要极限易判定：

A.lim(l÷ɪ)^5=Iim(1+-)n(1÷ɪ)5=e

“TOHΛ→°Onn

B.ɪim(l-ɪ)"=[ɪim(l÷-γn]-l=e-ɪ

∏→βonΛ→o0—n

11π21

C.lim(l+-)π=lim[(l+-)]"=e°=l

n→o°nτlΛ→o°Hτ2

11_„2_L

n

D.lim(l--τ)=lim[(l+—r)/〃=e°=1

n→°o∏2∏→oβ一〃'

故选C.

4.D

答应选I).

提示：对X求偏导时应将,视为常•数.则在

⅜

ə*≡cos(x∖')∙V*∙~y=-y*⅛i∏(xy*)∙),*≡-J'sin(x>)•

Λx∂x

•人选I).

5.B解析：由不定积分的性质可得.

6.D

7.A

f(X)=(X°)'+(α')'+(Ina)'=ΛX"JT+α'Ina

所以∕y(l)=α+αlnα=tt(l+lnα).选A.

8.B

9.B

因为=Iim--------------J=——L=—1=

xτ2X2-4*→2(x-2)(x+2)(√x+√2)8√2

10.C

根据导数的定义式可知

./(2+2Ax)-/(2)_1

1Ilm--------------------------2/(2)--

Δ*→OAx2

≡4

11.B

12.A

本题将四个选项代入等式，只有选项A的坐标使等式成立.

事实上y'=J+'=2得JC=I,所以y=I

13.D

14.A

2x〃—2(l+f)-4-2(1-X2)

因为y'=TT√,)(l+x2)2

(1+Λ2)2

y〃>0的区间为l-d>O,W-Kx<l所以选A

I解析］因为Xln(I+，)是奇函数

.「A所以「［2+xln(l+x2)］dx=2「2dx=4

15.AJTj0

16.B

因为/'(力=—?—(一—二］，所以"D=-2.

arcCOtxk↑+x2)n∖2)π

4

3_Jn3

17.1÷3

18.C经实际计算及无穷小量定义知应选C.

.Iim=1.Iimln1ɪ!=—∞,limz—7—=O,IimcoLr=∞.

z-*0X*7>z-*<lIJX

19.C

20.C

(lnu2)z=(2Inu),≡

u

21.A

Iim⑴=Iim&二")-⑴.(-1)

AXTOʌXΔx→0—ʌX

,

=∕(1)(-1)=(3√)∣^1*M)=-3

22.B本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分法.

ʃ√,(x)<lx=JXdy(X)=xf(x)Ie^ʃ/(x)dx=He［：-Le0=tt'^x_1)|⅛=1'

23.D

因为ra)=InX+1，/"(X)=L，P(X)=~，

XX

严")=*=坐，…心幻=(-％2)!(心2)

XXX

24.A

25.A

χ2y

因为^=e-2xy

OX

所以ɪr-=(2Xye八Y=(2X+2xyx2)eχ2y=2x(1+x2y)cxy

∂x∂y

26.B

27.B

利用极值的第二充分条件可知应选B.

28.B

29.D解析：

因为/(x)是X的4次多项式，所以/(5)(X)=O

30.C

-Inxl≤x≤l

由IInXI="e

Inx

I<x≤e

所以ʃf∣lαr∣dx=-∫∣Inxdx+「Inxdx.

31.π2

π2

由∕,(x)=COS-♦(----y)所以f∖-)=:COS-J-=K2

XX兀(与21

ππ

f'(x)=2xe4÷x2e4

32.(2+4x+x2)ex(2+4x+x2)ex解析：/(x)=(2+2r)eτ+(2Λ+√)er=(2+4x+√)e*

C2x

2arctanx+------r

l+x2

［解析I因为/(x)=2XarCIanx+1

所以∕,(x)=2arcIanK+-----W

33.1+厂

2

［解析］因为「~^x,iɪɪarctanɪ=ɪ(ɪ-arctan-)≈-

ia

4+√22β2228

aπ

arctan-=-

24

所以—=I.a=2

34.2

35.C

(-D"(〃-D!(-D'("-D!

36.ɪ"x'

37.应填2.

【解析】利用重要极限1求解.

吧⅛⅛r岬^⅛τ∙("∣)=2∙

38.

39.

40.A

41.π∕3π∕3解析：

.1I-X5

因为ʃi∙÷^τd-r

Wl-X，

x

T彳Iɪ-dɪ-fit

-1Vl-X2^IVl-X2

=2f2-=J=dx(根据奇、偶函数在对称区间上的积分性质)

Jo√Γ7

ʌ|1-1ππ

=2arcSinxH=2x—=—

lo63

J2(ydx-Xdy)(VdX-Xdy)

42.2.∙2xy'"λ

43.(-∞2)

(-8,2)

x

因为yn=(2-χ)e<0,得x<2,即(一8,2)

—sin工+C—sin工+C

44.ɪ工

45.4x4x解析

I*11

由(---arcsin2*)=---------.-(2-t∕

1∏2In27

21

In22'

In2Jl-4,

T_2x

根据不定积分定义可知，有

√1-4JΓJl-奴工)

故0(X)=4'

解y/=--2xdy=(—2x)dx

46.XX

ZrZr

47.7?VTTI

48.(2N+1)COS(X2+H+1)(2N+1)COS(∕+H+1)

49.

2xf,

x1^-,y1Jv解析:

∂z∂z∂u∂zəvəz∂z1

-------+-------=—exyvy+×2x

∂xðu∂x∂v∂x∂uəvX2+y2

Oy

3个中£'

50.1

Id(Jdinx)=ʃdInX=InM：=1

52.

XX

--------2----COtN+C------2----COtN+C

53.sinXsinX解析

j∕Q)dx=∫.rd∕(x)=√(-r)-∫∕(x)<k

-xf(x}-f(COtX)Ck=-----ɪ-------cotx+C

Jsinx

54.e

e^1-e^2

［解析］因为f'(x)=L,则八e')=e-jt

X

22

所以f∕z(ex)dx=-e^jt=e-1-e^2

55.*'

56.D

57.1

［解析］y=cos(InX)(Inx)z--cosInr.ι∙,(l)=-!-cosInxi=1.

XX1,∙'

58.-esinxcosxsiny

由Z=e'2cosy,则靠=—e"nrsiny,=—e,,axeosɪsinj.

59应填L

本题考查的知识点是函数?(X)的极值概念及求法.

因为f'(x)=2x,令f'(x)=0,得z=0.又因为f"(x)∣x=0=2>0,所以

f(O)=l为极小值.

60.D

因为

s1

za=4xy÷2xy^・之>=2∙r'y+3ι'y'•

所以

U=12√√+2√∙

%=2x,+6∕y∙

2

zl9≡8J>>÷6xy•

61≡>∙=8x,y+6x>2.

因为

11i2

za=4j-y+2∙ry'∙a=2∙r'y+3jy・

所以

£“二12J：2y2+2yi•

J=2JJ÷6√>.

zn≡8*'y+6∙ry'.

,

z9t=8J>+6J∙>∖

62.

画出区域D如图所示.由枳分区域的对称性及被积

函数关于.7轴和y轴都是偶函数•故有

jjʃ^dxd›=4jJ.rxdxd>∙.

υl

其中口为区域D在笫一象限的部分,即

Di=M∙r,y)II≤M+y'≤9.工≥0,›≥OL

利用极坐标变换.Q可表示为0≤8≤≤r≤3.故

(rcosβ)2∙rdr

画出区域D如图所示.由积分区域的对称性及被积

函数关于.7轴和y轴都是偶函数•故有

JJrWy=4jJ√jd∕dy∙

/»D,

其中Dl为区域D在第一象限的部分.即

2

D,=<(ʃt,v)I1≤x÷>*≤9∙J≥0t,y≥0>.

利用极坐标变换•小可&示为0≤8≤羡I≤r≤3.故

UMdxdy=(reosð):∙rdr

=r,dr

≡20∫fL±好印此

=20•y[β÷γsin2^]∣*

因此=40Meb*dy≡20x.

⅛

63.

根据积分区域与被积函数的特点,该二重积分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

积分区域Qrtiʃɪ+/≤1化为l∙0≤8≤2n∙故

(√∖τr÷yr—ɪv)dɪdv(r-rtcos0sintf)rdr<W

=ʃdðʃ3-rjcos5sintf)dr

=Jq-ycosβsintfJJd0

=；夕|一ɪʃsin0dsin0

根据积分区域与被积函数的特点,该二重积分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

积分区域/，由/+丁≤】化为r&1.0≤8≤2八故

<*J£+y'-ʃɔr)drdv(rrɪcoMSind)rdrd"

11d"j3―，coMsintf)dr

=p[y-ycosβsin0∣Jdff

；夕1jSinfthind

∣π-ψi∏^∣^={κ.

令“y=u9jryz=1;・则/(w)≡/(J∙U∙V).

.∙.枣=亚+〃.且+亚.亚=亚+亚.y+〃∙*

əɪdɪ∂udɪ∂vəɪəɪ∂u∂v

%=也.如+幽・包=冬.工+冬.ʃɪ.

∂y∂u∂y∂v∂y∂u∂υ

t,

—3u=-d-u--:•---∂-υ=3—u∙JfV.

64.∂z∂υ∂z∂v∙y

令JryUU∙J>X=，∙则/(w)N/(J∙U∙V).

.∙.迦=亚+〃.且+〃.电=亚+亚・y+更・1

əɪəɪ∂u∂χ∂vəɪəɪəw∂v

ι

∂ɪw-=∂-≤w--•∂-uT1--∂--u-----3υ=∂UJ•工十.—∂U∙J∙ɪɪ.

Qy∂u∂y∂vσyσu∂υ

du，3u∙∂υ∂uf

—=ɪ-∙r-≡ɪ-∙ɪj-

∂z∂υ∂z∂v

=]=______1、

?ʃ2÷4x+32(ɪ÷Iɪ÷3/

y=-∣∙C<-1XJ+1)2-(-1)(X÷3)-*.],

£»

y=4^<-1>C(-2)<J+D-1-(-2)(z+3)T]

£»

=y(-l)<-2)[(-r+l)-3-(j÷3)j],

Z=ɪ(-l)(-2)[(-3)(x+l)4-(-3)(x÷3)-∙]

=y(-l)(-2)(-3)[(j÷l)^4-(j÷3)^1],

*

故y∙*=4√-i)”!}z+1广*>一(工+3尸11

65.

ɔ,=ɪ—=Iz-I____L-∖

yV十41+32(z+lJ-+3/

y=-∣-C<-l)(ʃ+D2-(-1)(J∙+3)1.],

y=∙∣∙(-l)[(-2)G+l)7-(-2)(z+3)T]

£»

=-∣-(-1)<-2)[(Λ∙+1)~J-(J+3)ŋ,

Z=ɪ(-1)(-2)[(-3)(J+1)4—(-3)(z+3)τ]

=ɪ(-1)(-2)(-3)[(J÷1)-4-(J+3)-1].

(Λ

*

*

故√β,=4•(一D"”![(∙r+DTf'-(z+3)τ-"]∙

66.

V至=2je∙re,,^^-(√+y2)eUn吟.

əɪ

2ye"'M-(ʃ2+y1)e*rtw^・[ɪ∕1∙(ɪ)

⅜+(2jr-j)e∙n,*÷

∂y

ΓCU

=E∙"^[(2J+y)<Lr÷(2y-j)d>].

匹=e

əʃəʌr

S=2ye

e.P[(2∙r+y)d∙r+(2y-∙r)dy],

输亡

eβrr,βn<一(2x+>)e*trtaβ∙J)=

əʃəʃ⅛,JTxl+y

67.

令/F=，，则工=J∙dɪ2cdι,故

dz2I=2arctan/÷C=2arctan√Cr÷C.

√T(1÷x)m⅛)=

令石=，，则工=.dɪ=2∕d∕,故

√F(i+x)=ʃ-2I∏⅛

=2arctanZ+C=2arctan√Cr+C.

68.①由已知条件画出平面图形如图阴影所示

S=∫∖l-√)dχχ(x4)卜宗

②旋转体的体积

匕=Mdy="dy*L

69.解法1直接求导法.

在用直接求导法时一定要注意：等式两边对工（或y）求导时，应将y（或X）看成常数，而式中

的：应视为X与，的二元函数，最后再解出或弟）即可.

等式两边对X求导.得

"击噜解得导W

解法2公式法.

设情助函数F（*,y.*）=«-y-«-等式两边对X求导时.式中的y与N均视为常数,用一元函

数求导公式计算.对y或：求导时,另外两个变⅛t也均视为常数，即

aF,»',

—=fc.=x*-≈fcr,≈×-el,

∂xOX

əɪF：Zɪ

所以■=————'—S,

∂xF：x-e,e*-x

解法3求全微分法.

直接对等式两边求微分.求出&的表达式.由于dκ*<k+3dy,所以dx（或dy）前面的表达

式就是票或9・

因为d(ɪɪ)=dy+d(ct),

即zdx⅛x(iz=dy+e,<k.

则dɪ=-ɪ-dx----7~~dy»

e-Xe-X

dɪ2

所以—g.».

Ax#»*-T

用换元积分法.令∙r=tan/.则

r

71*——ser/dz

ɪtanw∕∙sec/

esc/∙co"d∕

ɪ=39-2々

ɪ

70.3

用换元积分法.令Z=tan/.则

产1A户1

--;—,ci.r=-----i------------sec^∕d∕

J»χt∙√14-ʃ1Jftan`z∙secz

=ʃ:esc/∙COtzdz

,93√2-2√3

=-CSC/.=-----------.

ɪ3

71.

t

令ISiny=u93xy=*,则有z=f(u,υ).

利用微分的不变性得•

,

dz=∕w(α.v)du+(u^v)dυ

t

=//d(e'siny)+f1∕d(3xy)

=f∕(e,sinjdɪ+ejcosjdy)+f∕(6jrydx+3xtdy}

2f

=(Isiny/.'÷eɪɔr/,/)dʃ+(eʃcosyf∕+3xfv)dy.

2

令ISiny=u.3τy=τ/,则有z=/(utv).

利用微分的不变性得,

z

dz=∕w(u∙v)dtt+(u9v)dv

,2

=∕wd(e*sinjr)+∕t,d(3x>)

tj

=f∕(es∖nydjc+ecosjdy)+∕l∕(6zyd∙r+3∙τ"dy)

2,

=(ISiny/「÷6xj∕t∕)dʃ+(eʃcosyf∕+3xfv^dy.

£八外&=f;⅛L+f3+】)业

≡^(T⅛7AΓ÷(⅜X1÷X)L

=arctane,∣+-∣∙

15Tr

72.=arcane+--ɪ.

。⑺dʃ-J：^τ<Lr÷∫*(x÷l)<Lr

≡=arctane*∣+ɪ

I5π

=arc<ane+ɪ—

73.

相应的齐次方程为

y,-2y'—3y≈O.

其特征方程为r1-2r-3=0.

得特征根为C=3.r,=-1.故齐次方程的通解为

jj1

y=C1e+Cie(C,,C1为任意常数).

由于自由项〃工)=∙re'.A=-1是特征单根.故可设原方程的特解为

y,=H(Ar+B)e1

将*代入原方程,得

-8Ar+2A4B=ɪ.

有一8A=1«2A-4B≈O

得A—-J.B=-1

o10

故原方程的特献为

y∙=ʃ(-ɪɪ-ɪ)e*-i(2x+l)e-

所以原方程的通解为

y=Cle*∙+Cre∙-⅛(2^+ɪ)e-(C,.Cl为任意常数).

相应的齐次方程为

y"-2»'-3y=O•

其特征方程为r1-2r-3=O∙

得特征根为方=3.r,=-1.故齐次方程的通解为

u

y≡C∣e+C1e-<qC为任意常数).

由于自由项八ι>=ɪeʃa=-ι是特征单根,故可设原方程的特价为

y∙≡x(Ar÷B)e-4«

将V代入原方程•得

-8Ar+2A4B=≡ʃt

有一8AN1・2A—4B=O

得A=-J.B=-1

o10

故原方程的特献为

>,β4f(~iɪ^⅛)e"—⅞<2x÷1

所以原方程的通解为