复习03函数基本性质-单调性最值和奇偶性（十二大考点）（原卷版）

复习03函数基本性质单调性，最值和奇偶性一、函数的单调性1．函数单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设，，若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数2．单调区间的定义若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.3．函数单调性的常用结论（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；（2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”．（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（4）一些重要函数的单调性：①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．二、函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件对于任意的，都有；存在，使得对于任意的，都有；存在，使得结论为最大值为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.三、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有图象关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括，则．（4）若函数是偶函数，则．考点01函数单调性的判断及证明【方法点拨】证明或判断函数单调性的方法步骤：①取值：且②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论④结论：根据定义得出结论【例1】已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（

）A．函数在上一定是增函数；B．函数在上一定不是增函数；C．函数在上可能是减函数；D．函数在上不可能是减函数.【例2】已知函数，图象经过点，且.(1)求的值；(2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性.【变式11】下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（

）．A． B．C． D．【变式12】已知函数满足．(1)求的值；(2)试判断在上的单调性，并用定义证明．【变式13】已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.(1)求的解析式；(2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明.考点02函数奇偶性的判断及证明【方法点拨】先求定义域，验证是否关于原点对称，若关于原点对称，则计算，若，则函数为偶函数，若，则函数为奇函数【例3】下列函数为偶函数是（）A． B．C． D．【例4】已知函数的表达式为．(1)证明：当时，函数在上是严格增函数；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．【变式21】设函数，则（

）A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减【变式22】判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3).【变式23】已知函数满足．(1)求的解析式；(2)判断的奇偶性，并说明理由．考点03复合函数单调性问题【方法点拨】对于复合函数的单调性,利用与的单调性（同增异减）,从而得出的单调性。【例5】函数的单调增区间为（

）A． B．C．和 D．【例6】讨论函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值．【变式31】函数的单调增区间是．【变式32】函数的单调递减区间是.【变式33】函数的单调递增区间是.考点04利用奇偶求解析式或函数值【方法点拨】利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设．（2）转化到已知区间上，代入已知的解析式．（3）利用的奇偶性写出或，从而解出．【例7】已知函数是定义域为的奇函数，当时，．(1)求出函数在上的解析式；(2)画出函数的图象，并写出函数的单调增区间．【例8】已知函数，且，则.【变式41】已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式．【变式42】若函数（为常数），已知，则.【变式43】已知函数为上的奇函数，且，则．考点05求函数的最值【例9】函数，的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【例10】已知函数，且．(1)求a．(2)用定义证明函数在上是增函数．(3)求函数在区间上的最大值和最小值．【变式51】已知函数的解析式为.(1)画出这个函数的图象；(2)求函数的最大值.【变式52】函数y=+的最大值为.【变式53】用表示，两个实数中的最大值．设，则函数的最小值是考点06根据单调性解不等式【方法点拨】若函数单调递增，则由可得；若函数单调递减，则由可得【例11】已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例12】已知满足.(1)求的解析式；(2)解不等式.【变式61】已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【变式62】函数是定义在上的增函数．(1)求的最大值；(2)解不等式：．【变式63】定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是．考点07利用单调性和奇偶性比较大小【方法点拨】奇偶性与单调性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．【例13】已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（

）A． B． C． D．【例14】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式71】已知函数，若，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【变式72】定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式73】已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．考点08根据单调性和奇偶性解不等式【方法点拨】奇偶性与单调性解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解．【例15】若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【例16】已知函数，且．(1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式．【变式81】设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为．【变式82】奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式83】（多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，.则下列选项成立的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则考点09根据函数的单调性求参数【方法点拨】已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．【例17】已知是上的增函数，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例18】使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（

）A． B．1 C． D．0【变式91】已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是．【变式92】（多选）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【变式93】设，若在R上单调，则m的取值范围为．考点10根据函数的奇偶性求参数【方法点拨】利用奇偶性求参数的2种类型:（1）定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数．（2）解析式含参数：根据或列式，比较系数利用待定系数法求解．【例19】已知数是奇函数，则实数a的值是（

）A．1 B． C．4 D．【例20】已知奇函数在上的最大值为，则（

）A．或3 B．或2 C．3 D．2【变式101】已知函数为偶函数，则.【变式102】若函数，为偶函数，则.【变式103】已知，若为偶函数，则．考点11根据函数的最值求参数【例21】已知函数(1)当时，求在区间上的值域；(2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围．【例22】已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式111】（多选）已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（

）A．4 B． C．4 D．【变式112】若函数在的最大值为2，则的取值范围是.【变式113】已知函数在上的最大值为，则实数的值为.考点12恒成立问题【方法点拨】（1）若在集合中恒成立,即集合是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围);（2）转化为函数值域问题,即已知函数的值域为,则恒成立,即;恒成立,即.【例23】已知实数a，b，满足恒成立，则的最小值为（

）A．2 B．1 C．1 D．4【例24】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【变式121】奇函数在定义域上是严格增函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.【变式122】已知函数．(1)在区间上为增函数，求实数的取值范围；(2)是否存在实数使函数恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【变式123】已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．一、单选题1．下列函数中是奇函数的是（

）A． B．C． D．2．已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．6．已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题7．如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上不是单调函数8．已知不等式在上恒成立，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．9．已知，若定义域为的满足为偶函数，，且对任意不相等的，，均有，则(（

）A．的图象关于直线