专题03动态圆模型

专题03动态圆模型模型(一)“平移圆”模型适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法模型(二)“旋转圆”模型适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上界定方法将一半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法模型(三)“放缩圆”模型适用条件粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法【模型演练1】（2023上·河南洛阳·高二统考期中）在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，AD、AC边界的夹角为30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d、质量为m、电荷量为q的正粒子，可在边界AD上的不同点以垂直AD且垂直磁场的方向射入磁场，若入射速度大小为不计粒子重力，则（）A．粒子在磁场中运动的半径为0.5dB．粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为【答案】BC【详解】AB．粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有其中解得r=d画出恰好不进入Ⅱ区的临界轨迹，如图所示结合几何关系，有故从距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区，故A错误，B正确；C．粒子距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的轨迹为半个圆周，故时间为故C正确；D．从A点进入的粒子在磁场中运动的轨迹最短（弦长也最短），时间最短，轨迹如上图所示，轨迹对应的圆心角为60°，故时间为故D错误。故选BC。【模型演练2】．（2022·黑龙江·统考二模）如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P是磁场边界上的最低点。大量质量均为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子，以相同的速率从P点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r=2R，A、C为圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（）A．粒子射入磁场时速率为B．粒子在磁场中运动的最长时间为C．不可能有粒子从C点射出磁场D．不可能有粒子从A点沿水平方向射出磁场【答案】BD【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律：且r＝2R，所以A选项错误；B．要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的运动轨迹如图甲。由几何关系知，此轨迹在磁场中的偏转角为60°，所以最长时间为故B选项正确；C．当入射速度的方向合适时，是可以确定从C点射出的粒子圆周运动的圆心的，如图乙所示，作PC的中垂线，以P或C点为圆心以2R为半径画圆弧交PC中垂线于O，O点即为能通过C点轨迹的圆心，故C选项错误；D．若粒子能从A点水平射出磁场，则在A点作速度方向的垂线，再作AP两点的中垂线，交点即为圆心，此时圆周运动的半径r≠2R，如图丙所示，故D选项正确。故选BD。【模型演练3】（2024上·四川内江·高二统考期末）如图，在真空中有一等腰直角三角形ADC的区域内，存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。图中D、O、C三点在同一直线上，AO与CD垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的带正电的粒子沿AO方向射入磁场区域中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。关于粒子在匀强磁场中运动的情况，下列说法正确的是（）A．从AD边出射的粒子，入射速度越大，其运动轨迹越短B．从CD边出射的粒子，入射速度越大，其运动轨迹越短C．从AD边出射的粒子的运动时间不相等，从CD边出射的粒子的运动时间不相等D．从AD边出射的粒子的运动时间都相等，从CD边出射的粒子的运动时间都相等【答案】B【详解】

A．粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力则可知由题知，粒子源持续将比荷一定但速率不同的带正电的粒子沿AO方向射入磁场区域中，由图知，从AD边出射的粒子，越大，半径越大，轨迹越长。A错误；B．同理由图知，从CD边出射的粒子，入射速度越大，半径越大，轨迹越短。B正确；CD．如图所示，带正电的粒子沿AO方向射入磁场区域中，则可知圆周运动半径垂直于AO，从AD边出射的粒子由几何关系知，圆心角都相同，由周期公式知，，则AD边出射的粒子运动时间相同。CD边出射的粒子如图所示，圆心角不同，运动时间不同。CD错误；故选B。一、单选题1．（2020·全国·统考高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，可得粒子在磁场中的周期粒子在磁场中运动的时间则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长；过点做半圆的切线交于点，如图所示由图可知，粒子从点离开时，轨迹对应的圆心角最大，在磁场中运动时间最长；由图中几何关系可知，此时轨迹对应的最大圆心角为则粒子在磁场中运动的最长时间为故选C。2．（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量为q（）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应的运动速率为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，粒子的运动轨迹如图所示不论粒子所经轨迹如何，其圆心必在cd连线上，则对应圆心角为平角加上下面的角（如图中和）。根据可知，粒子在磁场中运动的周期相同，要时间最长，则要对应的圆心角最大，即要或最大。显然，在Ⅰ、Ⅱ这两个不同的轨迹圆中，和是圆心角，它们分别等于对应圆周角∠ecd或∠fcd的两倍。即圆周角越大，圆心角会越大。显然，最大的圆周角是从c点引半圆的切线ce所成∠ecd，可知对应不同速率的轨迹最大圆心角为，对应最长时间为，对应的轨迹圆半径为R，根据牛顿第二定律有可得故ABD错误C正确。故选C。3．（2024上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角越大，在磁场中运动的时间越长，由题可知，水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，故粒子粒子轨迹的半径为a，打到MN上、下表面的粒子均被吸收，如图所示有两种情况打在MN上表面时，粒子运动轨迹最大的圆心角为，当粒子打在MN下表面时，若OP为轨迹圆的弦，则轨迹所对圆心角最大，其中故粒子运动轨迹最大的圆心角为根据可知粒子在磁场中运动的时间为故粒子在磁场中运动的最长时间为故选A。4．（2024上·辽宁丹东·高二统考期末）如图所示，以三角形ACD为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，，，AO垂直于CD。在O点放置一个电子源，在ACD平面中，磁场范围内均匀发射相同速率的电子，发射方向由CO与电子速度间夹角表示。（不计电子重力），恰好有三分之一的电子从AC边射出，则下列说法正确的是（）A．没有电子经过D点B．为时电子在磁场中飞行时间最短C．AC边上有电子射出区域占AC长度的三分之一D．经过AC边的电子数与经过AD边的电子数之比为【答案】D【详解】A．由于粒子源发生的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，有解得即所有电子的半径都相等，由题意可知，其恰好有三分之一的电子从AC边射出。由左手定则可知，电子进入电场后逆时针做圆周运动，所以其从AC边射出的一个临界位置为从A点射出，此时，如图所示设AO的距离为L，由几何关系可知其电子的半径为将该圆进行旋转，可知，当，电子从D点射出，故A项错误；B．电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为T，有在磁场中运动的时间为t，有整理有即电子运动的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越小，由几何关系可知，圆心角所对应的弦长越长，其圆心角越大，所以最短时间即为弦长的最小值，由几何关系可知，弦长最短的为垂直于AD，由几何关系可知，此时时，所以为时电子在磁场中飞行时间并不是最短的，故B项错误；C．由上述分析可知，电子从AC边上射出，其中一个临界为A点，另一个临界为E点，如图所示由之前的分析可知。粒子的半径为L，AO的距离也为L，有几何关系可知，AC为2L，E点为AC的中点，即AC边上有电子射出区域占AC长度的二分之一，故C项错误；D．由题意及之前的分析可知，当范围内，电子从AC边上射出，当粒子在范围内，电子从AD边射出，所以经过AC边的电子数与经过AD边的电子数之比为故D项正确。故选D。5．（2023·云南·一模）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段是屏与纸面的交线，长度为，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；，P为垂足，如图所示，已知，若上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】粒子要打中的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从飞出，绕过距离最近的点，从右侧打中最下端的点，粒子运动的轨迹如图所示为轨迹圆的弦长，为中点，，；粒子运动的半径为，根据几何关系可知四边形为平行四边形，则解得粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知解得粒子的最小速率为故选C。6．（2024上·海南海口·高二海南中学校考期末）如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面（纸面）内，下列说法正确的是（）A．④粒子的速率最大B．③粒子的向心加速度最大C．②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同【答案】A【详解】CD．对于完全相同的粒子，其比荷相同，在同一匀强磁场中，则周期相同，由图知③粒子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ磁场区域经历的时间最长，故CD错误；A．根据洛伦兹力提供向心力有可得由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，故A正确；B．粒子的向心加速度为可知④粒子的向心加速度最大，故B错误。故选A。7．（2024上·湖南邵阳·高二统考期末）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆半径的。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据牛顿第二定律和圆周运动规律有可得粒子做匀速圆周运动的周期为如图所示，过c点做半圆边界的切线，切点为e。设半圆边界的圆心为O，粒子运动轨迹的圆心为O′。根据几何关系可知，当粒子从e点射出时，粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，设，则可得所以即粒子转过的圆心角为254°，可得运动时间为故选B。8．（2024上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）如图（a）是一种防止宇宙射线危害字航员的装置，在航天器内建立半径分别为R和的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图（b）所示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为，质子的电荷量为e、质量为m。下列说法中正确的是（）A．若沿任何方向入射的质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为B．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则磁感应强度大小为C．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子从进入磁场到离开磁场的总时间为D．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子在磁场中的轨迹对应的圆心角为60°【答案】A【详解】A．为使所有速度为v0的粒子都不进入防护区，半径最大的粒子轨迹如图则粒子的半径最大为由洛伦兹力提供向心力解得磁感应强度至少为故A正确；BCD．设正对防护区圆心入射的质子的轨迹半径为r，粒子运动轨迹如图由几何关系得解得由洛伦兹力提供向心力得解得则质子在磁场中的轨迹对应的圆心角为120°，质子从进入磁场到离开磁场的总时间为故BCD错误。故选A。9．（2024上·四川攀枝花·高二统考期末）如图所示，水平直线边界的上方空间内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，长为、与平行的挡板到的距离为，边界上的点处有一电子源，可在纸面内向上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为、电荷量为，速度大小均为，N、S的连线与垂直，不计电子之间的作用力，则挡板的上表面没有被电子击中部分的长度为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有得做出粒子从不同方向射出的轨迹，如图则挡板的上表面被电子击中部分为CD，根据几何关系可得所以没有被电子击中部分的长度为故选D。10．（2023上·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期末）如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等、质量均为m、电荷量均为q的同种带负电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知，，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（）A．粒子的速度大小为B．从O点射出的粒子在磁场中运动的时间为C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为2∶9D．沿平行于x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为【答案】C【详解】A．粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，如图所示其轨迹为轨迹1，可知SP为轨迹圆的直径，由几何关系知解得R=d洛伦兹力提供向心力，有解得故A错误；B．粒子运动的周期从O点射出的粒子其轨迹为轨迹3，由几何关系可知解得θ=60°即轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间故B错误；C．运动时间最长的粒子为运动轨迹与x轴相切的粒子，其轨迹为轨迹2，对应的圆心角为270°，则运动的最长时间运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子，其轨迹为轨迹3，对应的圆心角为60°，则运动的最短时间所以故C正确；D．沿平行于x轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D错误。故选C。11．（2023上·河北邢台·高二校联考期中）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（）A．粒子可能从B点射出B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短【答案】C【详解】A．带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误；B．粒子垂直于BC边射出，如图甲所示则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，即故B错误；C．粒子从C点射出，如图乙所示根据几何关系可得解得则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为则粒子在磁场中运动的时间为故C正确；D．由，可知若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示粒子从AB边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D错误。故选C。二、多选题12．（2024上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如图所示，在荧光板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板距离为d处有一粒子源S。能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则（）A．从粒子源出发到板的最短时间为B．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为C．粒子能打到板上的区域长度为2dD．打到板上的粒子数为【答案】BD【详解】A．在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如下，粒子做整个圆周运动的周期由几何关系可知最短时间故A错误；B．粒子在磁场中最长时间故B正确；C．粒子运动的半径粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图：设SC垂直于MN与MN交于C点，由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A离C距离为，右侧离C最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是，故C错误；D．当向垂直于板竖直方向左侧发射时，均可打到板上，而向垂直于板竖直方向右侧发射时，均打不到板上，所以打到板上的粒子数为，故D正确。故选BD。13．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）如图所示，多边形区域内有磁感应强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），粒子源P可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为的粒子，粒子速率各不相同；右侧边界中点处有一粒子源Q可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为、速率为的粒子。下列说法正确的是（

）A．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为3aB．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为4aC．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界（除Q所在的边界）的最短时间为D．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界的最长时间为【答案】AC【详解】AB．由粒子源P发射的粒子轨迹的圆心在图（a）中虚线上，如图由可知轨迹半径r随速度增大而增大。当时，粒子能够到达之间；当时，粒子能够到达之间；当时，粒子能够到达Q点正下方的边界上，A正确，B错误；CD．由粒子源Q发射的粒子，速率相同，将代入可得如图（b）所示粒子首次到达M点的时间最短，由几何关系则粒子恰好没有落在M点时，落点为N，此时是首次到达边界的最长时间，由几何关系所以故C正确，D错误。故选AC。14．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（）A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外【答案】BD【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧）由几何知识知而所以所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出所以得故A错误，B正确；CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧）由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出所以得故C错误，D正确。故选BD。15．（2024上·河南新乡·高二统考期末）如图所示，∠C=30°的直角三角形ABC中存在一匀强磁场（边界有磁场），比荷相同的两粒子沿AB方向从A点射入磁场，分别从AC边上的三等分点P，Q射出，下列说法正确的是（

）A．从Q点射出的粒子速度较小B．两粒子在磁场中运动的时间一样长C．只改变粒子的入射速度的大小，不可以使粒子从C点射出磁场D．若改变粒子的入射速度的大小，能从BC边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为二分之一周期【答案】BC【详解】A．两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示由图看出，从Q点射出的粒子半径大，根据可得则从Q点射出的粒子速度大，选项A错误；B．粒子在磁场中运动的周期为可见两粒子周期相同，如图所示，设粒子运动轨迹的圆心分别为O1、O2点，弦AP、AQ的中垂线交AC于M点和N点，由于∠AO1M=∠AO2N，所以∠MO1P=∠NO2Q，即两粒子运动轨迹所对应的圆心角相等，又因为两粒子周期相同，由可知内粒于在磁场中运动的时间一样长，选项B正确；C．改变粒子的入射速度大小，则由对称性可知，若粒子从C点射出磁场，则速度方向与AC边的夹角也为60°，此时粒子已经从BC边射出，选项C正确；D．若改变粒子的入射速度的大小，能从BC边射出的粒子在磁场中运动的时间最长时，弧长对应的圆心角为90°，故运动时间为四分之一周期，选项D错误。故选BC。16．（2024上·安徽芜湖·高二统考期末）如图所示，等腰直角三角形区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，在的中点处有一粒子源，沿与平行的方向发射速率不同，质量为，电荷量为的带负电粒子，已知这些粒子都能从边离开区域，，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）A．速度的最大值为 B．速度的最大值为C．在磁场中运动的最长时间为 D．在磁场中运动的最长时间为【答案】AD【详解】粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示AB．设粒子最大轨迹半径为，由图中几何关系可得解得根据洛伦兹力提供向心力可得可得速度的最大值为故A正确，B错误；CD．由图可知粒子在磁场中运动轨迹对应的最大圆心角为，则粒子在磁场中运动的最长时间为故C错误，D正确。故选AD。17．（2023上·湖北十堰·高二郧西县第一中学校联考阶段练习）如图所示，边界与之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界射出磁场。已知，从边界穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（为粒子在磁场中运动的周期），则从边界穿出的粒子在磁场中运动的时间的说法正确的是（）A．若，则从边界穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为B．若，则从边界穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为C．若，则从边界穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为D．从边界穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与的大小无关【答案】ABC【详解】题中的条件说明，很多相同m、q的粒子在同一点以相同的速率沿不同方向射入磁场，由知道，所有粒子轨道半径相等，由知道，所有粒子的运动周期是相等的，从边界穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于，说明在不同边界的磁场中粒子源S到O点的距离不同，所以要分别作图分析。A．若，如图1所示，所有粒子运动轨迹的圆心为以S为圆心以为半径的半圆弧上。从边界穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于，该粒子的轨迹所对应的弦为直径，随着轨迹圆的旋转，轨迹所对应的弦先减小再增大，弦最长为对应的圆心为D；弦最短为对应的圆心为，在中，各边等长，即对应的圆心角为从边界穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为，故A正确。B．若，同理分析，如图2所示，圆周运动的半径为，故从边界穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为故B正确；C．若，同理分析，如图3所示，圆周运动的半径为，故从边界穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为故C正确；D．由图4可知在边界上，只有段有粒子穿出，所以从边界穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与的大小有关，故D错误。故选ABC。

图1

图2

图3

图4三、解答题18．（2024上·广东江门·高二统考期末）阿尔法磁谱仪是目前在太空运行的一种粒子探测器，其关键的永磁体系统是由中国研制的。如图，探测器内矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，有大量速率不同、质量均为m、带电量均为的带负电粒子从O点沿着ON方向进入磁场，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略粒子间的相互作用，粒子重力不计，求（1）粒子在磁场里运动的最长时间；（2）从MP上射出的粒子的最大速度及有粒子射出部分的长度。【答案】（1）；（2），【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则qvB=m周期运动时间当粒子速度较小时从OM边射出，圆心角均为π，此时对应的圆心角最大，故运动最长时间为（2）如图所示，当粒子运动轨迹和NP相切，粒子从MP射出且速度最大由几何关系得r=2d由洛伦兹力提供向心力qvB=m解得从MP上射出的粒子的最大速度为MP有粒子射出的范围为BM长度，由几何关系得19．（2024上·四川成都·高二统考期末）如图，在平面内存在垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场，O点右侧与O相距d处有一与x轴垂直的足够大的收集板。某时刻，大量速率介于v到（v与未知且）的电子同时从坐标原点O沿各个方向垂直磁场射入Ⅰ、Ⅱ象限。已知速率为且沿y轴正方向射入磁场的电子刚好垂直打在收集板上，磁场磁感应强度大小为B，电子比荷为，不计电子间的相互作用及电子的重力。求：（1）速度的大小；（2）收集板上电子击中的范围大小；（3）若磁场仅存在于的足够宽的范围内，从发射电子到电子全部离开磁场（打在收集板或从边界离开）经历的时间恰好为电子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。最后离开磁场的电子从O射入磁场时的速度的大小。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）因为速率为且沿y轴正方向射入磁场的电子刚好垂直打在收集板上，其轨迹如图（1）所示。其半径为d。根据解得（2）由于电子速度越大，能够打在收集板上的范围也越大，故速率为v0的电子击中的范围最大可得：电子运动的半径：R=d如答图（2），收集板上最远可打到A点由几何关系可得收集板下侧最远可打到B点由几何关系可得收集板上被电子击中的范围为（3）由分析可得以最小速度从O射入磁场的电子最后离开，相同速率的