高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题4.5等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（学生版）

专题4.5等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）1．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系等差数列{}的前n项和==+()n，令=A，=B，则=+Bn.

(1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列.

(2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时,=Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列.

(3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0).3．等差数列前n项和的性质【题型1求等差数列的通项公式】【方法点拨】根据所给条件，利用等差数列的前n项和，求解等差数列的基本量，即可得解.【例1】（2022·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列an的前n项和．若a2=18，S5=80，则数列A．2n+22 B．22−2nC．20−2n D．n【变式11】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式an为（A．an=6n+2 B．an=4n+2 C．【变式12】（2021·广西·模拟预测（文））记Sn为等差数列an的前n项和，若a3=2,S4=7A．n−1 B．n+12 C．2n−4 D．【变式13】（2020·四川·高三期中（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12+a3A．an=3n−5 B．an=12【题型2等差数列前n项和的性质】【方法点拨】根据题目条件，结合等差数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.【例2】（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若SnA．2528 B．3539 C．5558【变式21】（2021·全国·高二）设等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，并且SnTnA．37 B．715 C．13【变式22】（2021·陕西·高二期中（理））已知等差数列an的前n项和为Sn，若S9S3A．717 B．310 C．314【变式23】（2022·江苏省高二阶段练习）已知Sn,Tn分别是等差数列an与bn的前n项和，且A．1120 B．4178 C．4382【题型3等差数列的前n项和与二次函数的关系】【方法点拨】根据题意，分析所给的等差数列的前n项和与二次函数的关系，转化求解即可.【例3】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列an中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点A． B．C． D．【变式31】（2021·福建省高二开学考试）等差数列an中，a1<0，公差d>0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点A． B．C． D．【变式32】（2022·河北·高三阶段练习）已知an是各项不全为零的等差数列，前n项和是Sn，且S20=S24，若A．20 B．19 C．18 D．17【变式33】（2021·江苏·高二专题练习）在各项不全为零的等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2011=S2014，A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【题型4求等差数列的前n项和】【方法点拨】根据条件，求出等差数列的基本量，得到首项和公差，利用等差数列的前n项和公式，进行求解即可.【例4】（2022·江苏·高二期中）已知等差数列an，且3a3+aA．14 B．28 C．35 D．70【变式41】（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知数列an的前n项和为Sn，且an+2+an−2A．116 B．232 C．58 D．87【变式42】（2022·江苏扬州·高二期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【变式43】（2022·山东·高三期中）已知数列an成等差数列，其前n项和为Sn，若a1=5,SA．7 B．6 C．5 D．4【题型5等差数列前n项和的最值】【方法点拨】1.通项法若>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；若<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定.2.二次函数法对于公差为非零的等差数列{an}，由于==+()n，所以可用求函数最值的方法来求前n项和Sn的最值.这里应由n及二次函数图象对称轴的位置来确定n的值.【例5】（2022·内蒙古·高一阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，a2=−27，a6A．−225 B．−224 C．−226 D．−223【变式51】（2022·甘肃·高二期中）记Sn为等差数列an的前n项和，且a1=22,S7=A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【变式52】（2022·陕西·高二期中）设数列an为等差数列，Sn是其前n项和，且S5A．d<0 B．a7=0 C．S9>S5 D．【变式53】（2022·北京高三阶段练习）等差数列an的前n项和为Sn.已知a1+2a3=−1A．−4 B．−3 C．−2 D．−1【题型6等差数列的实际应用】【方法点拨】对于等差数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等差数列，进行求解.【例6】（2022·全国·模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入3×3的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方．记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为Sn，如S3A．555 B．101 C．505 D．1010【变式61】（2022·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【变式62】（2022·全国·高三专题练习）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑上刻着“〩〢”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和为（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【变式63】（2022·江西上饶·高二期末（文））广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从