专题07向量的应用（8大考点知识串讲热考题型专题训练）

专题07向量的应用知识聚焦考点聚焦知识点1向量在几何中的应用1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。2、利用向量证明平面几何的两种经典方法（1）线性运算法第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；第二步：利用基底表示相关向量；第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。（2）坐标运算法第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；第二步：把相关向量坐标化；第三步：用向量的坐标运算找到相应关系；第四步：利用向量关系回答几何问题。知识点2向量在物理中的应用1、向量在物理应用中的主要解题思路（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。2、力学问题的向量处理方法（1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；（2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。3、速度、位移问题的向量处理方法速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成（1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论；（2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。3、功、动量问题的向量处理方法物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。考点剖析考点1利用向量证明线段证明【例1】（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．【答案】证明过程见解析【解析】由题意得，，故，因为，所以，故.【变式11】（2023·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．（1）求重心E的坐标；（2）用向量法证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）如图，∵，，，∴，则由重心坐标公式，得；（2）．易知的外心F在y轴上，可设为．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．【变式12】（2023·海南·高一校考期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.（1）设，，用，表示，；（2）猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.【答案】（1），；（2），证明见解析【解析】（1），；（2），证明如下：由（1）知，，所以，设，则，所以，所以，得证.【变式13】（2023·河南信阳·高一校联考期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．（1）请用，表示向量；（2）若，设，的夹角为，若，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），由题意得，所以．（2）由题意，．∵，，∴．∴，∴．考点2利用向量证明线段平行【例2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．【答案】见解析【解析】如图，因为四边形为平行四边形，所以.又在直线上,所以,从而,所以,即与平行且相等，所以四边形是平行四边形.【变式21】（2023·高一课时练习）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点（1）试用向量证明：PQAB；（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）∵Q为BD中点，∴，又P为AC中点，∴；∴2()，又向量与共线，设向量，则2(1+λ)，∴①，又梯形ABCD中||≠||，∴λ≠﹣1，∴，即PQAB；（2）∵向量与反向，且||=3||；所以，即λ代入①式，得，∴PQ：AB.【变式22】（2023·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．（1）求的最小值．（2）若点满足，证明：．【答案】（1）4；（2）证明见解析【解析】（1）由题可知，因为点为的中点，所以，因为三点共线，所以，，当且仅当时，等号成立．所以的最小值为4.（2）由，则，即，，所以，又三点不共线，所以．【变式23】（2023·广东·高二校联考阶段练习）如图，三点不共线，，，设，.（1）试用表示向量；（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），，三点共线，，①同理，，，三点共线，可得，②比较①，②，得解得，，．（2），，，，，，，，三点共线．考点3用向量求线段长度【例3】（2023·福建·高一校联考期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，由题意可得：，即，解之得.故选：A【变式31】（2023·海南海口·高一海口一中校考期中）在中，内角的对边分别为，，，且满足，若为边上中线，，，则.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，因为为边上中线，所以，所以，所以，所以，化简得，解得或（舍）.【变式32】（2023·全国·高一专题练习）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是【答案】【解析】作，交于点，则，，则；，，又，，，，.【变式33】（2023·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，.（1）求的长；（2）求的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）；，，故，.（2），.考点4用向量求几何夹角【例4】（2023·江苏·高一专题练习）若向量，与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反，当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得，故选：A【变式41】（2023·山东聊城·高一统考期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则．【答案】【解析】因为是的中点，所以，，因为，，，所以，所以.【变式42】（2023·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点（1）若，求AE的长；（2）若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由题，可得.则.设，则.因，则，则，故AE的长为1；（2）若E为AB的中点，则，，又.由图可知.【变式43】（2023·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．（1）判断四边形的形状，并给出证明；（2）若，，与的夹角为，为中点，求．【答案】（1）四边形为梯形，证明见解析；（2）【解析】（1）因为，，所以，又因为，所以，又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形．（2）因为，所以，因为为中点，所以，所以，所以，所以，因为，所以．考点5用向量判断多边形形状【例5】（2023·全国·高一随堂练习）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】易知，可得，即，且，所以可得的形状是直角三角形.故选：B【变式51】（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知中，，，则此三角形为（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】如图所示：设M为AC中点，则，所以，即为等腰三角形，又，所以，即，所以，可得，综上可知三角形为等边三角形.故选：B.【变式52】（2023·高一课时练习）在四边形中，若，则四边形为（）A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形【答案】D【解析】由，可得，即，则四边形为平行四边形；又由，可得，则平行四边形四边形为菱形故选：D【变式53】（2023·全国·高一随堂练习）在四边形中，，则四边形的形状是.【答案】矩形【解析】由可知,进而，由可得且，所以四边形为矩形.考点6力的合成【例6】（2023·全国·高一随堂练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为，）A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5【答案】C【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，，，解得．小猴子的体重约为．故选：C．【变式61】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态．若，，，则（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】依题意，所以，又，，，则，所以.故选：C【变式62】（2023·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为.（注：重力加速度取，精确到0.01N）【答案】N【解析】如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力为，又因为降落伞匀速下落，所以，必有，所以，，所以【变式63】（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）如图，1kg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，已知两根细绳与水平线分别成30°与60°角，则两根细绳受到的拉力分别为．（取g=10m/s2）【答案】；【解析】如图，设左右两根绳子的拉力大小分别为，由受力平衡可知：，所以.考点7速度与位移的合成【例7】（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为.【答案】3【解析】设船在静水中的速度为，船的实际速度为，水流速度为，如图所示，∵，∴，即水流的速度大小为.【变式71】（2023·广东清远·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（）A．km/hB．km/hC．km/hD．km/h【答案】B【解析】如图所示：，，，设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有所以有，故选：B.【变式72】（2023·全国·高一随堂练习）飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．【答案】大小为，方向为南偏西【解析】如图，飞机从运动到的过程，由已知可得，，，且，所以，，.过点作，因为，所以，，所以，.由勾股定理可得，，，所以.所以，飞机从D地飞回A地的位移大小为，方向为南偏西.【变式73】（2023·全国·高一随堂练习）一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．【答案】飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为km.【解析】如下图，，则，所以km.又，即，结合图易知：在南偏西方位，综上，飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为km.考点8功与动量的计算【例8】（2023·江苏淮安·高一统考期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（）A．B．23C．D．19【答案】D【解析】由题意知，，，所以对物体所做的功为，故选：D.【变式81】（2023·广西·高一校联考期中）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，即两个力的合力对物体所作的功等于，故选：A.【变式82】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知两个力作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中分别是轴正方向､轴正方向上的单位向量，力的单位：，位移的单位：）．试求：（1）分别对质点所做的功；（2）的合力对质点所做的功．【答案】（1）对该质点做的功为，对该质点做的功为；（2）【解析】（1）根据题意，，，，故对该质点做的功；对该质点做的功.（2）根据题意，，的合力，故，的合力对该质点做的功.【变式83】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．【答案】答案见解析【解析】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，则重力对物体做的功，支持力与位移方向垂直，做功为，摩擦力与位移方向相反，对物体做功．过关检测一、单选题1．（2023·云南·高一校联考阶段练习）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为（）A．9B．C．21D．【答案】C【解析】由题意，物体从点处移动到点处，可得,因为力，所以力对物体所做的功为.故选：C.2．（2023·河南新乡·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三力平衡得，即，两边同时平方得，即，即，解得，故选：C.3．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】A【解析】如下图所示，取的中点，显然，，同理，，因为，所以，即，所以，因为是的中点，所以,所以，所以一定是直角三角形.故选：A4．（2023·广东佛山·高一校考期中）若非零向量与满足，则为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】因为非零向量与满足，又因为均为单位向量，所以角的角平分线垂直于，则，因为，所以，即，所以为等腰直角三角形.故选：C5．（2023·河南信阳·高一信阳高中校考期末）已知非零向量，满足，且，则为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】D【解析】，，，，为等腰三角形，又，，，又，所以，为等边三角形，故选：D.6．（2023·山东菏泽·高一统考期中）一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度，水流速度，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为（）A．5B．10C．8D．【答案】B【解析】如图所示：是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时，航程最短，此时，，所以当航程最短时船实际航行的速度大小为10，故选：B7．（2023·吉林长春·高一校考期中）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设船的实际速度为，则，北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，所以，即，解得，故选：D．8．（2023·北京·高一校考期中）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】对于②，当时，故无法抬动物体，故②错误；对于①，根据题意，得，所以，解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故①正确；对于③，因为，所以当时，，所以，故③错误；对于④，因为，所以当时，，所以，故④正确.故选：B.二、多选题9．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（）A．若，则点的轨迹不可能经过的外心B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心C．若，则点的轨迹可能经过的重心D．若，则点的轨迹可能经过的内心【答案】ABC【解析】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，中，当时，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；若，不妨取当时,此时的轨迹经过的垂心，B错；若为的重心，必有，此时，C错；若，设为等边三角形，结合，则点在的中线上，也在的平分线上，的轨迹可能经过的内心，D正确.故选：ABC10．（2023·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（）A．B．满足的点只有1个C．D．满足的点有2个【答案】ABD【解析】对于A，法一：设M为AB的中点，连接OM，则C，O，M三点共线.设的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则.因为O为的中心，故，而，故.又，A正确；法二：记CO的中点为N，设的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则.由正三角形的性质知N在内切圆上且MN为内切圆圆O的直径，如图2，连接PM，PN，从而有，A正确；对于B，，因为的边长为，所以内切圆半径为1，当且仅当P为OC中点N时，，B正确；对于C，当与重合时，，此时，满足；当与不重合时，，由图象易知与的夹角，所以，所以，故C错误；对于D，，要使，则，分析可知此时P恰为线段OB与内切圆的公共点，又当P与M重合时，也满足题意，故这样的点有2个，D正确.故选：ABD.11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知向量，，记向量，的夹角为θ，则（）A．λ>2时θ为锐角B．λ<2时θ为钝角C．λ＝2时θ为直角D．无λ使θ为零角【答案】ACD【解析】，，对A，，为锐角，故A正确；对B，，当时，为平角，故B错误；对C，，为直角，故C正确；对D，因为，此时与夹角为平角，故不存在，使得θ为零角.故D正确；故选：ACD12．（2023·湖北十堰·高一校考期中）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（）A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不断变小C．船的浮力不断变小D．船的浮力保持不变【答案】AC【解析】设水的阻力为，绳子的拉力为,与水平方向的夹角为，则有，所以，因为增大，减小，所以增大，加上浮力等于船的重力，所以船的浮力减小，故选：AC.三、填空题13．（2023·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则.【答案】【解析】由题意知，则，因为，，即，所以.14．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）平面上三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小为N．【答案】【解析】由题意得：，所以.15．（2023·福建厦门·高一校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则.【答案】【解析】设，，则，，又，，所以.16．（2023·河北石家庄·高一石家庄市第四中学校考阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为.【答案】【解析】设D为的中点，则，所以，所以，所以.四、解答题17．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.【答案】证明见解析【解析】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，所以，所以，又因为与不共线，所以，且，所以四边形EFGH为平行四边形.18．（2023·广东·高一校联考阶段练习）在中，，且．（1）求A；（2）已知E为BC的中点，点D为AC上一点，且，BD与AE相交于点P，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，由，即．所以．又，所以．（2）如图所示：因为，，所以，易知．因为E为BC的中点，所以，．因