广西南宁二中柳铁一中高三9月联考数学文科试题

柳铁一中、南宁二中2021届高三9月联考试卷文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.2.请在答题卡上作答，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求集合B，再运用集合的交集运算可得选项.【详解】由，又所以，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】根据向量求模长公式，化简后直接求值即可得解.【详解】法一：，∴.法二：，∴.故选：C.【点睛】本题考查了复数求模长公式，考查了复数的四则运算，属于基础题.3.若，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】形式不同，故采取中间量法比较大小，分别和0，1进行比较即可得解.【详解】，，∵，∴，∴故选：D.【点睛】本题考查了指、对数的大小的比较，考查了中间量法比较大小，是指、对数的简单的计算，属于基础题.4.是等比数列的前项和，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出等比数列的公比，再由可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，，故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.5.已知圆,直线,则A.与相离 B.与相交 C.与相切 D.以上三个选项均有可能【答案】B【解析】【分析】首先求得恒过的定点，可判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交.【详解】由方程可知，直线恒过定点：又为圆内部的点与相交本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是确定直线恒过的定点，根据点在圆内得到结果.6.已知向量，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由知，建立直角坐标系，设向量，设，由得，根据圆外一点到圆上最大和最小距离的求法，即可得解.【详解】由知，建立直角坐标系，向量，设，由得，而，利用点到原点的距离的最大最小值分别为2，0.所以的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了向量模的取值范围，考查了向量模的几何意义，关键点是和圆进行结合，根据圆的定义找到自由向量的几何特征，考查了转化思想，属于中档题.7.某几何体的三视图如图，则几何体的体积为A.8π﹣16 B.8π+16 C.16π﹣8 D.8π+8【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为两个底面为弓形的柱体，底面积为一个半圆割去一个等腰直角三角形，其面积为，高为4，所以柱体体积为.选A【点睛】由于正视图和侧视图均为矩形，所以原几何体为柱体，底面为两个弓形，所以原几何体是由圆柱截得的，三视图问题是近些年高考必考题，根据三视图恢复原几何体，数据要根据“长对正、高平齐，宽相等”的原则，标清几何体中线段的长度，利用面积或体积公式计算.8.某程序框图如图所示，若输出，则图中执行框内应填入（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的程序框图，结合判断条件，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若，此时输出，不符合题意；对于B中，若，此时输出，不符合题意；对于C中，若，此时输出，符合题意；对于D中，若，此时输出，不符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构程序框图的计算与输出，其中解答中根据给定的程序框图，理解程序框图的计算功能与方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为10.已知函数为R上的奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函数为R上的奇函数求出当时的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，所以当时，，，即，则，所以，即，且当时，，即切点的坐标为，所以切线的方程为，即.故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性求解析式，导数的几何意义，考查学生的运算求解能力.11.已知函数，下列结论中错误的是（）A.的图像关于点中心对称 B.的图像关于直线对称C.的最大值为 D.既是奇函数，又是周期函数【答案】C【解析】试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；对于选项，只需考虑否成立即可，而，故正确；对于选项，，故是奇函数，有，故周期是，故正确；对于选项，，令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.考点：1.三角函数的对称性、周期性、奇偶性；2.函数的最值求解.12.若函数在其定义域上有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求得该函数的极值，结合函数的零点个数得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，.（1）当时，对任意的，，若，则；若，则.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，；当时，.由于函数在其定义域上有两个零点，则，解得；（2）当时，令，可得，.①若，即当时，对任意的，恒成立，所以，函数在定义域上单调递减，至多一个零点，不合乎题意；②若，即当时，令，得或；令，得.此时，函数单调递减区间为和，单调递增区间为.当时，；当时，.则有或，若，则，舍去；若，令，令，其中..当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，，则方程无解；③若，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.当时，；当时，.则有或，若，则，舍去；若，令，令，其中.，所以，函数在区间上单调递减，所以，，此时方程无解.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，利用导数分析函数的单调性与极值是解答的关键，考查分类讨论思想的应用，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件，则的最大值为_______.【答案】4【解析】【分析】本题考查了线性规划求最值问题，先画出可行域，再结合目标函数的几何意义，在图像中即可得解.【详解】如图，阴影部分为可行域，根据的几何意义，可知在处取得最大值，，故答案为：4.【点睛】本题考查了线性规划，关键点是结合目标函数的几何意义，有截距、斜率、距离等几何意义，本题可视作和横截距有关，属于基础题.14.已知等差数列中前n项和为，且，，则________.【答案】70【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式建立方程组，即可求出，，再根据等差数列前项和公式，即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，依题意，，所以，，则.故答案为：70.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.15.已知O为坐标原点，点，分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且，与y轴交于点B，则________.【答案】【解析】【分析】由条件可知，是椭圆通径的一半，根据通径计算公式可得其长度，是三角形的中位线，即可得到的长度是长度的一半.【详解】因为,所以的长度是椭圆通径的一半，即，因为，所以是三角形的中位线，即；故答案为：【点睛】本题考查了椭圆通径的计算和三角形中位线性质的应用，属于简单题，解题中需要注意的是长是通径的一半长度.16.已知球的直径，A，B是该球球面上的两点，若，，则棱锥的表面积为___________.【答案】16【解析】【分析】设球心为，连结，，由是球的直径，得到，证明平面，利用题中条件求得各边长，利用三角形的面积公式求得各个面的面积，之后作和求得表面积..【详解】∵，且为直径，∴与均为等腰直角三角形.∴，.又，∴面.中，，，∴，同理，∵，∴棱锥的表面积为16.故答案为：16.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有球内接棱锥，棱锥的表面积的求解，属于简单题目.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求B；（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及可得，从而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故当时，的面积取得最大值，此时，，在中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1）由正弦定理及已知得，结合，得，因为，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因为，所以，当且仅当时，的面积取得最大值，此时.在中，由余弦定理得.即.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只33456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数/只293749537798126145（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，参考数据：.【答案】（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.【解析】【分析】（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.【详解】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，则5个月份任意选取3个月份的基本事件有，，，，，，，，，，共计10个，故恰好有两个月考核合格的概率为；（2），，，，故；（3）当千只，（十万元）（万元），故9月份的利润约为111.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.19.如图，矩形中，，，为的中点，将沿折到的位置，．（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）在矩形中，由题意可得，结合，可得平面，再由面面垂直的判定可得面面；（2）在矩形中，求得，然后利用等积法求得三棱锥的体积.试题解析：（1）由题知，在矩形中，，，又，面，面面；（2）.20.已知函数，，其中为函数的导数.（1）求函数的单调区间；（2）若关于x的方程有实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得，分，讨论，解不等式可得单调区间；（2）将关于x的方程有实数根转化为函数存在零点，利用导数研究其单调性，极值与最值，以及特殊点对应的函数值，通过零点存在性定理即可得出.【详解】解：（1）由已知，则，，，当时，恒成立，此时在上单调递减；当时，令得，，令得，，此时在上单调递减，在上单调递增；综合得：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）关于x的方程，即有实根，即函数存在零点，又，和（1）中的一样，则由（1）可得当时，在上单调递减，而，所以函数存在零点；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极小值，也是最小值，当，即时，函数没有零点；当，即时，注意到，所以函数存在零点，综上所述，当时，方程有实数根.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力与分析能力，关键是取合适的的值来判断零点的存在性，是一道难度较大的题目.21.已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：.【答案】（1），它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，由题意得，化简即得解；（2）不妨设，先证明轴，再利用韦达定理证明即得解.【详解】（1）设，由题意得，化简得，所以动圆圆心Q的轨迹方程为，它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线.（2）不妨设.因为，所以，从而直线的斜率为，解得，即，又，所以轴.要使，只需.设直线m的方程为，代入并整理，得.所以，解得或.设，，则，..故存在直线m，使得，此时直线m的斜率的取值范围为.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.【选修44：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，直线的参