第20练复数的运算和三角表示-2023年高考数学一轮复习小题练习（新高考）（解析版）

专题06复数

第20练复数的运算和三角表示

谁练基础

1.（2022•北京•高考真题）若复数Z满足i∙z=3-4i,则IZl=（

【答案】B

【解析】由题意有z=∖曳=色彳与D=-4-3i,故IZl=J（Y）?+（V）?=5∙

故选:B.

2.（2022•广东•大埔县虎山中学模拟）复数z=T+i,在复平面内Z的共轨复数』所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】复数z=T+i,则Z的共轨复数W=T-i，复平面内）对应点坐标为（T,T）

则）所对应的点在第三象限

故选：C

3.（2022•山东聊城•三模）若复数Z满足z+3i=W,则复数Z的虚部为（）

3_3_3._3.

A.—B.—C.-1D.—1

2222

【答案】B

【解析】设z="+>i（α力∈R）,则/=°-历,

/、3

因为z+3i=z,贝∣Jα+（力+3）i=α-历，所以，ft+3=-⅛,解得。二一不，

3

因此，复数Z的虚部为-

故选：B.

4.（2022•北京市第五中学三模）在复平面内，复数TL的共轨复数对应的点位于

1-t

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】T⅛=F‰Γ3%的共规复数为

对应点为(g,-3,在第四象限，故选D.

5.(2022•上海•模拟)已知z=l+i(其中i为虚数单位)，则£=；

【答案】2-2i

【解析】因为z=l+i,所以W=Ji,

所以E=2(l-i)=2-2i,

故答案为：2-2i

6.(2022•天津•静海一中模拟)已知复数Z满足z(l+i)=3-4i(其中i为虚数单位)，则IR=

【答案】述

2

【解析】IllZ(I+i)=3-4i得Z=三=(3±)9)=3-3i~4i-4=一J.一1,所以』=一:+:i故

1+i222222

故答案为:迪

2

2维练能力

1.(2022•全国•高考真题)若i(l-z)=l,则z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析］由题设有l-z=:=∕=T,故z=l+i,故z+N=(l+i)+(lT)=2,

故选：D

2.(2022•山东青岛•二模)复数三(i是虚数单位)的虚部是()

l-ɪ

A.1B.-iC.2D.-2i

【答案】A

2i2i×(l+i)-2+2i

【解析】由题意可知，T-=TrYTT=F-=T+1，

1-1(l-ι)(l+ι)2

所以复数∙A的虚部为L

故选：A.

3.(2022•广东茂名•二模)已知复数Z在复平面内对应的点为(U),N是Z的共轨复数，则:=()

ʌ11.ŋ11.11.

A.-----1—1B.—I—1C.-------1D.---------i

22222222

【答案】B

【解析】Y复数Z在复平面内对应的点为(1,1),

∙*∙z=l+i,z=1—i»

11+il÷i1ɪ.

∑-(l-i)(l+i)-2-22-

故选:B.

4.(2022•江苏无锡•模拟)已知复数Z满足［-i)i=4+3i,则IZI=()

A.2√5B.3C.2√3D.3√2

【答案】D

【解析】依题意，-z—i=空4+」3i，则有-Z=」(4+3i)(-i)+i=3-4i+i=3-3i,于是得z=3+3i,

1ɪ-(-ɪ)

所以IZl=43。+32=3Λ∕2.

故选：D

5.(2022•湖北•一模)欧拉公式峻=CoS6+isin。(e为自然对数的底数，i为虚数单位)由瑞士数学家EWer

(欧拉)首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中

的天桥“，则/=()

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【解析】由题意得：e"τ=Coszr+isin;T=-1,

故选：A

6.(2022•湖南岳阳•模拟)已知复数Z满足(4+3i)(z-3i)=25,则IZI=

【答案】4

【解析】因为(4+3i)(z-3i)=25,所以Z="+3i=型!券+3i=4,

所以IZI=J42+()2=4'

故答案为：4

7.（2022•天津•耀华中学二模）已知i为虚数单位，则复数z="⅛l___________.

2+1

【答案】正-旦.

55

【解析】z-^^=√l2+22•—ɪ-=√5∙-~ɪ~-=√5∙-=^--i,

2+i(2+i)(2+i)(2-i)555

故答案知乎-冬.

8.（2022•江苏•华罗庚中学三模）已知复数Z=，则z∙z=

l-√3i

【答案】！

-√3+i-G+i-√3-i3+11

Z故Z-Z=

［解析］=F⅛⅛4-4-"ll6"^4

故答案为：ɪ

3堆练素养Jll

1.（2022•江苏•南京市天印高级中学模拟）若复数Z满足（1-i）z=l+i,则5=（)

A.-iB.i

C.1D.-1

【答案】A

【解析】由题意（1—i）z=l+i,得Z=匕ɪ=支立=i,

1-i2

⅛z=-i,

故选：A

2.（2022•湖北•黄冈中学模拟）己知复数z=l+i,则归+z∣=（）

A.TwB.4C.3亚D.10

【答案】A

【解析】复数z=l+i,则z2=(l+i)2=2i,

故,2+z∣=∣］+3iI=ʌ/l2+32=VlO,

故选：A

3.（2022•北京东城•三模）在复平面内，复数z=τ一,则三对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

l-3i（l-3i）（l-i）-2-4i

【解析】解：Z=F=I=_「2i,故-Ni,

1+1（l+ι）（l-ι）2

所以。对应的点为（-1,2）,位于第二象限.

故选：B

4.（2022•江苏•南京师大附中模拟）设i是虚数单位，复数Z满足（2-i）z=5,则复数Z的共甑复数三在复平

面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】由题意得（2T）Z=5,即Z=F=竺弛=2+i,

2—15

故1=2-i，其对应的点（2,-1）在第四象限，

故选：D

5.（2022∙海南华侨中学模拟）已知复数Z满足IW=IZ=且复数Z对应的点在第一象限，则下列结论正

确的是（）

A.复数Z的虚部为正i

2

B.∣z∣2=z∙z

C∙z2=Z-I

D.复数Z的共轨复数为■!_3i

22

【答案】BCD

【解析】设复数z=α+bi（α,beR）.

因为卜=IZ-Il=1,且复数Z对应的点在第一象限,

a2+b2=1

2即送+争

所以=解得:

a>0,⅛>O

一2

对于A：复数Z的虚部为且.故A错误；

2

对于B：IZl=Jg)2+(2^)2=1,ZS=(g+*i).(g-*i)=l.故IZF=Z2B正确；

对于C：因为z°=—+ɔ^-i>l=—■-+∙i,z—1=i,所以Z?=z—1.故C正确：

(22J2222

时于D：复数Z的共匏复数为！-走i.故D正确.

22

故选：BCD

6.(2022•江苏南京•模拟)在复数范围内，下列命题不正确的是(〉

A.若Z是非零复数，则Z-I不一定是纯虚数

B.若复数Z满足z2=-.∣,则Z是纯虚数

C.若z：+z；=0,则Zl=O且Z2=O

D.若4,Z为两个复数，则一定是实数

【答案】BCD

【解析】对于A,设z="+Ai(α,beR),∖=a-b∖^z-^=2bi,但有可能6=(),就不一定是纯虚数，故

A正确；

对于B,设z=α+)i",ft∈R),z2=a2-b2-^-2abi,∣z2∣=^a2-b2)2+4a2b2=a2-∖-bλ，

C2_2

由条件可知z2=1z2∣,即〃一6+2"i=—m+⑹，所以《^,

因为。，b可同时为0,所以Z不一定是纯虚数，故B错误；

对于C,若z∣=l,z2=i,z：+z；=0,故C错误：

对于D,设z∣=α+6i,¾=c+di(a,⅛,c,J∈R),则与=。一4,

所以z∣-N2=(α-C)+(6+d)i不一定是实数，故D不正确.

故选:BCD.

7.(2022•上海•位育中学模拟)如果复数Z满足∣z+i∣+∣z-i∣=2,那么∣z+4+2i∣的最大值是.

【答案】5

【解析1设z=x+yi,x,yeR,则+旧正^?=2，

变形为Jf+(y+l)2=2一K+-1,两边平方后得到I_y=Jf+(y-',

2222

两边平方后得到X=O,将X=O代入λ∕χ+(y+l)+λ∕x+(y-l)=2，

即∣y+ι∣+∣y-ι∣=2,故-ι≤y≤ι,

则IZ+4+2i∣=J(x+4)2+(y+2)2=J16+(y+2f,

当V=I时，∣z+4+2i∣=J16+(y+2)2取得最大值,最大值为5

故答案为：5

8.(2022•浙江•杭州高级中学模拟)设z=(1+后)2,则H=.

【答案】4

【解