山东省菏泽市鄄城县2023-2024学年八年级数学第一学期期末统考试题含解析

山东省菏泽市鄄城县2023-2024学年八年级数学第一学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g，乙种盐水120g，混合后，制成的盐水浓度为8%；若分别取甲种盐水80g，乙种盐水160g，混合后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水的浓度各是多少？如果设甲种盐水的浓度为x，乙种盐水浓度为y，根据题意，可列出下方程组是（）A． B．C． D．2．下列运算正确的是（）A． B．= C． D．3．下列分式中，是最简分式的是（）．A． B． C． D．4．下列计算中,①;②;③;④不正确的有()A．3个 B．2个 C．1个 D．4个5．在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP的度数是（）A．30°； B．40°； C．50°； D．60°.7．国际数学家大会的会标如图1所示，把这个图案沿图中线段剪开后能拼成如图2所示的四个图形，则其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知实数，，，-2,0.020020002……其中无理数出现的个数为（）A．2个 B．4个 C．3个 D．5个9．下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．平行于同一直线的两条直线互相平行C．若，则D．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角10．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（）A．36°B．54°C．60°D．72°11．已知A，B两点关于轴对称，若点A坐标为（2，-3），则点B的坐标是（）A．（2，－3） B．（－2，3） C．（－2，－3） D．（2，3）12．已知是整数，当取最小值时，的值是()A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，是的高，是的平分线，，则的度数是_________．14．已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则BE=___________，∠BDE=_________．15．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为，…，第个正方形和第个直角三角形的面积之和为．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：（1）______．（2）通过探究，用含的代数式表示，则______．16．方程的根是______.17．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是_______18．如图：已知AB⊥BC，AE⊥DE，且AB=AE，∠ACD=∠ADC=50°，∠BAD=100°，则∠BAE=_________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，某校准备在校内一块四边形ABCD草坪内栽上一颗银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等，请用尺规作图作出银杏树的位置点P(不写作法，保留作图痕迹)．20．（8分）如图，是等腰直角三角形，，点是的中点，点，分别在，上，且，探究与的关系，并给出证明．21．（8分）解分式方程．22．（10分）如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．初步探究（1）当AP=4时①直接写出点E的坐标；②求直线EF的函数表达式．深入探究（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．拓展应用（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．23．（10分）计算：（1）；（2）．24．（10分）如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）．25．（12分）先化简代数式：，然后再从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数代入求值．26．已知直线与直线.（1）求两直线交点的坐标；（2）求的面积.（3）在直线上能否找到点，使得，若能，请求出点的坐标，若不能请说明理由.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据题意可知本题的等量关系有，240克的甲种盐水的含盐量+120克的乙种盐水的含盐量＝浓度为8%的盐水的含盐量，80克的甲种盐水的含盐量+160克的乙种盐水的含盐量＝浓度为10%的盐水的含盐量．根据以上条件可列出方程组．【详解】解：甲种盐水的浓度为x，乙种盐水的浓度为y，依题意有，故选：A．【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题关键是要弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意：盐水浓度=含盐量÷盐水重量=含盐量÷（含盐量+水的重量）．2、B【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可.【详解】A.x3•x4＝x7，故本选项不合题意；B.（x3）4＝x12，正确，故本选项符合题意；C.x6÷x2＝x4，故本选项不合题意；D.（3b3）2＝8b6，故本选项不合题意.故选：B.【点睛】此题考查同底数幂的乘除法运算法则，幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．3、D【详解】A选项：=不是最简分式；B选项：=，不是最简分式；C选项：==x－y，不是最简分式；D选项，是最简分式.故选D.点睛：判断一个分式是不是最简分式关键看分子、分母是否有公因式，如果分子分母是多项式，可以先分解因式，以便于判断是否有公因式，从而判断是否是最简分式.4、A【分析】直接利用积的乘方运算法则、单项式乘以单项式的法则、同底数幂的除法法则分别计算得出答案即可．【详解】解：①，故此选项错误，符合题意；②，故此选项错误，符合题意；③，故此选项正确，不符合题意；④，故此选项错误，符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了积的乘方、单项式乘以单项式、同底数幂的除法等运算知识，正确掌握运算法则是解题关键．5、A【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答．【详解】，，都不是最简二次根式；符合最简二次根式的要求．综上，最简二次根式的个数是1个，故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．6、C【解析】过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥BA于点F，PH⊥AC于点H，∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴PE=PH，PE=PF，∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，∴PH=PF，∴点P在∠CAF的角平分线上，∴AP平分∠FAC，∴∠CAP=∠CAF.∵∠PCD=∠BPC+∠PBC，∴∠ACD=2∠BPC+2∠PBC，又∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=2∠PBC，∠BPC=40°，∴∠ABC+∠BAC=∠ABC+80°，∴∠BAC=80°，∴∠CAF=180°-80°=100°，∴∠CAP=100°×=50°.故选C.点睛：过点P向△ABC三边所在直线作出垂线段，这样综合应用“角平分线的性质与判定”及“三角形外角的性质”即可结合已知条件求得∠CAP的度数.7、C【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,逐一判断即可．【详解】解：①是轴对称图形，故符合题意；②不是轴对称图形，故不符合题意；③是轴对称图形，故符合题意；④是轴对称图形，故符合题意．共有3个轴对称图形故选C．【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键．8、C【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【详解】实数，，，-2,0.020020002……其中无理数是，，0.020020002……故选：C【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π

等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.9、C【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】A，真命题，符合对顶角的性质；B，真命题，平行线具有传递性；C，假命题，若≥0，则；D，真命题，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；故选：C．【点睛】考查学生对命题的定义的理解及运用，要求学生对常用的基础知识牢固掌握．10、B【分析】先求出正五边形一个的外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG中，利用四边形内角和求出∠G.【详解】∵正五边形外角和为360°，∴外角，∴内角，∵BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF∴，在四边形BCDG中，∴故选B.【点睛】本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便.11、D【分析】根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得答案．【详解】∵A，B两点关于轴对称，点A坐标为（2，-3），∴点B坐标为（2，3），故选：D．【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．12、A【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论．【详解】解：∵，∴，且与最接近的整数是5，∴当取最小值时，的值是5，故选A．【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】根据直角三角形两锐角互余计算出∠CAD的度数，然后再根据角平分线定义可得∠1的度数．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∠C=40°，

∴∠DAC=90°-∠C=50°，

∵AE平分∠CAD，

∴∠1=∠CAD=1°．故答案为：1．【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线定义，关键是掌握直角三角形两锐角互余，理清角之间的关系．14、1120°【分析】根据等腰三角形和10度角所对直角边等于斜边的一半，得到BC的长，进而得到BE的长，根据三角形外角性质求出∠E=∠CDE=10°，进而得出∠BDE的度数．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC．∵BD为高线，∴∠BDC=90°，∠DBC∠ABC=10°，∴BC=2DC=2，∴BE=BC+CE=2+1=1．∵CD=CE，∴∠E=∠CDE．∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，∴∠E=∠CDE=10°，∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=120°．故答案为：1，120°．【点睛】本题考查了等边三角形性质，含10度角的直角三角形的性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出BD的长．15、（为整数）【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．【详解】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，

∴正方形的面积为1，

又∵直角三角形一个角为30°，

∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是，

∴三角形的面积为，

∴S1=；

（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，

同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，

∴S2=（）•，依此类推，S3=（）••，即S3=（）•，

Sn=（n为整数）．故答案为：（1）；（2）（为整数）【点睛】本题考查勾股定理的运用，正方形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．能够发现每一次得到的新的正方形和直角三角形的面积与原正方形和直角三角形的面积之间的关系是解题的关键．16、，【分析】直接开方求解即可.【详解】解：∵∴∴，故答案为：，.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题的关键.17、15cm【详解】在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，AE=BE，AD=BD，△ADC的周长为9cm，即AC+CD+AD=9，则△ABC的周长=AB+BC+AC=AE+BE+BD+CD+AC=AE+BE+AD+CD+AC=6+9=15cm【点睛】本题考查垂直平分线，解答本题的关键是掌握垂直平分线的概念和性质，运用其来解答本题18、120°【分析】先由题意求得∠CAD，再证明△ABC与△AED全等即可求解．【详解】解：∵∠ACD=∠ADC=50°，∴∠CAD=180°-50°-50°=80°，AC=AD，又AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B=∠E=90°，∵AB=AE，∴Rt△ABCRt△AED，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠EAD=2∠BAC+∠CAD，∵∠BAD=100°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=20°，∴∠BAE=120°；故答案为：120°．【点睛】此题考查三角形全等及等腰三角形的性质，难度一般．三、解答题（共78分）19、见解析【解析】分析：首先作出∠ABC的角平分线进而作出线段AD的垂直平分线，即可得出其交点P的位置．详解：如图所示：P点即为所求．点睛：本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．20、，，证明见解析【分析】连接CD，首先根据△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点得到CD=AD，CD⊥AD，从而得到△DCE≌△DAF，证得DE=DF，DE⊥DF．【详解】，证明如下：连接∴是等腰直角三角形，∴∵为的中点．∵且平分∵∵在和中∴（）∴∵于∴∴即【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和判定，证得是解题的关键.21、x=7.5【分析】先两边同乘（2x-3）（2x+3），得出整式方程，然后合并同类项，进行计算即可.【详解】解：方程两边同乘(2x﹣3)(2x+3)，得4x+6+4x2﹣6x=4x2﹣9，解得：x=7.5，经检验x=7.5是分式方程的解．【点睛】本题主要考察了解分式方程，解题的关键是正确去分母.22、（1）①(0，5)；②；（2）理由见解析；（3）周长=1，不会发生变化，证明见解析．【分析】（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；②证明△AOP≌△FRE（AAS），则ER＝AP＝4，故点F（8，1），即可求解；（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因为AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；（3）证明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），则CH＝QH，即可求解．【详解】（1）①设：OE=PE=a，则AE=8﹣a，AP=4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，即a2=(8﹣a)2+1，解得：a=5，故点E(0，5)．故答案为：(0，5)；②过点F作FR⊥y轴于点R，折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠EFR，而∠OAP=∠FRE，RF=AO，∴△AOP≌△FRE(AAS)，∴ER=AP=4，OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故点F(8，1)，将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：，解得：，故直线EF的表达式为：y=﹣x+5；（2）∵PE=OE，∴∠EOP=∠EPO．又∵∠EPH=∠EOC=90°，∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．即∠POC=∠OPH．又∵AB∥OC，∴∠APO=∠POC，∴∠APO=∠OPH；（3）如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APO=∠OPH，在△AOP和△QOP中，∴△AOP≌△QOP(AAS)，∴AP=QP，AO=OQ．又∵AO=OC，∴OC=OQ．又