山东省济南市济钢高中2023-2024学年高考仿真模拟数学试卷含解析

山东省济南市济钢高中2023-2024学年高考仿真模拟数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在上的大致图象是（）A． B．C． D．2．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A． B．2 C．3 D．3．函数f(x)=2x-3A．[32C．[324．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：①在上单调递增；②③在上没有零点；④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④5．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④6．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（）A． B． C．1 D．7．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（）A． B． C． D．8．已知集合，则()A． B．C． D．9．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．10．已知函数，，若成立，则的最小值是（）A． B． C． D．11．已知集合，，则集合的真子集的个数是（）A．8 B．7 C．4 D．312．若实数满足不等式组，则的最大值为（）A． B． C．3 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，的系数为________．14．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.15．已知无盖的圆柱形桶的容积是立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么圆桶造价最低为________元.16．根据如图所示的伪代码，若输入的的值为2，则输出的的值为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若函数为奇函数，且时有极小值.（1）求实数的值与实数的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的方程；（2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由.19．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，设，证明：，，使.20．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值.21．（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：市场：需求量（吨）90100110频数205030市场：需求量（吨）90100110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.（1）求的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.22．（10分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；（2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，，故切线的斜率变小，当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，，则，所以函数在上单调递增，令，，当时，，故切线的斜率变大，当时，，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.2、B【解析】

由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点为中点，所以，又因为，，所以．因为，，三点共线，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.3、A【解析】

根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数y=2x-3解得x≥32且∴函数f(x)=2x-3+1【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fgx4、A【解析】

先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上单调递减.当时，，且，所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、C【解析】

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当时，，此时不存在图象；（2）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（3）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（4）当时，，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出的图象，由图象可得：对于①，在上单调递减，所以①正确；对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.6、D【解析】

根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得，即的值，由此求得和的值，进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为，所以，即，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.7、D【解析】

由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.【详解】由题，得，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，所以函数的最小正周期，则，所以，当时，，所以是函数的一条对称轴，故选：D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.8、B【解析】

先由得或，再计算即可.【详解】由得或，，,又，.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.9、A【解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.【详解】设，且线过定点即为的圆心，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.10、A【解析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．详解：设，则，，，∴，令，则，，∴是上的增函数，又，∴当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，，∴的最小值是．故选A．点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．11、D【解析】

转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得，，集合的真子集的个数为个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.12、C【解析】

作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．故选：C．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.

故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.14、【解析】

由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．【详解】解：如图，直线过定点，，而抛物线的焦点为，，弦的中点到准线的距离为，则弦的中点到直线的距离等于．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．15、【解析】

设桶的底面半径为，用表示出桶的总造价，利用基本不等式得出最小值.【详解】设桶的底面半径为，高为，则，故，圆通的造价为解法一：当且仅当，即时取等号.解法二：，则，令，即，解得，此函数在单调递增；令，即，解得，此函数在上单调递减；令，即，解得，即当时，圆桶的造价最低.所以故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.16、【解析】

满足条件执行，否则执行.【详解】本题实质是求分段函数在处的函数值，当时，.故答案为：1【点睛】本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】

（1）由奇函数可知在定义域上恒成立，由此建立方程，即可求出实数的值；对函数进行求导，，通过导数求出，若，则恒成立不符合题意，当，可证明，此时时有极小值.（2）可知，进而得到，令，通过导数可知在上为单调减函数，由可得，从而可求实数的取值范围.【详解】（1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立，所以，化简可得，所以.则，令，则.故当时，；当时，，故在上递减，在上递增，若，则恒成立，单调递增，无极值点；所以，解得，取，则又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，存在为函数的零点，为极小值，所以，的取值范围是.（2）由满足，代入，消去可得.构造函数，所以，当时，，即恒成立，故在上为单调减函数，其中.则可转化为，故，由，设，可得当时，则在上递增，故.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了奇函数的定义，考查了转化的思想.对于恒成立的问题，常转化为求的最小值，使；对于恒成立的问题，常转化为求的最大值，使.18、（1）（2）存在；详见解析【解析】

（1）由椭圆的性质得，解得后可得，从而得椭圆方程；（2）设，当直线斜率存在时，设为，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得，代入＝0由恒成立问题可求得．验证斜率不存在时也适合即得．【详解】解：（1）由题易知解得，所以椭圆方程为（2）设当直线斜率存在时，设为与椭圆方程联立得，显然所以因为化简解得即所以此时存在定点满足题意当直线斜率不存在时，显然也满足综上所述，存在定点，使成立【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法．19、（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1），分，，，四种情况讨论即可；（2）问题转化为，利用导数找到与即可证明.【详解】（1）.①当时，恒成立，当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数.②当时，，.当时，；当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数.③当时，，则在上是减函数.④当时，，当时，；当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数.（2）由题意，得.由（1）知，当，时，，.令，，故在上是减函数，有，所以，从而.，，则，令，显然在上是增函数，且，，所以存在使，且在上是减函数，在上是增函数，，所以，所以，命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.20、；.【解析】

设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，求出；由题意可知，随机变量的可能取值为，，，相应求出概率，求出期望，化简得，由题意可知，，即，求出的最小值.【详解】设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，所以；由题意可知，随机变量的可能取值为，，，且，，，所以随机变量的数学期望，，化简得，由题意可知，，即，化简得，因为，解得，即的最小值为.【点