多项式的因式分解（解析版）-2023学年七年级数学下册压轴题汇编（湘教版）

2022-2023学年湘教版七年级数学下册精选压轴题培优卷

专题12多项式的因式分解

阅卷人

-----------------------、选择题(共10题；每题2分，共20分)

得分

1.(2分)(2023八上•安顺期末)下列各式分解因式正确的是()

Λ.2a2-8b2=2(a+4b)(a-4)B.x2-6x+9=(x-3)2

C.2m2-4mn+9n2=(2m-3n)2D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)

【答案】B

【规范解答】解：A、V2a-8b2=2(a+2b)(a-2b),

.∙.A选项错误，不符合题意；

B、VX2-6X+9=(X-3)2,

,B选项正确，符合题意；

C、∙.∙2m2-4mn+9n2,不是完全平方公式，

.∙.c选项错误，不符合题意；

D、DX(χ-y)+y(y-χ)=(χ-y)^,

.F)选项错误，不符合题意.

故答案为：B.

【思路点拨】利用提取公因式法和公式法可对A选项作出判断；利用公式法可对B选项和C选项作出判

断；利用提公因式法可对D选项作出判断，据此即可解答.

2.(2分)(2022八上•孝昌期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.%(x-2)=x2-2xB.(x-l)2=x2-2x-l

C.X2-4=(x+2)(x-2)D.X2+3x+2=x(x+3)+2

【答案】C

【规范解答】解：A、从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B.(X-I)2=√-2x+l,属于整式乘法，故本选项不符合题意；

C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意;

D.等式的右边不是几个整式的枳的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意:

故答案为：C.

【思路点拨】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。

3.(2分)(2022七上•庐江月考)下列各式从左到右的变形属于因式分解的是()

ʌ.x~—4+3x=(x+2)(x—2)+3x；B.(α+3)(α-3)=4?—9；

C.α~-2α-3=(α—1)--4；D.cι~一l=,+l)(α—1)

【答案】D

【规范解答】解：A.从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意.

B,从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意.

C.从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意.

1).从左到右符合因式分解定义，故本选项符合题意.

故答案为:D.

【思路点拨】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。

4.(2分)(2022八上•太原月考)下列各式从左到右的变形是因式分解，并因式分解正确的是()

A.+2=(〃？一〃『B.(X+1)(X+4)=X2+5X+4

C.4χ2-y2=(4x-y)(4x+y)D.(a-⅛)2+(α-⅛)=(α-⅛)(α-⅛+l)

【答案】D

【规范解答】解：A.m2+n2-2mn=(m-n↑,故本选项不符合题意；

B.从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C.4x2-∕=(2x-γ)(2x+y),故本选项不符合题意；

D.(α-b)2+(α-6)=(α-b)(α-力+1),故本选项符合题意；

故答案为:D.

【思路点拨】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。

5.(2分)(2022七上•杨浦期中)下列等式中，从左到右的变形是因式分解()

A.2x2y+8移2+6=2盯(x+4y)+6B.(5x-l)(x+3)=5x2-14x-3

C.f-V=(χ+y)(χ.y)D.x3+y2+2Λ+1=(x+1)2+y1

【答案】C

【规范解答】解：A选项等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B选项从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C选项从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

D选项等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故答案为：C.

【思路点拨】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。

6.(2分)(2022八上∙高昌期中)下列属于因式分解的是()

A.肛+yz+x=y(x+z)+xB.cr-2a+l={a-1)2

C.g—4=(g+4)(g—4)D.α(α—l)=α—-a

【答案】B

【规范解答】解：A、结果未化成积的形式，不合题意；

B、等式左右相等且结果为积的形式，符合题意：

C、g2-4=(g+2)(g-2)计算错误，不合题意：

D、结果未化成积的形式，不合题意.

故答案为：B.

【思路点拨】把一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此一一判断得出答案.

7.(2分)(2022七下•任丘期末)下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是()

ʌ.(α—+(α—b)=(a—b)(a—Z?+l)B.(x+2)(x+3)=x~+5x+6

C.4t?—〃=(44-b)(4"+0)D.m2-n2+2mn-(m—n)^

【答案】A

【规范解答】解：A、(a—b>+(α-b)=(a—3(。一人+1),从左到右的变形属于因式分解，故本选项符

合题意；

B、(x+2)(x+3)=f+5x+6,从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题

J⅛.

忌;

C>4a2-b2=(2a-b^2a+h),原式从左到右的变形错误，故本选项不符合题意；

D、两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意：

故答案为：A

【思路点拨】根据因式分解的定义及分解因式的方法逐项判断即可。

8.(2分)(2022八下•滕州期末)下列等式从左到右变形，属于因式分解的是()

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.x2-2x+l=(x-1)2

C.2a-l=a(2-----)D.x2+6x+8=x(x+6)+8

a

【答案】B

【规范解答】解：A.(a÷b)(a-b)=a2-b2,原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题

意；

B.x2-2x÷l=(X-1)2,把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题

-1⅛∙.

忌；

C.2a-l=a(2-L),等式的右边不是几个整式的枳的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；

a

D.X2+6X+8=X(X+6)+8,等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；

故答案为：B.

【思路点拨】根据因式分解的定义：将和差的形式变成乘积的形式逐项判断即可。

9.(2分)(2022八下•宝安期末)下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是()

A.IOx2-5x=5x(2x-1)

B.a(m÷n)=am+an

C.(a+b)"―a^+b"

D.X2-16÷6x=(x÷4)(x-4)÷6x

【答案】A

【规范解答】解：A、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；

B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意：

C、等号左右两边式子不相等，故本选项不符合题意；

D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意.

故答案为：A.

【思路点拨】A、符合因式分解的定义；

B、单项式乘多项式，不是因式分解；

C、完全平方公式错误；

D、等式右边不是乘积的形式.

10.(2分)(2022七下•平谷期末)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.X(X+y)=J+盯B.(%+y)(%-y)=x2-y2

C.X2+X+1=X(Λ+1)+1D.X2+2x+l=(x+l)2

【答案】D

【规范解答】解：A、X(X+y)=Y+孙，不是因式分解，故A不符合题意；

B、(%+y)(x-y)=√-/,不是因式分解，故B不符合题意；

C、f+χ+ι=χ(χ+i)+ι,不是因式分解，故C不符合题意；

D、f+2χ+l=(χ+l)2是因式分解，故D符合题意；

故答案为：D

【思路点拨】根据因式分解的定义可得答案。

阅卷入

一二、填空题(共10题；每空2分，共24分)

得分

11.(2分)(2019七下•句容期中)若关于X的多项式X，-mx+n能因式分解为：(x-2)(x+3),则m+n=

【答案】-7

【规范解答】解：多项式χ2-mx+n能因式分解为(x-2)(x+3),

ΛX-mx+n=x'+x-6,

.∙.m=-1,n=-6,

.∙.m+n=-1-6=-7.

故答案是：-7.

【思路点拨】化简因式分解的式子，然后可以求出m和n的值，即可求出m+n的值.

12.(4分)若x'-ax-1可以分解为(x-2)(x+b),则a=，b=

【答案】1-；一

22

【规范解答】解：∙.∙χ2-aχ-1=(x-2)(x+b)=x2+(b-2)x-2b,

.*.-2b=-1,b-2=-a,

11

.*.b=­,a=l—.

22

故答案为：1二，一.

22

【思路点拨】根据多项式的乘法运算，把(x-2)(x+b)展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.

13.(2分)甲、乙两个同学分解因式/+ax+b时，甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a,

分解结果为(x+l)(x+9),则a+b=

【答案】15

【规范解答】解：分解因式xtax+b,甲看错了b,但a是正确的，

他分解结果为(x+2)(x+4)=X2+6X+8,

∙,.a=6,

同理：乙看错了a,分解结果为(x+l)(x+9)=x^+10x+9,

.,.b=9,

因此a+b=15.

故答案为：15.

【思路点拨】由题意分析a,b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定

因式含X的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a、b的值.

14.(2分)(2018八上•九台期末)因式分解：x2y-4y=.

【答案】y(χ-2)(x+2)

【规范解答】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提(公因

式)、二套(平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),完全平方公式a1±2ab+b1=^a±b'↑)、三检查

(彻底分解)，因此x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(χ-2).

【思路点拨】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提(公因

式)、二套(平方差公式、完全平方公式)、三检查(彻底分解)。

15.(2分)(2022•马鞍山模拟)因式分解：21一8盯2=

【答案】2x(x+2y)(x-2y)

【规范解答】解：原式=2x(xMy2)=2x(x+2y)(x-2y),

故答案为2x(x+2y)(x-2y)

【思路点拨】先提取公因式2x,在用平方差公式进一步因式分解

16.(2分)(2020七下•徐州期中)给出下列多项式：①∙√+y2；②尤2一y2；③f+孙+)2；④

f+2孙+y2；⑤尤4_1；⑥疗一WOT+；〃2.其中能够因式分解的是：(填上序号).

【答案】②④⑤⑥

【规范解答】①f+y2,不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；

②兀2_'2=(χ+y)(χ.y)(故可以因式分解；

③V+孙+y2,不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；

@x2+2xy+y2=(x+y)i,故可以因式分解；

⑤％Jl=(χ2+l)(χ2-I)=(X2+])(χ+ι)(χT),故可以因式分解；

⑥机2=(加一4〃)，故可以因式分解：

4I2)

综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，

故答案为：②④⑤⑥.

【思路点拨】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.

17.(2分)多项式χ2-x+k有一个因式为X-2,则k=

【答案】-2

【规范解答】解：把x=2代入方程X2-x+k=0中得4-2+k=0,

解得：k=-2.

故答案为：-2.

【思路点拨】根据因式分解的定义，把一个多项式分解为儿个整式的乘积形式，就是因式分解；从而可以

设χ2-x+k=(x-2)A,另X-2=0,则x=2,把x=2代入方程x2-x+k=O即可得出一个关于k的方程，求解

即可得出k的值。

分)(七下•滦南期末)若多项式2能用完全平方公式进行因式分解，则

18.(22017X-,7JΛ+16m=_

【答案】±8

【规范解答】中间一项为加上或减去X和4积的2倍，

故m=±8,

解得m=±8,

故答案为：±8.

【思路点拨】注意此题可以用完全平方差公式也可以用完全平方和公式，mx前面的是迷惑同学的，所

以用两个答案。

19.(2分)(2018七上•襄州期末)若x'+mx+n分解因式的结果是(x+2)(X-I),则m+n的值

为.

【答案】-1

【规范解答】∙∙∙χ2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(χ-l),

.∙.x'+mx+n=x'+χ-2,

Λπι=l,n=-2,

.*.m+n=l-2=-l,

故答案为T.

【思路点拨】由于分解因式是整式的一种恒等变形，从而得出x2+mx+n=(x+2)(x-1),将等式的右边

去括号再合并同类项，根据整式的性质即可得出m,n的值，再代入代数式即可算出答案。

20.(4分)如果把多项式/-3x+n分解因式得(x-1)(x+m),那么m=,n=.

【答案】-2；2

【规范解答】解：χ2-3x+n分解因式得(X-I)(X+m),得

χj-3x+n=x'+(m-1)x-m.

m-1=-3,n=-m.

解得m=-2,n=2,

故答案为：-2,2.

【思路点拨】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值.

阅卷人

---------------------三、解答题(共6题；共55分)

得分

21.(10分)下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由.

①a(x+y)=ax+ay;

(2)x2+2xy+y2-l=x(x+2y)+(y÷1)(y-1)；

③aχJ9a=a(x+3)(x-3)；

④χ2+2+ɪ=1+1)

⑤2a、'=2a∙a∙a.

【答案】解：因为①②的右边都不是整式的积的形式，所以它们不是分解因式；④中」7,-都不是

XX

整式，⑤中的2a，不是多项式，所以它们也不是分解因式.只有③的左边是多项式，右边是整式的积的形

式，所以③是分解因式.

【思路点拨】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式。化简后的结果为几个整式

的乘积，所以可以判断①②选项错误；在④L中，分母中含有字母，所以不是整式，不符合题意；在

X

⑤中，2a，为单项式，不符合题意；在③中，左侧为多项式，右侧为几个整式的积，所以符合题意。

22.(8分)(2017七下•湖州月考)仔细阅读下面例题.解答问题：

例题：已知二次三项式，χJ4x+m分解因式后有一个因式是(x+3).求另一个因式以及m的值.

解：方法一：设另一因式为(x+n),得x'-4x+m=(x+3)(x+n).则χ2-4x+m=x'+(n+3)x+3n,

"+3=-4fn=—7

Vc,解得《〜，.∙.另一个因式为(X-7),m的值为-21.

3n=m∖m=-2∖

方法二：设χZ-4x+m=k(x+3)(k≠0),当x=-3时,左边-9+12+m,右边=0,；.9+12+用=0,解得m=-21,将

χJ4χ-21分解因式，得另一个因式为(χ-7).

仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8χ2-14χ-a分解因式后有一个因式是(2χ-3)∙求另一个

因式以及a的值.

【答案】解：参照方法一解答：Y二次项系数为8,一个因式(2χ-3)的一次项系数是2,则另一个因式

的一次项系数为8÷2=4,则可设另一个因式为(4x+b),

得8χ2-14χ-a=(2χ-3)(4x+b)=8χj+(2b-12)x~3b,

2⅛-12=-14a=-3

解得<

3b=ab=-l

则另一个因式为(4χ-l),a=-3.

3

参照方法二解答：设8x'T4x-a=k(2χ-3)(k≠0),当X=—时，左边二18-21-a,右边二0,18-21-a=0,

2

解得a=-3.

则另一个因式为(4χ-l).

【思路点拨】根据因式分解的定义可知，等号两边只是形式不一样，但结果相等.

23.(8分)先阅读第(1)题的解答过程，然后再解第(2)题.

(1)已知多项式2χ3-x'ln有一个因式是2x+L求m的值.

解法一：设2χ3-χ2+m=(2x+l)(x2+ax+b),

则:2X3-x2+m=2x3+(2a+l)x2+(a+2b)x+b

a=-∖

2tz+l=-l

比较系数得｛α+2h=0解得<h=^-,：.m=-

22

b-m

解法二：∙S2x3-χ2+m=A∙(2x+l)

由于上式为恒等式，为方便计算了取光=-！，

2

-f-ɪ>l+m=Q,故m=ɪ.

I2J[2)2

(2)已知x,+mx3+nx-16有因式(x-1)和(x-2),求m、n的值.

【答案】解：设xl+mx3÷nx-16-Λ(x-1)(x-2)(A为整式),

取x=l,得l+m+n-16=0①，

取x=2,得16+8m+2n-16=0②，

由①、②解得ΠF-5,n=20.

【思路点拨】设x,+mx3+nx-16=A(x-1)(x-2),对X进行两次赋值，可得出两个关于mn的方程，联

立求解可得出mn的值.

24.(9分)(2021八上•玉州期末)仔细阅读下面例题，并解答问题：

例题：已知二次三项式√-4%+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值.

解：设另一个因式为x+n,

由题意得X2-4x+∕n=（Λ+3）（%+n），

即X2-4x+m-X2+(n+3)x+3n,

H+3=-4m=-21

则有，解得《

3n=m〃=-7

所以另一个因式为x-7,m的值是一21.

问题：请仿照上述方法解答下面问题，

（1）（2分）若X2+bx+c=（x-l）（x+3）,则b=

（2）（5分）已知二次三项式2∕+5x+Z有一个因式为2%-3,求另一个因式以及k的值.

【答案】（1）2；-3

（2）设另一个因式为x+P,

由题意得：2d+5χ+A=（X+p）（2x-3）,

即2J?+5x+A:=2J?+（2p-3）-3p,

=-12

则有，，解得《

-JP=Kp=4

所以另一个因式为x+4,k的值是一12.

【规范解答】解：（1）,：x2+bx+c=（x-l）（x+3）=X2+2X-3,

∙'∙b=2,C=—3,

故答案为：b=2,c=-3:

【思路点拨】（1）利用多项式乘以多项式法则：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把

所得的枳相加可得结果；

（2）设另一个因式为x+P,由多项式乘以多项式可得结果，再根据等号左边的式子可得待定系数.

25.（10分）（2019七上•宽城期中）仔细阅读下面例题，解答问题.

（例题）己知关于X的多项式χ2-4x+m有一个因式是（x+3）,求另一个因式及m的值.

解：设另一个因式为（x+〃）

则x2-4x+m=(x+3)(x+π)，即x2-4x÷m=x2+(n+3)x+3∕t.

〃+3=-4,m=-21,

解得V

3n=m.n=-7.

・・・另一个因式为(x-7),m的值为—21.

(问题)仿照以上方法解答下面问题：

(1)(5分)已知关于X的多项式χ2÷7x+4Z有一个因式是(1-2),求另一个因式及a的值.

(2)(5分)已知关于X的多项式2∕+3χ-A有一个因式是(x+4),求上的值.

【答案】⑴解：设另一个因式为(x+b)

则+7x+iz-(—2)(尤+/?),即+7X+π—+[h—2)X—2b.

b—2=7,a=—18,

a=-2b.解得

b=9.

另一个因式为(x+9),a的值为一18.

(2)解：设另一个因式为(2x+h),

贝IJ2χ2+3X—斤=(X+4)(2x+/?),即