2023届老高考数学练习题：第三单元 基本初等函数

第三单元基本初等函数(1)

3.1二次函数与募函数

1.如果函数T(X)=X2一以一”在区间［0,2］上的最大值为为1,那么实数α=.

答案：1

解析：因为函数KX)=^一如一〃的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的

一α>4-30,∖-a≤4-3a,

<V

端点取得.因为火0)=r,火2)=4—3“，所以〔一"=1或14—34=l,解得.=1

“产―2/”一3

2∙(2022∙安徽安庆月考)基函数>=尤’(m∈Z)的图象如图所示，则实数”的值为()

-1O-1X

A.3B.O

C.1D.2

答案：C.

解析：因为函数y在(0,+8)上单调递减，所以加一2机一3<0,解得一1<m<3.因为mGZ,

所以“2=0,1,2.而当m=0或2时，√(x)=χ-3为奇函数，当m=l时，y(χ)=χ”为偶函数,

所以m=l.故选C.

3∙(202I∙辽宁省沈阳市模拟)已知二次函数兀0的图象经过点(4,3),它在X轴上截得的线

段长为2,并且对任意x∈R,都有式2—x)=∕(2+x),则於)=.

答案Λ2-4X+3

解析因为以2—x)=∕(2+x)对XeR恒成立，所以y=∕(x)的图象关于x=2对称.

所以二次函数./U)与X轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0).

因此设KX)=α(x—I)(X-3).又点(4,3)在y="r)的图象上，所以3a=3,则α=l.

故Λr)=(x—I)(X-3)=/—4x+3.

4.(2022•江西赣州检测)已知二次函数yU)=αχ2+∕zr+5的图象过点p(—1,U),且其对称

轴是直线x=l,则的值是()

A.-2B.O

C.1D.2

答案：A

b

解析：因为二次函数7U)=OΛ2+6X+5的图象的对称轴是直线X=I,所以-20=ι①.又

l)=α-⅛÷5=11,所以“一人=6②.联立①②，解得a=2,〃=—4,所以“+匕=—2.

故选A.

5.(2021.山西运城模拟)有下列四个塞函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函

数的三个性质：(1)是偶函数；(2)值域是｛y∣ydR,且“0｝：(3)在(一8,0)上单调递增.如果

给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是()

A.y-x'B.y—x2

C.y—x3D.y=χ3

答案：B

解析：对于A,y=xI是奇函数，值域是｛y∣yGR,且γ≠0｝,在(一8,0)上单调递减，三个

性质中有两个不正确；对于B,)，=/2是偶函数，值域是｛y∣y∈R,且),>0｝,在(一00,0)上

单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断C,D中的函数不符合条件.故

选B.

5.(2021•河南郑州模拟)若函数於)=又二)1不;m,8,c"∈R)的图象如图所示，则a：h：c：d

=()

A.ɪ：6：5：8B.1：6：5：(-8)

C.1：(-6)：5：8D.1：(-6)：5：(-8)

答案：D

解析：由图象可知，Λ≠1,5,所以Or2+⅛x+C=A(X—l)(χ-5),所以a—k,b--6k,c-5k,

根据图象可得当x=3时，y=2,所以d=-8k,所以α：b：c：d=\:(-6)：5:(-8).故

选D.

6.(2021河南洛阳模拟)若函数兀v)=∕-2x+l在区间依，“+2］上的最小值为4,则“的取

值集合为.

答案：｛-3,3｝

解析：因为函数火X)=X2—2x+l=(χ-1)2,对称轴x=l,因为在区间［α,“+2］上的最小

值为4,所以当19时，危)min=7(α)=(α-1)2=4,解得a=-1(舍去)或α=3,当a+25l,

即好一1时，Kx)min=∕3+2)=(q+l)2=4,解得4=1(舍去)或a=-3,当a<l<⅛z+2,即一

l<a<lB⅛,χχ)min=χi)=0≠4,故。的取值集合为｛-3,3).

7.(2021•陕西西安月考)已知二次函数应r)满足√(2+x)=∕(2—X),且兀C)在［0,2］上是增函数，

若逃”)/0)，则实数a的取值范围是.

答案：［0,4］

2+x+2—X

解析：由人2+尤)=次2—X)可知，函数外)图象的对称轴为X=2=2,又函数人X)

在［0,2］上单调递增，所以由.穴。)/0)可得0≤Λ≤4.

8.(2021吉林省长春市模拟)已知二次函数贝x)满足於+1)—段)=2无，且犬O)=L

⑴求於)的解析式；

(2)当x∈［—1,1］时，函数y=√(x)的图象恒在函数y=Zr+"7的图象的上方，求实数机的取

值范围.

解(1)设yζx)=0r2+bx+c(a≠0),由负x+1)—/(x)=2x,得20r+α+6=2x.

所以，2α=2且α+8=0,解得α=l,b=-∖,又40)=1,所以C=L

因此y(x)的解析式为∕X)=X2-X+1.

(2)因为当x∈［—1,1］时，y=∕(x)的图象恒在y=2%+"?的图象上方，

所以在［—1,1］上，Λ2-x+l>2x+∕n恒成立；

即/—3x+l>∕n在区间［―1,1］上恒成立.

2

所以令g(x)=f-3x+l=(χ一号—

因为g(x)在［-1,1］上的最小值为g⑴=-1，

所以,"<—1.故实数《7的取值范围为(一8,—1).

9.(2021•江苏常州模拟)“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒4米的速

度从地面垂直向上射箭时，f秒时弓箭距离地面的高度为X米，可由x=m-5/确定，已知

射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为()

A.135米B.160米C.175米D.180米

【答案】D

【解析】由题意,当7=3时,x=135,代入X=8一5『，可得135=3α-5x9,解得α=60,则

x=60r-5r2=—5«—6)2+180,当♦=6时,x取得最大值180.故选D.

10.(2021.吉林白山期末)若函数f∖x)=(m2-2m-2)x,n-'是幕函数,且y=/(x)在(0,+8)

上单调递增,则/(2)=()

11

A.—B.-C.2D.4

42

【答案】D

【解析】因为函数/(力=(小一2加一2卜”1是塞函数,所以帚-2〃?-2=1,解得m=一1或

机=3.又因为y=/(X)在(0,+℃)上单调递增,所以m―1≥0,所以机=3,即/(x)=χ2,从而

/(2)=2?=4.故选D.

11.(2021•西安四校联考)已知α=0.5°∙8,⅛=0.8α5,c=0.8α8,则()

A.c<h<aB.c<a<h

C.a<⅛<cD.α<c<⅛

【答案】D

【解析】由题意，根据指数函数与基函数的单调性，可得α=0.5°∙8<0.5°∙5,⅛=O.8O'5>O.5O∙5,

所以b>a,又由C=0.8°-8>0.5°-8,所以c>a,又⅛=O.8o∙5>c=O.8α8,所以“<c<A故选

D.

12.(2021•广东惠州模拟)已知函数/(x)=x2+x+c,若/(0)>0,f(p)<0,则必有()

AJ(P+1)>0

BJ(P+1)<0

CV(P+1)=0

D./(p+1)的符号不能确定

【答案】A

ɪ

【解析】由题意知，/(0)=OO,函数图像的对称轴为直线*=-5,则/(—1)=/(0)

>0,设f(x)=O的两根分别为XI,X2(x∣<x2),则一1<X∣<X2<O,根据图像(图略)知，

x↑<p<X2f故p+l>0,f(p÷l)>0.故选A.

13.(2021河北邢台期末)己知函数/(x)(x∈R)满足/(x+2)=∕(4-X),若函数

y=χ2一6x+l与y=∕(x)的图象的交点为(不，弘),(电，，2)，(尤3，%)，「，(天，”)，则

X∣+X2+X3+-+xn=()

A.3〃B.2nC.nD.0

【答案】A

【解析】•••函数/(尤)(x∈R)满足/(X+2)=∕(4-Λ),.∙./(χ)的对称轴为

γ-L2+4-jc

X=——-——=3,又函数y=f-6x+l的对称轴也为x=3,两个函数图象的交点

也关于X=3对称.

当〃为偶数时，玉+X2+%3++Z=6Xa=3π；

+z=6x0

当〃为奇数时，ɪi+χ+⅞++3=3〃.

22

综上，xl+x2+x3+-+X11=3n.故选A.

14.(2021广东珠海模拟)二次函数/(x)=-Y+2次在［1,+OO)上最大值为3,则实数『=()

A.±y∕jB.6C.2D.2或逐

【答案】B

【解析】对称轴X=t,判断对称轴与区间的位置关系,

当f≤1时,f(X)=-丁+2比在区间［1,+8)上单调递减，盘、(X)=/(l)≈2r-l,

此时2/—1=3,f=2,不满足Yl；

当r>1时，Λm(x)===3=>『=±6，又「>1所以/=石.故选B.

15.(2021•河北衡水中学调研)设函数yU)=1,g(x')=ax2+hx(a,⅛∈R,a≠0).若y=∕(x)的图

象与>=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x∣,yl),以及，")，则下列判断正确的是

)

A.当〃Vo时，X]+x2<0,y1+y2>O

B.当αV0时，x1+x2>O,γι+γ2<O

C.当α>0时，%ι÷X2<0,yι÷j2<0

D.当〃>0时，x∣+x2>0,y1+y2>O

【答案】B

【解析】当αV0时，作出两个函数的图象，如图所示，由题意不妨记函数Kr)与g(ι)的图象

在第三象限交于点4田，》)，在第一象限相切于点8(X2,刃)，因为函数段)=:是奇函数，

所以设A关于原点对称的点为4(—Xi,—yι),显然X2>—xι>0,即X1+12>O,—y1>y2,

即)"+y2VO∙当。>0时，由对称性知X∣+X2<O,y+y2>0∙故选B∙

16.(2021•山东济南模拟)已知二次函数y=Οr2+bx+c(α≠0)的图象如图所示，记p=∖a~b+c∖

+∣2α+b∣,q=z∖a-∖-b+c∖+∖2a—b∖,贝!]()

A.p>q

B∙P=Q

C.p<q

D.以上都有可能

【答案】C

【解析】因为二次函数y=θv2+W+cm≠0)的图象开口向下，经过原点且对称轴在X=I的右

侧，故“<O,—^>1,c=O,所以比>0,24+/?>0,2“一/?<0.又当％=—1时，y=a-b+c<O,当

X=I时，y=α÷⅛÷c>O,所以/?=Ia-6+c∣+∣24+∕W=—“+b—c+2"+b=α+26-c,q-∖a

+6+c∣+∣2α—i>∣=α+6+c—2a~∖^b——α+2⅛+c.所以P—q=2(a—c)-2a<0,所以p<q.故

选C.

17.(2021・西安八校联考)若函数人幻=/一2x+,”(x∈R)有两个不同的零点，且五1一x巨一1

恒成立，则实数机的取值范围是()

A.(0,1)B.[0,1)

C.(0,l]D.[0,1]

【答案】B

【解析】因为函数兀V)=/-2Λ+"I(X∈R)有两个不同的零点，所以方程x2—2Λ+,W=0有两

个不同的实根,所以∕>0,4-4m>0,ZnVI.因为加一x)≥-1恒成立,所以(I—∙χ>-2(l—x)+

,龙一1恒成立，所以x2+∕n≥0恒成立，所以〃仑0,所以〃?00,1).故选B.

18.(2021.福建莆田模拟)已知函数y(x)=f+/Zr+1满足人-元)=%+1),若存在实数r,使

得对任意实数x∈[l,m],都有yU+f)≤x成立，则实数〃?的最大值为.

【答案】3

1b

【解析】函数式X)=X2+H+I满足.大一χ)=∕α+i),则yu)图象的对称轴为X=5,则—5=

ɪ,解得b——1,.∖∕(X)=Λ2-x+1,由7(x+r)≤r得(x+f)2—(x+f)+l<χ,即(x+t—1尸3-f(∕≤0),

/.1~t~yj-t≤r<l-?+ʌ/-7,由题意可得1—f一J二7勺，解得一1W∕≤O,令y=1—f+

—(ʌ/-7+ɪ)2+ɪ,可得l≤y≤3,.∙.,n≤3,可得m的最大值为3.

19.(2021•河北承德模拟)设兀t)与g(x)是定义在同一区间[a,口上的两个函数，若函数y=

7U)—g(x)在x∈[m句上有两个不同的零点，则称共x)和g(x)在[”,句上是“关联函数”.若J(X)

=X2-3X+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为.

【答案L»2]

【解析】由题意得，函数y=m)-g(x)=χ2-3x+4—2x—〃?=*—5x+4—加在[0,3]上有两个

不同的零点.

Λ(0)≥O,[4-m≥0,

∕H∣)<O,

<-----m<0,=——<m<-2

44

∕z(3)≥0,-2-m≥0

令∕z(x)=x2-5x+4-/H,π即ιlI

20.(2021∙北京市模拟)设”卜1《,1,2^则“f(x)=/的图象经过(T,T)”是“/(x)=Xa为

奇函数”的()

A.充分不必要件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由α∈{-l,g,l,2,3},由/(x)=Xa的图像经过(T,T),则α的值为7,1,3,此时

/(x)=Xa为奇函数.又当/(x)=Xa为奇函数时，则ɑ的值为T，L3,此时f(x)=x"的图象经

过(T,T).所以“/(x)=Xa的图象经过(T-I)”是“/(x)=x"为奇函数”的充要条件.故选C.

21.(2021陕西省榆林市模拟)下列四个函数：①y=2x+3；②y=L③y=2∖④丫―)，

其中定义域与值域相同的函数的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

①函数y=2x+3的定义域为R,值域也为R；即定义域和值域相同；

②函数的定义域为(F,0)U(0,+∞),值域也为(F,O)□(O,e)；即定义域和值域相同;

③指数函数y=2，的定义域为R,值域为(0,+8),即定义域和值域不同；

④基函数y=1的定义域为［0,用)，值域也为［0,+∞),即定义域和值域相同；

故选C.

22.(2021•江西省九江一中模拟)对数函数y=log°x(a>0且存1)与二次函数y=(“一l)x2-x在

同一坐标系内的图象可能是()

答案：A

解析：若O<α<l,则y=k>gd在(O,+s)上单调递减；y=(“一1*—x的图象开口向下，对

称轴在y轴左侧，排除C,D.若a>l,则y=logflΛ在(0，+8)上单调递增，y=(α—l)∕-χ

的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确.故选A.

23.(2021•湖北省襄阳市第四中学模拟)已知定义在/?上的幕函数"x)=x"'("?为实数)

过点A(2,8),记α=/(Iog(Is3),⅛=∕(log25),c=f(m),则。也。的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】由题得8=2",.∙.23=2ra,.∙.m=3,.∙./(X)=X3.函数f(x)=x3是R上的增函数.

因为Iogo.53VlogoJ=O,0<log25<log28=3=m,所以〃i>logz5>Iogg3,

所以f(m)>/(Iog25)>/(log0.53),所以“<6<c.故选A.

24.(2021.陕西省西安模拟)设函数F(X)=加一2x+2,对于满足Ia<4的一切X值都有/(x)>0,

则实数a的取值范围为.

答案：(；，+∞)

解析：由题意得层一刍对1<X<4恒成立.又H=-2(；—g)+J,所以住一§max

=；.所以α>∣.

25.定义在R上的函数人人)=-X3+M与函数g(x)="r)+x3+Λ2-丘在[-2,2]上具有相同的

单调性，则&的取值范围是()

A.(-∞,—4]B.[4,÷∞)

C.[-2,4]D.(-∞,-4]U[4,+oo)

答案B

解析易知y(x)=一炉+m在R上是减函数.依题设，函数g(χ)=f一"+根在[-2,2]上单调

递减.抛物线的对称轴x=Q,则Q4.故选B.

26.已知函数./(X)="ZΛ2+(2-nι)x+"(tt7>0),当一10v≤l时，∣∕(x)∣≤l恒成立，贝IJ{,)=.

答案T

解析当x∈L1,1]时，IAX)Iq恒成立.

∣∕"(O)∣<l=>∣n∣<l=>-1<M<1;

/.ι,,,因此〃=—i,.*.y(0)=-1,χi)=ι.

∣/(z1x)∣≤1=>∣2+∕2∣<1=>-3<n≤-1>

由兀V)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线X=O,.∙.2-w7=0,机=2,.∙√(x)

27.(2021.上海复兴高级中学期中)对于问题：当QO时，均有Ka-I)X-l](x2-0r-l)≥0,

求实数。的所有可能值.儿位同学提供了自己的想法.

甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；

乙：研究函数y=[(4-l)x—l](f—or—1)；

丙：分别研究两个函数y∣=(α-l)x—1与R=X2-Ot-1;

T：尝试能否参变量分离研究最值问题.

你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为

答案I

解析选丙.画出y2=x2一融一1的草图，y2=f—or—1过定点C(0,—1).

2

Ay2=X-Or-I与X轴有两个交点，且两交点在原点两侧,

又)，I=(a—1)X—1也过定点C(0,-1),

故直线y∣=(α-l)χ-l只有过点A,C才满足题意，

∕∙a—1>0,即α>l,令yι=0得X=I

0)代入V=r-αr-l=0,解得a=0(舍)或α=/

将点I

28.已知哥函数於尸(〃/-l)2f-4"L2在(0,+8)上单调递增，函数g(x)=2∙J%.

⑴求〃?的值；

(2)当Xe[1,2)时，记y(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p：XeA,q：x≡B,若P是q

成立的必要条件，求实数A的取值范围.

解析(1)依题意得：(〃?一Ip=I=»"=0或m=2,当m=2时，y(x)=x”2在(0,+s)上单调

递减，与题设矛盾，舍去，.∙.m=o.

(2)由(1)得，fix)=X1,当Xe[1,2)时，y(x)∈[b4),即A=[l,4),

当x∈[l,2)时,g(x)∈[2-24一%),即B=[2—h4T),

2-⅛>l,KI,

因P是夕成立的必要条件，则BGA,则即，得o≤⅛≤ι.

4~k<4,k>O,

故实数大的取值范围是［0,1］.

29.(2021•辽宁省沈阳模拟)已知函数/(x)=-χ2+αr-6,g(x)=x+4.若对任意为∈(0,+∞),

存在A⅞e(~~8,—1］,使/(x∣)q(x2),则实数。的最大值为。

答案：6

解析由题意/(x)max≤∙g(x)maχ,(*)

由g(X)在(一00,—1］上单调递增，则g(x)max=g(-l)=3,

2

HX)=-JC2+Or-∙6=_(X-§+^--6.

当把0时，於)在［0，+8)上单调递减，

所以共x)勺(O)=-6,显然yU)<g(x)maχ=3.

所以当a≤0时，(*)恒成立.

当。>0时，X=5∈(0,+8),,©max=玛)=5—6.

2

此时应有点一6W3,且〃>0,解得0<αW6.

综上可知a<6,则a的最大值为6.

30.(2021•河南省郑州质检)已知p：∣m÷l∣<l,q：幕函数丫=(那一zn—1)Xm在(0,+8)上单调

递减，则P是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

m

解析p：由∣∕n+l∣<l得一2<∕n<0,又黑函数y=(z∏2—“一DA在(0,+s)上单调递减，所以

m2-m-↑=},且相<0,解得机=-1.故P是q的必要不充分条件.故选B.

42I

31.(2016•全国III卷)已知α=2J,6=3；,c=25),则()

∖.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案A

42222

解析因为。=2；=4；,h=3yc=5?又y=石在(0,+⑹上是增函数，所以c>4>A故选A.

32.已知函数y(x)=-f+4x+n,x∈[0,1],若兀r)有最小值一2,则./U)的最大值为.

答案1

解析./U)=-χ2+4x+a=—(χ-2)2+α+4,；.函数式X)=-x2+4x+4在[0,1]上单调递增，

，当X=O时，段)取得最小值，当X=I时，外)取得最大值，

∙∖ΛO)=α=-2,χi)=3+a=3-2=1.

3.2指数与指数函数

1.函数yU)=∕-2022+2022(α>0且WI)的图象过定点A,则点A的坐标为.

答案(2022,2023)

解析令χ-2022=0,得x=2022,则y=2023,故点A的坐标为(2022,2023).

2.(2021•湖南省永州市模拟)若a=。。。?,8=0.7°'c=1.20∖则mb,C的大小关系是

()

A.a>b>cB.c>h>aC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】函数y=03在R上是减函数，.∙.O<O∙3°∙7<O∙3°3<O.30=l,又募函数y=∙√u在

(0,+8)上单调递增，0.3<().7,.∙.0<0.3°3<0.7%所以0<“<b<l,而函数y=12'是R上

增函数，.∙.c=1.2°3>1.2°=l,.∙.c>b>a,故选B.

3.(2021∙江西省贵溪市模拟)下列比较大小正确的是()

A.l<0.5^2<0.5^,B.0.5'2<l<0.5^3

C.O.5^3<l<O,5^2D.0,5^2<0.5^3<1

【答案】A

【解析】因为指数函数y=OS为减函数，则1=0.5°〈OS?〈OS'.故选A.

IeXX≥0

4.(2021•江苏省南通模拟)已知函数f(x)=,八，在R上单调递增，其中e为自然

[mx+m,x<0

对数的底数，那么当〃，取得最大值时，关于X的不等式ln(∕(x))≤m的解集为()

A.(―∞,ɪlB.(-1,1]C.(0,e]D.(―Le]

【答案】B

/、∖m>Q

【解析】因为函数“X)在R上单调递增，则有〃7xO+,〃<e。，解得0<机41，

所以修的最大值为1,此时Ax)="r°,令ln(∕(x))≤l,解得O<∕(x)≤e,

-V+1,人<U

当x<0时，O<x+1≤e,解得T<x≤e—1,所以一1vx<O,当x≥0时，0<ex≤e解得0≤x<l,

综上，不等式的解集为(-1,1],故选B.

⑷，x>0,

5.已知实数存1,函数於)=O八若41一幻=加一1),则。的值为______

[2aOx<0,

答案：I

解析：当α<l时，4∣0=2∣,解得。=去当Al时，代入不成立.故“的值为宗

<2ɪʌ/ɪɪ

6.(2021∙福建莆田七中期中)化简2。3后-6山序÷-34⅞?Z(”〉0且方>())=

\八√∖√

答案：4。

(a1Y1n(12x(-6)2+口W

*i22iβe

解析：2ab-6ab÷-3ab'=―~~ʌɑɜ26/?236=4«.

IJlJI)-ɜ

7.(2021•东北三校联考)若关于X的方程炉一l∣=2α(α>0,且存1)有两个不等实根，则α的取

值范围是()

A.(O,1)U(1,+∞)B.(0,1)

C.(1,+∞)D.(θ,ɪ)

答案：D

解析：方程∣/T∣=2α(α>0,且际1)有两个实数根转化为函数>=炉一1|与y=2”有两个交

点.

①当OCaCl时，如图①，.∙.0<24<l,即OVZe,；

2

②当”>l时,，如图②，而)，=2">1不符合要求.

,O*'.故选D.

2

X(ix2+2x+3

的值域是10,（，则火X）的单调递增区

8.（2021•陕西延安模拟）若函数小）叫

间是（）

A.(-∞,T]B,[l,+∞)C.(→o,2]D.[2,+∞)

答案：A

+2x+3,由于/（x）的值域是（OT,所以g（x）的值域是[2,÷w）.

解析：令g（x）=加

a>Oz[∖X2+2X+3

因此有V⑵一4C,解得a=l,这时g(x)=x2+2x+3,/(x)=-

-------二2

4a/

由于g（χ）的单调递减区间是（一叫一1],在R上递减；所以/（x）的单调递增区间

是（一8,-1].故选A.

9.（2021•山东济南模拟）已知是定义在R上的偶函数，且在区间（F,0）上单调递增.若

实数a满足/（2小"）＞/卜挺），则〃的取值范围是（)

1)33ɪ3)

A.-∞,-B.-004uΓ+°oc∙—,+∞D.

2,2222>

答案：D

解析:

/(-√2)y(-2∣α-'∣)>/(-√2)=>-2la^'1>-√2n少T<21

11113,…

<-=>一一<a~1l<-=>-<a<-,故选D.

22222

10.设x∈R,则"4'>2"'是"X>2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因4*>2*=2">2"02尢>犬0尢>0，又*>04χ>2，而x>2=x>0∙即''x>0''

是''x>2''的必要不充分条件，所以‘'4'>2，”是“χ>2”的必要不充分条件.故选B.

1L（2O21∙河北省唐山市第一中学模拟）在流行病学中，基本传染数凡是指在没有外力介入，

同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.凡一般由疾病的感染周期、

感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染

数4=3.8,平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到IOOO人大约需要

（）轮传染？（初始感染者传染RO个人为第一轮传染，这4个人每人再传染几个人为

第二轮传染……）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】感染人数由1个初始感染者增加到IOOO人大约需要"轮传染，

则每轮新增感染人数为经过"轮传染，总共感染人数为：

1+9+欧+即与翼I=IOo0,解得”4.94,所以感染人数由1个初始

1-A01—3.8

感染者增加到1000人大约需要5轮传染，故选B.

12.（2019•全国I卷）已知α=log2θ.2,b=2%C=O.2（u,则（）

K.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

答案B

解析由对数函数的单调性可得α=log2θ.2<log21=0,由指数函数的单调性可得方=2°2>2°

=1,OCC=O.2°∙3<0.2°=l,所以αvc<b.故选B.

12.（2020.新高考全国I卷）基本再生数Ro与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基

本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新

冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/Q）=e”描述累计感染病例数/⑺随时间f（单位：天）

的变化规律,指数增长率r与岛,7近似满足RO=I+”.有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,

7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（In

2≈0.69）（）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由Ro=I+rT,Ro=3.28,T=6,得/*=7=ð=0.38.

由题意，累计感染病例数增加1倍，则/（及）=2/（幻，即e°∙3地=2e°∙3M,

所以e°38"2F）=2,即0.385一A）=In2,所以f2-f∣=⅜⅛≈嚼1.8.故选B.

U.JoU.Jo

13.（2021点重庆模拟）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2020年冬奥会的标志性场馆，拥

有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.

并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程

中废水的污染物数量N（mg∕L）与时间f的关系为N=N°"*j（即为最初污染物数量）.如果

前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）小时.

A.3.6B.3.8C.4D.4.2

【答案】C

4

【解析】由题意可得Me』=gN0,可得e*

可得e-k=（e』『=e.，解得f=8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选C.

2ΛΛL

14.化简：/——（β>0,⅛>0）=.

答案！

a∙a^bi------→---1

解析原式=JI="3262236=_l.

--Q

a6b6

3"∣(x≤0)

15.(2021河北省秦皇岛市模拟)已知函数"x)=[OgT(X>o),则不等式/(χ)>l的解集

.3

为.

【答案】卜用

[3"'(x≤0)fx≤0卜>°

【解析】∙∙f(χ)=他X(X>o),"(χ)>ι=7>ι或bg∕>i,

、3l13

解得T<x≤0或0<x<g,即-IK；,不等式小)>1的解集为,,

16.(2021.河北省唐山市模拟)己知函数”"一KrT,则不等式“x)+∕(∙r)>°的解集为

()

A.(―∞,-1)U(l,+∞)B.(―∞,-2),(2,+∞)C.(―∞,-1)L(2,+∞)D.(―∞,—2)o(l,÷∞)

【答案】D

,、e,T-lZ-'-1(e1-1)(/-+1)+(JT-I)(e"'+l)

【解析】由/(x)+/X2>0得+---------->0,

v,=-----'/II]1J

e+1-'+l(^-'+l)leʌ-+)

即(――1必曰+1)+卜曰—1*b+1)>0,g整理得：21皿_2>0,即/+1>1=6。.

所以，X2+x-2>0>解得χ<-2或X>1•故选D.

17.（2021∙湖南省名校联考联合体模拟）2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉

驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量

监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值

见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散

点图”见图.

驾驶行为类别阈值(mg∕100mL)

饮酒驾车[20,80)

醉酒驾车[80,+oo)

40sin-x+13,O≤Λ<2

且如图所示的函数模型为/(x)=JU).假设该人喝一瓶啤酒后至少经过

9O∙e^o"+14,x≥2

小时才可以驾车，则〃的值为.(参考数据：In15B2.71,In30a3.40)

【答案】6

【解析】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20,所以

(∖n≥2

∖n≥2

有。。产.*］4"C'解得〃gJ'解得”>21nl5≈2χ2∙71=5.42∙

Vv∙c十1<ZA)e<—

15

因为weN*,所以〃的最小值为6.

18.(2021湖南省部分地区模拟)已知函数”X)=优3>0且αfl)的图像过点A(-3,8).

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若函数/(x)在区间［见2句上的最大值是最小值的4倍，求实数加的值.

【解】(1)因为函数)(x)=α"(">0且α≠l)的图像过点A(-3,8),

所以qτ=8,解得“=所以f(χ)=g)

(2)由(1)知=,所以函数为递减函数.

故函数f(x)在区间［加,2向上的最大值，最小值分别为(；/，出:

所唱Tr即弟R成哂二解得金•

4"+/Ti

19.(2021.内蒙古包头模拟)已知函数y(x)="Γ-是奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)设g(x)=2∙v+∣-α,若函数y(x)与g(x)的图象有公共点，求实数〃的取值范围.

解(l)∙<Λx)为奇函数，.∙√(0)=0,得，"=一

经检验当初=—1时，式工)为奇函数，，"?=-1.

4*—1*—ɪ1

(2)令下一=2一”，令r=2',.∙.r>0,：.—j~^2t-a,即a=f+7,

.∙.方程α=r+:有正实数根，

∙.∙r+)>2,当且仅当f=l时取等号.二壮2.

即实数”的取值范围是［2,+∞).

20.(2021•山东师大附中月考)已知定义在R上的函数兀c)=2jt—表

3.,

(1)若Kr)=I求X的值；

⑵若2次2。+,班/巨0对任意r∈［l,2］恒成立，求实数m的取值范围.

解⑴当x<0时，段)=0,故段)=,无解：

当定0时，yu)=2、一?，

由2Λ-*=∣,得2∙2--3∙2*-2=0,

将上式看成关于2,的一元二次方程，

解得2JC=2或2*=—

因为2'>0,所以2*=2,所以x=l.

(2)当r∈［l,2］时，2(22'—=)+相(2'—吉卜()，

即机(2力一1巨一(24-1),因为22一1>0,

所以小≥一(22,+l),

又y=-2”—1,r∈［l,2］为减函数，

∙'∙>>maχ—-22—1=-5,故，佗一5.

21.(2021•湖南省长郡中学检测)下列函数中，与函数y=2'-2-x的定义域、单调性与奇偶性

均一致的是()

Aj=SinXB.y=x3Dj=Iog以

答案B

解析y=2'-2r是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.y=sinX不是单调递增函数,

∩γ

不符合题意；γ=ʌ是非奇非偶函数，不符合题意；y=log2x的定义域是（0,+8）,不符

∖2√

合题意；y=d是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意.故选B.

22.（2021.四川省成都模拟）不论。为何值，函数y=（α—1）2，一为亘过定点，则这个定点的坐标

是（）

A.（l,-∣）B.（l,C.（-l,-∣）D（-1,0

答案C

解析产3—1）2，一援变为（2,—»—（2，+》）=0,依题意，对fleR,（2"一/一（2*+y）=0

恒成立,则2,得=0,且2叶），=0,

；.x=—1且y=—看即恒过定点（一1，一，.故选C.

23.（2021•山东省蒲泽市模拟）写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_________

①当玉々2。时，/(x,+x2)=∕(x,)∕(j⅞);②/(x)为偶函数

【答案】/（x）=αw（α>0,4wl）（答案不唯一）

【解析】若满足①对任意的冷々≥0有/（%+々）=/（芭）/（々）成立,

则对应的函数为指数函数），=〃"的形式;

若满足②f（x）为偶函数，只需要将X加绝对值即可,

所以满足①②两个条件的函数可以是：