【高考大赢家·过关】重难题型必考卷（押题卷）（解析版）

绝密★启用前【高考冲刺满分】2022年高考数学名师押题预测全真模拟卷（全国乙卷）理科数学【高考大赢家·过关】重难题型必考卷（押题卷）（试卷满分：150分，考试用时：120分钟）一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以及，再求即可.【详解】解：由题意知：，，故.故选：D.2．已知集合A满足，若是偶函数，则中的元素（

）A．仅有一个 B．最多有2个 C．最多有3个 D．有无数多个【答案】B【分析】结合偶函数的知识求得，从而确定正确答案.【详解】解：依题意，所以是非空集合，因为是偶函数，所以.对于，，对于，当时，，而是和的一个公共点，所以当或或时，是偶函数.所以中的元素最多有2个.故选：B3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，为边上的中线，，且，则的面积为(

)A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由根据正弦定理边化角即可求出B，利用余弦定理可得a、c的一个方程，再利用三角形中线向量定理即可得第2个关于a、c的方程，联立两个方程求出ac，根据三角形面积公式即可求解三角形面积．【详解】解：∵，由正弦定理得：，∴，又，∴，又，∴，∵B是三角形内角，∴，由余弦定理得：，又，∴，即，解得，∴，故选：C．4．数列满足，且，若，则n的最小值为（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求出的通项公式，判断出从第2项起为递减数列，求出的值，即可判断.【详解】解：数列满足，所以.所以为等差数列，公差d=1.因为所以，所以.因为，所以从第2项起为递减数列.因为……所以n的最小值为4.故选：B5．已知，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算法化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第二象限；故选：B6．已知椭圆上有一动点M（异于顶点），点P，Q分别在x，y轴上，使得M为PQ的中点.若x轴上一点R满足，则（

）A．无最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值C．无最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值【答案】A【分析】设，求出的坐标，计算，由对称性不妨设在第一象限，并设，这样换元后利用函数的单调性判断最值情况．【详解】解：在椭圆，设，且且且，又点P，Q分别在x，y轴上，使得M为PQ的中点，则，，，设，所以，，所以，由对称性，只要讨论点在第一象限即可，即不妨设，，设，，，在上是减函数，因此在上无最大值也无最小值．即无最大值也无最小值．故选：A．7．已知执行如图所示的程序框图，输出的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据已知输入数据，结合条件语句的执行逻辑确定输出结果.【详解】解：由题设，，所以，则，故输出.故选：A8．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，，，且米，为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（

）A．4米 B．8米 C．16米 D．24米【答案】C【分析】利用三角形的相似，标语牌间距可求出，利用间距和为81，即可得出结论．【详解】解：设，利用三角形相似，可知，,解得，，解得，，解得，，解得，所以，解得，故选：C9．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装相同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】分小明和小李两人一组，小明和小李再加1人三人一组，两种情况讨论，从而可得出答案.【详解】解：若小明和小李两人一组，则有种分配方法，若小明和小李再加1人三人一组，则有种分配方法，故不同的分配方案种数为种.故选：A.10．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线可得渐近线方程为，对于与双曲线无交点只需或，即可得，进而求离心率的范围.【详解】由题设，双曲线渐近线方程为，要使直线与双曲线无交点，则，即，而.故选：C11．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何正视图体的表面积（单位：）是（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】B【分析】先由三视图复原出几何体，再计算表面积即可.【详解】解：由三视图可知该几何体为两个长方体拼接在一起，如图所示：故表面积为：.故选：B.12．已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】显然是函数的零点，时，由得，然后作出函数的图象，转化为与有4个交点，结合函数图像可求．【详解】解：显然是函数的零点，时，由得，其大致图像如图所示，，（2），（3），结合图像可得，当或时，与有4个交点，即方程有5个不等实根．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．【答案】4或10##10或4【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.【详解】解：∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.当时，，y＝sinx图像如图：要使在区间上有最小值无最大值，则：或，此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.14．如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为___________.【答案】【分析】以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，利用三角函数关系表示，，的坐标，由题干条件分析可知为的中点，为的中点，即可得到，的坐标，进而得到与，整理可得为关于的函数，利用正弦型函数的性质即可求得最大值.【详解】解：如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，则，，在中，，，所以设，，，即.由题意可知为的中点，为的中点，所以，，所以，，所以（其中，为锐角），所以的最大值为，此时，即，故答案为：【点睛】题目中给出垂直关系，可利用坐标法处理此题，设，点坐标即可用关于的三角函数关系表示，则将问题整理为关于的正弦型函数求最大值问题.15．已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．【答案】①③【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明；对于②：取特殊值：，否定结论；对于③：直接表示出点与原点连线的斜率为，并判断.【详解】解：函数的定义域为.对于①：因为，所以是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函数，可得②错误；对于③：当时，点与原点连线的斜率为.因为，所以，所以，所以.故③正确；所以正确结论的序号为①③．故答案为：①③16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①D1O⊥AC；②存在一点P，D1O∥B1P；③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是_________________.【答案】①③【分析】对于①，连接，由三角形为等边三角形判读；对于②，将D1O进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足D1O∥B1P；对于③，连接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：.对于④，P到直线D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置即可.【详解】解：对于①，连接，由正方体的性质知三角形为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，①正确；对于②，将D1O进行平移到过B1点，使之与B1P具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足平行或重合于B1P，所以D1O不可能平行于，②错误；对于③，取B1B的中点E，连接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：.所以③正确.对于④，P到直线D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置为直线的垂直平分线，故④错误.故正确的序号是:①③.故答案为:①③.三、解答题：本题共7小题，共70分。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选答题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本题满分12分）我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．①求p；②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．【答案】(1)①，②；(2)证明见解析【分析】（1）①由题意可知两道生产工序互不影响，利用对立事件可求；②依题意可利用条件概率公式求抽检的一个芯片是合格品的概率；（2）依题意可知，求导后利用导数研究的单调性，即可证明结论成立.【详解】解：(1)①因为两道生产工序互不影响，法一：所以．法二：所以．答：该款芯片的次品率为；②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，且．则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率：．答：人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为；(2)因为各个芯片的生产互不影响，所以，所．令，得，所以当时，为单调增函数；当时，为单调减函数，所以，当时，取得最大值．18．（本题满分12分）在四棱锥中，AC，BC，CD两两垂直，AC＝BC＝BE＝1，CD＝2，BE//CD．(1)求证：平面ACE⊥平面ADE；(2)求直线BD与平面ACE所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先证明出AC⊥DE，DE⊥CE，由线面垂直的判定定理证明出DE⊥平面ACE，再用面面垂直的判定定理即可证明平面ACE⊥平面ADE．（2）因为AC，BC，CD两两垂直，以点C为原点，直线CA，CB，CD分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，用向量法求解.【详解】解：(1)因为AC，BC，CD两两垂直，，面BCDE，面BCDE，所以AC⊥平面BCDE.因为平面BCDE，所以AC⊥DE.在直角梯形BCDE中，连结CE.由且BC＝BE＝1，CD＝2，可得，，所以DE⊥CE.因为，面ACE，面ACE，所以DE⊥平面ACE.因为平面ADE，所以平面ACE⊥平面ADE．(2)因为AC，BC，CD两两垂直，以点C为原点，直线CA，CB，CD分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则，，，，，所以，，，设平面ACE的法向量为，则有，得，取z＝1，得，设直线BD与平面ACE所成角为，则．所以直线BD与平面ACE所成角的正弦值为．19．（本题满分12分）已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式：(2)设，求数列的最大项．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先令，求出，然后利用，代入便可求的通项公式.（2）求导后分析单调性，便可知数列的最值.【详解】(1)解：由题意得：当时，当时，，解得故数列的通项公式(2)由（1）可知：设函数则令，解得，可知当时，，单调递增；当时，，单调递减；可以看成函数取正整数时的离散的点.因为为整数，故或，有为数列的最大值.故数列的最大项为：20．（本题满分12分）已知．(1)若的图象在x＝0处的切线过点，求a的值；(2)若，，求证：．【答案】(1)a＝1；(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，利用可得值；（2）用分析法，不等式变形化为同构式，引入函数，由导数确定其单调性后，只要证明，时，即，即，时，再引入函数，又由导数得其单调性，从而得结论成立．【详解】解：(1)因为，所以，所以，，因为的图象在x＝0处的切线过点，所以，即a＝1．(2)要证，即证，即证，因为，，所以，，设，则可化为，因为，在上是减函数，所以问题转化为，时，即，即，时，设，因为，则在上是增函数，所以，所以在上是增函数，所以，所以，时，即，时．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．证明不等式的方法是分析法，即对不等式进行变形，寻找不等式成立的条件，难点是首先对不等式同构变形后引入函数，利用函数的单调性再化简不等式，然后取对数后再引入新函数，确定单调性，利用函数的单调性得出证明．考查了学生逻辑思维能力，创新意识，属于难题．21．（本题满分12分）已知椭圆的左顶点为，圆与椭圆交于两点、，点为圆与轴的一个交点，且点在椭圆内，如图所示.(1)若直线与的斜率之积，求椭圆的离心率；(2)若，直线与直线交于点，求椭圆和圆的方程.【答案】(1)；(2)椭圆方程为，圆的方程为.【分析】（1）设点，则，可得出，利用斜率公式结合已知条件可得出，即可求得椭圆的离心率；（2）由（1）知，可设直线，则直线，根据已知条件可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求得点的坐标，再将点的坐标代入圆的方程，可求得、的值，即可得出椭圆和圆的方程.【详解】(1)解：设点，则，因为点、在椭圆上，所以，所以，，由，又，得，所以，，则，所以椭圆的离心率.(2)解：因为，由（1）知，设直线，则直线，因为直线与直线的交点为点，则，，因为点为圆与轴的一个交点，则，，所以，可得，①联立可得，因为直线与椭圆相交于和，所以，即，所以，所以.因为在圆上，所以，由①式知，所以②，将①式代入②式得：，，所求椭圆方程为，圆的方程为.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过