数学-3.1 多项式的因式分解（讲解课件）-【】2022-2023学年七年级下册初一数学同步备课（湘教版）

3.1多项式的因式分解第3章因式分解问题16等于2乘哪个整数？6＝2×3问题2

x2－1等于

x+1乘哪个多项式？回顾与思考1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=

；

(2)(x+1)(x－1)=

；(3)(a+b)2=

.ma+mb+mcx2－1a2+2ab+b2因式分解合作探究2.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=

()()(2)x2－

1=()()

(3)a2+2ab+b2=()2ma+b+cx+

1x-

1a+b都是多项式化为几个整式的积的形式比一比，这些式子有什么共同点？

对于整数6与2，有整数3使得6

＝

2×3，我们把

2

叫做

6

的一个因数．同理，3

也是

6

的一个因数．

对于多项式

x2

-

1

与

x

+

1，有多项式

x

-

1

使得

x2

-

1=(x

+

1)(x

-

1)，我们把

x

+

1

叫做

x2

-

1

的一个因式．同理，x

-

1

也是x2

-

1的一个因式．定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解(也叫做把这个多项式分解因式).概念学习一般地，对于两个多项式f

与g，如果有多项式h

使得f=gh，那么我们把g

叫做f的一个因式，此时，h

也是

f

的一个因式．单项式可看作只有一项的多项式↗x2－1(x+1)(x－1)因式分解整式乘法x2－1=(x+1)(x－1)因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互逆的变形，即典例精析例1

下列从左到右的变形中是因式分解的有(

)①x2－

y2－1＝(x＋

y)(x－

y)－1；②x3＋

x＝

x(x2＋1)；③(x－

y)2＝

x2－2xy＋

y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1

个B．2

个C．3

个D．4

个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．x2+x=x2(1+)在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有

；不是因式分解的，请说明为什么.

①

②

③④

⑤

⑥

③⑥辨一辨：am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x

·8xyx2－

1=(x+1)(x－

1)(2x+1)2=4x2+4x+12x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算因式分解的对象是多项式是整式乘法每个因式必须是整式

万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此，砖是基本建筑块之一.在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，这样的正整数称为质数或素数，素数就是正整数中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式．①②有了①式和②式，就容易求出

12和

30的最大公因数为进而很容易把分数约分：分子与分母同除以6，得例如同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．例1检验下列因式分解是否正确？(1)x2y－xy2=xy(x－y)；(2)2x2－1=(2x+1)(2x－1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).用什么方法检验因式分解是否正确呢？分析：看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.解：(1)因为

xy(x－

y)=x2y－

xy2，所以因式分解

x2y－

xy2=xy(x－

y)正确.(2)因为(2x+1)(2x－

1)=4x2－

1，所以因式分解2x2－1=(2x+1)(2x－1)错误.(3)因为(x+1)(x+2)=x2+3x+2，所以因式分解

x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确.判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩A.x(a﹣b)=ax﹣bx

B.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2C.y2﹣2=(y+1)(y﹣1)

D.ax+bx+c=x(a+b)+cE.2a3b

=

a2•2ab

F.x

+

3

=

x

(1+)××××××提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)必须是等式；(2)左边是至少含两项的多项式；(3)右边是整式的乘积的形式.例2

若多项式

x2+ax+b分解因式的结果为

a(x﹣2)(x+3)，求

a，b的值.解：因为

x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)，即

x2+ax+b=ax2+ax﹣6a，所以

a=1，b=﹣6a=﹣6，典例精析方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较，使其分别相等即可.

下列多项式中，分解因式的结果为﹣(x+y)(x﹣y)的是（） A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2

C．x2

+y2

D．﹣x2﹣y2B练一练x2﹣y29﹣25x2x2+2x+1xy﹣y2(x+1)2y(x﹣

y)(3﹣5x)(3+5x)(x+y)(x﹣y)1.连线：2.根据整式乘法的经验把下列多项式因式分解：

；

3.求4，6，14的最大公因数.4=1×2×2，6=1×2×3，14=1×2×7，最大公因数是2.解：4.判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解：(1)x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y)(2)2x(x﹣3y)=2x2﹣6xy(3)(5a﹣1)2=25a2﹣10a+1(4)x2+4x+4=(x+2)2(5)2πR+2πr=2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解5.若多项式

x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求

mn的值.解：因为

x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，所以可设

x4+mx3+nx﹣16=(x﹣1)(x﹣2)(x2+ax+b).则

x4+mx3+nx﹣16=x4+(a﹣3)x3+(b﹣3a+2)x2+(2a﹣3b)x+2b.比较系数得a﹣3=m，b﹣3a+2=0，2a﹣3b=n，2b=﹣16.解得

b=﹣8，a=﹣2，m=﹣5，n=20.所以

mn=﹣5×20=﹣100．6.甲、乙两个同学分解因式

x2+ax+b时，甲看错了

b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了

a，分解结果为(x+1)(x+9)，求

a+b的值.解：分解因式甲看错了

b，但

a是正确的，

其分解结果为

x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，

所以

a=6.

同理，乙看错了

a，但

b是正确的，

分解结果为

x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，

所以

b=9.