数学-专项17.5勾股定理与折叠问题专项提升训练（重难点培优30题）-【】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（带答案）【人教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题17.5勾股定理与折叠问题专项提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=8，△ABF的面积为24，则EC等于（

）A．3 B．103 C．5 D．【答案】A【分析】根据折叠的性质，得AD=AF，FE=ED；根据S△ABF=12×AB×BF=24，解出BF，可得AF【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=DC=8，AD=BC，∵△AFE是△ADE沿折痕AE折叠得到的，∴AD=AF，FE=ED，∵S△ABF∴BF=6，∴在直角三角形△ABF中，AB∴82∴AF=10，∴BC=AD=AF=10，FC=4，设CE=x，∴DE=EF=8−x，∴在直角三角形△EFC，CE∴x2∴x=3，∴CE=3．故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用．2．（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为（）A．103 B．3 C．5 D．【答案】A【分析】根据勾股定理即可求出BD的长，设A'E=x，则BE=12−x，在Rt△A'EB中根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴BD=12根据折叠可得：AD=A'D=5，∴A'B=13−5=8，设AE=x，则A'E=x，BE=12−x，在Rt△A'EB中：(12−x)2解得：x=10故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．3．（2022春·河南郑州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（

A．152 B．254 C．4【答案】B【分析】先利用勾股定理求得AC的长，再设AE=x，再根据图形翻折变换的性质得出BE=x，CE=8−x，再根据勾股定理求出x的值．【详解】解：设AE=x，则CE=8−x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴BE=x，在RtΔBCE中，BE解得x=25故选：B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键．4．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（

）A．3 B．103 C．154【答案】B【分析】设CD=x，则BD=12−x，根据折叠可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根据勾股定理求出AB=13，得出BE=8，在Rt△BDE中，根据勾股定理列出x【详解】解：设CD=x，则BD=12−x，根据折叠可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根据勾股定理可知，AB=A则BE=AB−AE=13−5=8，在Rt△BDE中，根据勾股定理可得，B即12−x2解得：x=10故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是根据勾股定理列出关于x的方程．5．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】由CE=1，AC=4，得AE=3，由折叠得DE=AE=3，根据勾股定理得CD的长，据此求解可判断①正确；因为BD=4−22，CE=1，所以BD>CE，可判断②正确；由∠EDF=∠A=∠B=45°，得2∠EDF=90°，再推导出∠CDE=135°−∠BDF，则∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，据此求解可判断③正确；根据勾股定理求得AB【详解】解：∵CE=1，∴AE=AC−CE=3，由折叠得DE=AE=3，∵AC=BC=4，∴CD=D∴2CD=∴BC=2∵BD=4−22，CE=1∴BD>CE，故②正确；∵∠EDF=∠A=∠B=45°，∴2∠EDF=90°，∵∠CDE=180°−∠EDF−∠BDF=135°−∠BDF，∠DFB=180°−∠B−∠BDF=135°−∠BDF，∴∠CDE=∠DFB，∴∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，∴∠CED+∠DFB=2∠EDF，故③正确；∵AB=AC2∴BF+DF+BD=BF+AF+BD=AB+BD=42∵CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=22∴CD+DE+CE=BF+DF+BD，∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确，综上，①②③④均正确，故选：D．【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，根据勾股定理求得CD=22、AB=46．（2022春·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】在等腰Rt△ABC中，可得AC=4=BC，即AB=AC2+BC2=42，由折叠可得，DE=AE=3，即CD=DE2−CE2=22，则有BD=BC−DC=4−22＞1，可判断①正确；根据BC=4，【详解】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4∴∠A=∠B=45°，AC=4=BC，∴AB=A∵CE=1，∴AE=AC−CE=3，即由折叠可得，DE=AE=3，∴在Rt△CDE中，CD=∴BD=BC−DC=4−22∴BD>CE，故①正确；∵BC=4，CD=22∴BC=4，2CD=4∴BC=2CD，故∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=42∵△DCE的周长为：CE+DE+CD=1+3+22由折叠可得，DF=AF，∴△BDF的周长为：DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=42∴△DCE与△BDF的周长相等，故③正确；即正确的有三个，故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．还考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识，掌握折叠的性质以及勾股定理是解答本题的关键．7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把ΔABD沿着直线AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面积为154，则A．13 B．10 C．7 D．5【答案】B【分析】利用折叠和中线的性质，得到ΔABD的面积，利用勾股定理求出BF，利用三角形的面积公式求出AD，进而求出DF，再利用勾股定理求出BD【详解】解：∵DG=EG,∴AG为ΔAEG∴S△ADE∵翻折，∴S△ADB=S∴∠AFD=∠BFD=90°，∵AF=4,AB=5，∴BF=A∵S△ADB∴AD=5，∴DF=AD−AF=5−4=1，∴BD=B故选B．【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质以及三角形的中线平分面积，以及勾股定理是解题的关键．8．（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是(

)A．2 B．83 C．3 D．【答案】B【分析】纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【详解】解：纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，如图所示，∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．∴AB=A由折叠的性质得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝6－x，在Rt△DEA中，AE∴22解得：x＝83∴CD＝83即点D到顶点C的距离是83故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．9．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（

）A．185 B．165 C．125【答案】A【分析】连接BF，由翻折变换可知BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可得12×AB×BE=12×AE×BH，据此可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，在Rt【详解】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE=A∵12∴BH=12则BF=245∴FE=BE=EC，∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，而∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°，∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=90°，∴CF=6故选：A．【点睛】本题考查的是矩形与折叠，勾股定理，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则DF的长为（

）A．3911 B．4513 C．175【答案】C【分析】根据折叠的性质与矩形的性质得到DC=DE=4，CP=EP，∠E=∠C=90°，再由三角形全等的判定定理与性质可得OE=OB，EF=BP，从而有BF=EP=CP，设BF=EP=CP=x，可得用x表示的AF、DF的长，再有勾股定理求得x的值从而得到DF的长．【详解】解：由矩形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质，得：DC=DE=4，CP=EP，∠E=∠C=90°，在△OEF、△OBP中，∠EOF=∠BOP∠E=∠B∴△OEF≌△OBP∴OE=OB、EF=BP，∴BF=EP=CP设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=EF=3-x，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在Rt△ADF中，AF即（4−x∴x=12∴DF=x+1=【点睛】本题考查了矩形得性质，折叠的性质，三角形的判定定理与性质，勾股定理等性质，利用三角形全等的判定定理与性质与线段的和差求出BF=EP=CP是关键．二、填空题11．（2022春·江苏南京·八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在AD上连接AF，则AE=______．【答案】53##【分析】由折叠的性质，可知EF=AE，BF=AB=5，在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=BF2−BC2=4，即可知DF=CD−CD=1，设AE=EF=x，则【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=5,BC=3，∴∠A=∠D=∠C=90°，CD=AB=5，AD=BC=3，由折叠的性质，可知EF=AE，BF=AB=5，∴在Rt△BCF中，由勾股定理可得CF=∴DF=CD−CD=5−4=1，设AE=EF=x，则DE=AD−AE=3−x，∴在Rt△DEF中，由勾股定理可得D即12解得x=5∴AE=5故答案为：53【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．12．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上F处，折痕交于点E，已知AB=8，AD=10，则DE=___________．【答案】5【分析】先根据长方形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC−BF=4，设CE=x，则DE=EF=8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+4【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠B=∠C=∠D=90°，由折叠可知，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF=A∴CF=BC−BF=10−6=4，设CE=x，则DE=EF=8−x，在Rt△ECF中，∵CE∴x解得x=3，即DE=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解决问题的关键．13．（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△A【答案】2【分析】假设△AD′B为直角三角形，可得Rt△BCE，设DE=x，则【详解】解：如图所示，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，AD=BC=6，AB=CD=10∵∠D=∠AD∴点E，D′，B在同一条直线上，则有Rt△AD∴设DE=x，则D′E=x，∴BD′=∴BE2=CE2故答案为：2．【点睛】本题主要考察长方形的性质与直角三角形的勾股定理得综合，掌握长方形的性质，勾股定理是解题的关键．14．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD的边CD上有一点E，连接AE，将长方形纸片沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=6，AD=10，则EC的长为________．【答案】8【分析】由折叠可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x,则DE=EF=6−x.在Rt△ECF【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°由折叠可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x,则DE=EF=6−x,在Rt△ABF中BF=∴CF=BC−BF=10−8=2，在Rt△ECF中，E∴6−x2∴x=8∴EC=8故答案为：83【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．15．（2022春·山西运城·八年级统考期中）如图，一张长方形纸片ABCD，AB=4，AD=6．先对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，再将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上时，则BM【答案】16−4【分析】根据对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，求得AF，根据将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上，得到AB=AB′=4，BM=B【详解】解：在长方形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，BC=AD=6，∵对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，∴AF=12AD=3，BE=12∴∠BAF=∠B=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，∴EF=AB=4，∵将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF∴AB=AB′=4在Rt△AB'即42∴B∴B在Rt△MEB'即B′∴B∴BM=B故答案为：16−47【点睛】本题考查矩形的判定及其性质，折叠性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握图形折叠的性质求得相等的量．16．（2022春·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF【答案】7【分析】先求出AC，再由翻折可得∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，从而可证∠FEC=90°，设AF=EF=x，则CF=AC−AF=8−x，用勾股定理即可得答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A由翻折可知：∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，∵∠A+∠B=90°，∴∠DEF+∠DEC=90°，即∠FEC=90°，∴EF设AF=EF=x，则CF=AC−AF=8−x，∴x2解得x=7∴AF=7故答案为：74【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明∠FEC=90°，从而用勾股定理解决问题．17．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=7，BC=23，点D为BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△AED，连接BE．若BE=DE，S△ACD【答案】31【分析】根据折叠的性质得到△ABD≌△AED，可得BD=DE，∠BDA=∠EDA，S△ABD=S△AED，根据等边三角形的判定和性质得∠BDA=∠EDA=12∠EDB=30°，根据S【详解】解：如图，过点A作AH⊥CB交CB得延长线于点H，∵将△ABD沿AD翻折，得到△AED，∴△ABD≌△AED，∴BD=DE，∵BE=DE，∴BE=DE=DB，∴△EDB时等边三角形，∴∠EDB=60°，∴∠BDA=∠EDA=1∵S△ACD=S∴S△ACD=S∴CD=DB，∵BC=CD+DB=23∴CD=DB=3设BH=x，则DH=DB+BH=3∵∠BDA=30°，∴AH=3在Rt△ABH中，由勾股定理得，B∴x2解得x1∴BH=3∴CH=CB+BH=23在Rt△CHA中，由勾股定理得，C∴33∴AC=3故答案为：31．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、一元二次方程的应用、含30°得直角三角形的性质和勾股定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在【答案】0，【分析】由A0，4、B6，0，A′是OB边的中点，可得OA′【详解】解：∵A0，4∴OA=4，OB=6，∵A′是OB∴OA∵ΔACD折叠得到Δ∴AC=A′C设C点坐标为(0，OC=m，∴AC=OA−OC=4−m，在RtΔm2解得：m=7故答案为：0，【点睛】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程．19．（2022春·广东深圳·八年级深圳市罗湖中学统考期中）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若点A在C'D'【答案】5【分析】根据翻折的性质可知BC′=BC=8，C′D′=AB=10，∠C′=∠D′=∠DAB=90°，在Rt【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，∴根据翻折的性质可得：BC′=BC=8，C在Rt△AC'∴AD在Rt△AD'E中，设由勾股定理可得：AD即4解得：x=5，即AE=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理及其应用，熟练掌握矩形的性质和勾股定理等是解题的关键．20．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边【答案】2或2【分析】分两种情形：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当∠【详解】解：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C在Rt△ACM中，∵∠A=45°，AC=2∴AM=CM=2在Rt△BCM中，∵∠B=30°，CM=∴BM=3∴AB=AM+BM=2如图2中，当∠MPB=90°由翻折可知，AM=PM，在Rt△PMB中，∵∠B=30°∴BM=2PM=2AM，∴3AM=AB，∴AM=2综上所述，满足条件的AM的值为2或2+故答案为：2或2+【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，【答案】15【分析】设BF＝x，由折叠的性质可得AB=CD＝3x，AE=EF=3x−4，根据勾股定理可求出BF、CD的长，再设AD=BC=y，则DF=y，【详解】由折叠的性质可知AE=EF，设BF＝x，则AB=CD＝在Rt△BEF中：BE4解得：8x=3或x=0（舍）∴BF＝设AD=BC=y，则DF=y，CF=y−3，在Rt△DFC中：CD9解得：y=15∴AD的长为15．【点睛】本题主要考查了折叠变换、矩形的性质、勾股定理的运用，合理利用勾股定理转换是解题关键．22．（2019秋·河南漯河·八年级统考期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A（1）试说明B′（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）a，b，c之间的关系是a2【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A′B′E中，由勾股定理可得a【详解】（1）由折叠的性质，得B′F=BF，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，∴∠B∴∠B∴B′∴B′（2）a，b，c之间的关系是a2由（1）知B′得∠A′=∠A=90°，A在△A′B所以A′E2【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．23．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB于点G，F，若GE=GB，(1)试说明△GEF≌△GBP(2)求BF的长【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据折叠的性质可得出DC=DE=4,CP=EP可得出△GEF≌△GBP；（2）根据全等三角形的性质可得出EF=BP,GF=GP，设BF=EP=CP=x，则AF=4−x,BP=3−x=EF,DF=DE−EF=4−3−xRt△ADF中，根据勾股定理，可得到x【详解】（1）解：根据折叠可知：△DCP≌∴DC=DE=4,CP=EP．在△GEF和△GBP中，∠EGF=∠BGPGE=GB∴△GEF≌△GBPASA（2）解：∵△GEF≌△GBP，∴EF=BP,GF=GP，∴BF=EP=CP，设BF=EP=CP=x，则AF=4−x,BP=3−x=EF,DF=DE−EF=4−3−x∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，A∴4−x2∴x=12∴BF=12【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．24．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10．(1)求证：∠BAC+∠ABC=90°；(2)将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，即可得出答案；（2）由折叠知：DA=DB，设CD=x，则AD=BD=8−x，根据勾股定理列出关于x【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2=36，B∴AC∴△ABC为直角三角形，即∠BAC+∠ABC=90°；（2）解：由折叠知：DA=DB，△ACD为直角三角形，在Rt△ACD中，A设CD=x，则AD=BD=8−x代入①式得6化简得36=64−16x，解得：x=7即CD的长为74【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．25．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5(1)如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长．(2)如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．【答案】(1)10(2)AF=1或13【分析】（1）设CE=x，则BE=12−x，根据折叠的性质得出DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，在（2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：设CE=x，则BE=12−x∵∠ACB=90°，AC=5∴BC=12∵△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合∴DE=CE=x，AD=AC=5，∴BD=AB−AD=8在Rt△BDE中，∴8解得x=10∴CE=10（2）解：∵△BCF是等腰三角形，①BC=BF=12，∴AF=AB−BF=13−12=1，②当FB=FC时，如图，∴∠B=∠FCB，又∵∠FCB+∠FCA=90°,∠A+∠B=90°，∴∠A=∠FCA，∴FC=FA，∴FA=FB=1③∵点F为斜边上AB上动点，所以CB=CF不存在，综上所述，AF=1或132【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解题的关键．26．（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′(1)如图1，如果点B′恰好与顶点A重合，求CE(2)如图2，如果点B′恰好落在直角边AC的中点上，求CE【答案】(1)74(2)5516【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长；（2）点B′是直角边AC的中点，可以得到B′C的长度，再利用翻折得到B′E=BE（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8∴AB=根据折叠的性质，∴△ADE≌△BDE∴AE=BE设CE为x，则：AE=BE=8-x在Rt△ACE中：x解得：x=74即CE的长为：74（2）解：∵点B′是直角边AC∴B′C=根据折叠的性质，∴△∴B′E设CE为x，则：B′E=BE在Rt△B'CE中：x解得：x=5516即CE的长为：5516【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=12，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，连接B(1)求线段AE的长(2)判断AE与B′(3)求线段B′【答案】(1)AE=10(2)AE∥B(3)B【分析】（1）由BC=12，点E为BC的中点，得出BE=1（2）由△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，得到BE=B′E，再由点E为BC的中点，得到B′（3）连接BB′交AE于H，由△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，BB′⊥AE，即BH是△ABE的高，再由面积不变，得：AB⋅BE=AE⋅BH，得到【详解】（1）解：∵BC=12，点E为BC的中点，∴BE=1∴AE=AB（2）AE∥B理由如下：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′∴∠AEB=∠AEB′，∵点E为BC的中点，∴BE=CE，∴B∴∠EB而∠BEB∴∠AEB+∠AEB∴2∠AEB=2∠ECB∴∠AEB=∠ECB∴AE∥B（3）连接BB′交AE于由（1）得AE=10，∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′∴BB′⊥AE，即BH∴BH=B由面积不变，得：AB⋅BE=AE⋅BH∴BH=AB⋅BE∴BB由（2）知，AE∥B∴∠BB∴B【点睛】本题考查直角三角形得性质，等腰三角形得判定，两直线平行的判定，平行线的性质，勾股定理等知识点，能够准确识图，并化出辅助线是解题关键．28．（2022春·浙江衢州·八年级统考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′(1)求证：△ADE是直角三角形；(2)当BD为何值时，△ADC′是以【答案】(1)见详解(2)78或【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ABD=∠AB′D,∠CDE=∠C′DE，再根据平角的性质可得（2）根据AD=DC′和AD=AC′两种情况展开讨论，当AD=DC′，设BD=x可得DC=4−x，根据折叠的性质得AD=DC=4−x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD=AC′，可得B′是D【详解】（1）证明：根据题意得∠ABD=∠AB∵∠ABD+∠AB∴2∠AB∴∠AB∴∠ADE=90°，∴△ADE是直角三角形；（2）当AD=DC′时，设得DC=4−x，∵DC∴AD=DC=4−x，在Rt△ABC中A∴9+x∴x=7当AD=AC∵AB∴B′是D∵DC∴DB设BD=x，则DC=4−x，∴DB∵BD=DB∴x=4−x∴x=4∴当BD=78或BD=43时，【点睛】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．29．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．(1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为．(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B′E