数学-专题7 实数中的三个重点类型（带答案）

专题7实数中的三个重点类型（解析版）典例剖析+变式训练类型一无理数的整数部分及小数部分典例1（2022春•西城区校级期中）已知a，b分别是5的整数部分和小数部分．（1）分别写出a，b的值．（2）求3a﹣b2的值．思路引领：（1）估算无理数的大小即可得出答案；（2）把a，b的值代入代数式求值即可．解：（1）∵4＜5＜9，∴2＜5∴a＝2，b=5（2）当a＝2，b=5原式＝3×2﹣（5−2）＝6﹣（5﹣45+＝6﹣9+45＝45−总结提升：本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．变式训练1．（2022秋•金水区期中）我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即2的整数部分是1，小数部分是2−（1）10的小数部分是，5−13的小数部分是（2）若a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b−3思路引领：（1）估算无理数的近似数，减去整数部分，即为小数部分．（2）估算90，3的整数部分，得到a，b代入代数式求值．解：（1）∵3＜10∴整数部分为3，小数部分为10−∵3＜13

∴5−13小数部分为5−13−1＝4故答案为：10−3；4−（2）∵9＜90∴90的整数部分为9，即a＝9；∵1＜3∴3的整数部分为1，小数部分为3−1，即b=a+b−3＝9+（3−1）−＝9+3−1＝9．∵±9=∴a+b−3总结提升：本题考查的是平方根及无理数大小的估算，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键．类型二平方根与立方根的综合运用典例2（2022春•崇义县期中）已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．求：（1）a，b，c的值；（2）a+4b﹣4c的平方根．思路引领：（1）根据平方根和立方根的概念分别计算出a、b、c即可；（2）利用（1）的结论直接求值即可．解：（1）∵a+1的算术平方根是3，∴a+1＝9，∴a＝8；∵﹣27的立方根是b﹣12，∴b﹣12＝﹣3，∴b＝9；

∵c﹣3的平方根是±2，∴c﹣3＝4，∴c＝7；即a，b，c的值分别为8，9，7；（2）由（1）知，a+4b﹣4c＝8+4×9﹣4×7＝16，∴a+4b﹣4c的平方根是±4．总结提升：本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键．典例3（2022春•陇县期末）若一个正数的两个平方根分别是2m和n，n的立方根是﹣2，求﹣n+2m的算术平方根．思路引领：首先根据立方根的性质求出n，再根据平方根的性质，求出m值，代入﹣n+2m，求出这个值的算术平方根即可．解：∵n的立方根是﹣2，∴n＝﹣8，∵一个正数的两个平方根分别是2m和n，可得：2m+n＝0，解得：m＝4，把m＝4，n＝﹣8代入﹣n+2m＝8+8＝16，∴﹣n+2m的算术平方根是4．总结提升：本题考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，解题的关键是利用性质求出m、n值，然后再求﹣n﹣m的算术平方根．变式训练1．（2020秋•秦都区期末）已知某正数的两个平方根是3a﹣14和a+2，b﹣14的立方根为﹣2．求a+b的算术平方根．思路引领：根据平方根的定义，求出a、b的值，再代入求出a+b的值，最后根据算术平方根的定义求出答案即可．解：由题意得，3a﹣14+a+2＝0，b﹣14＝﹣8，解得：a＝3，b＝6，∴a+b＝9，∴a+b的算术平方根是3．

总结提升：本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．2．（2021春•福州期中）已知2x+7y的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求8x﹣2y+10的平方根．思路引领：根据算术平方根、立方根的定义得出2x+7y＝9且5x+y+2＝8，求出x、y的值，再代入求出8x﹣2y+10的值，最后求8x﹣2y+10的平方根即可．解：∵2x+7y的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，∴2x+7y＝9且5x+y+2＝8，解得，x＝1，y＝1，当x＝1，y＝1时，8x﹣2y+10＝8﹣2+10＝16，∴8x﹣2y+10的平方根，就是16的平方根，即±4，答：8x﹣2y+10的平方根为±4．总结提升：本题考查算术平方根、平方根，立方根，理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．3．（2020秋•高州市月考）已知2a﹣1的算术平方根11，a﹣5b+1的立方根﹣2．（1）求a与b的值；（2）求2a﹣b的平方根．思路引领：（1）根据算术平方根、立方根的意义求出a、b的值；（2）求出2a﹣b的值，再求平方根．解：（1）∵2a﹣1的算术平方根11，∴2a﹣1＝11，即a＝6，又∵a﹣5b+1的立方根﹣2，∴a﹣5b+1＝﹣8，解得b＝3，答：a＝6，b＝3；（2）当a＝6，b＝3时，2a﹣b＝2×6﹣3＝9，∵9的平方根为±3，∴2a﹣b的平方根为±3．总结提升：

本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的意义是正确解答的关键．4．（2021春•长寿区期末）若实数m的平方根是4a+21和a﹣6，b的立方根是﹣2，求m+3a+b的算术平方根．思路引领：由b的立方根是﹣2，可求出b得值，再根据实数m的平方根是4a+21和a﹣6，可求出a的值，进而求出m的值，最后计算m+3a+b的值，求其算术平方根即可．解：因为b的立方根是﹣2，所以b＝﹣8，又因为实数m的平方根是4a+21和a﹣6，所以4a+21+a﹣6＝0，解得a＝﹣3，当a＝﹣3时，4a+21＝9，a﹣6＝﹣9，此时m＝81，∴m+3a+b＝81﹣9﹣8＝64，∴m+3a+b的算术平方根是64=总结提升：本题考查立方根、平方根、算术平方根，理解立方根、平方根、算术平方根的意义是解决问题的关键类型三圆在数轴上的滚动问题5．（2022春•宁明县期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1圈，点A到达A'的位置，则点A'表示的数是．思路引领：先求出圆的周长为π，从A滚动向左运动，运动的路程为圆的周长．解：∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长＝π，∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π+1；故答案为：﹣π+1．总结提升：本题考查的是实数与数轴的特点，掌握数轴上点平移的关系是解答此题的关键．6．（2022秋•宁波期中）如图，圆的半径为2π个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A

（1）圆的周长为多少？（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点B重合的点表示的数为多少？（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示—2的点与点B重合，数轴上表示—3的点与点C重合…），那么数轴上表示—2024的点与圆周上哪个点重合？思路引领：（1）利用圆的周长公式计算；（2）滚动一周点B的对应数为2，以后每滚动一周，B点对应的数加4，由此规律即可求解；（3）此题需要寻找规律：每4个数一组，计算2024÷4，可得表示﹣2024的点是第506个循环组的第4个数D重合．解：（1）圆的周长＝2π•2π（2）滚动一周后点B的对应数为2，滚动2周后点B对应的数是2+4＝6；（3）由图可知，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是﹣2，C点对应的数是﹣3，D点对应的数是﹣4，∴每4个数为一个循环组依次循环，∵2024÷4＝506，∴表示﹣2024的点是第506个循环组的第4个数D重合．总结提升：本题考查了实数与数轴，关键在于观察出每4个数为一个循环组依次循环，难点在于找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．专题提优训练1．（2022秋•富平县期末）已知a﹣1的算术平方根是3，b是11的整数部分，求a﹣b的值．思路引领：由已知可得a﹣1＝9，b＝3，进而求出a、b值代入即可．解：∵a﹣1的算术平方根是3，∴a﹣1＝9，∴a＝10，∵b是11的整数部分，∴b＝3，

∴a﹣b＝10﹣3＝7．总结提升：本题考查无理数的大小估算；能够通过已知确定a与b的值是解题的关键．2．（2019秋•沙坪坝区期中）已知a﹣1的平方根是±1，3a+b﹣2的立方根是2，x是13的整数部分，y是13的小数部分，求a+b+2x+y−13思路引领：根据平方根和立方根的定义解答即可．解：∵a﹣1的平方根是±1，∴a﹣1＝1，∴a＝2，∵3a+b﹣2的立方根是2，∴3a+b﹣2＝8，∴b＝4，∵x是13的整数部分，y是13的小数部分，∴x＝3，y=13∴a+b+2x+y−13∴a+b+2x+y−13总结提升：本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．也考查了平方根．3．（2021春•永吉县期中）若8的立方根是a，b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n．（1）求b−27（2）求5a+b﹣m﹣n的立方根．思路引领：（1）根据题意可得a＝2，b＝9，代入b−27（2）根据题意可得m＝25，n＝﹣5，再将（1）中所求a、b的值代入5a+b﹣m﹣n计算，进一步可求立方根．解：（1）由题意可知：a＝2，b＝9．∴±b−（2）由题意可知：m＝25，n＝﹣5．∴35a+b−m−n总结提升：本题考查平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的性质和求法是解题的关键．

4．（2022春•定远县期末）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求ab2思路引领：根据一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程求出a的值；根据b的立方根是﹣2求出b的值；然后求出ab2解：根据题意得：a﹣3+2a+15＝0，解得：a＝﹣4，∵b的立方根是﹣2，∴b＝（﹣2）3＝﹣8，∴ab2∴4的平方根为±2．答：ab2总结提升：本题考查了平方根，立方根的定义，解题时，注意先求ab25．（2022春•铁东区期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来．于是小明用（2−1）来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2又例如：∵4＜7＜∴7的整数部分是2，小数部分为（7−（1）17的整数部分是，小数部分是．（2）5的小数部分为a，13的整数部分为b，则a+b−5（3）已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣思路引领：（1）根据算术平方根的定义估算无理数17的大小即可；（2）估算无理数5，13的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；（3）估算10+3的大小，结合题意得出x、y解：（1）∵16＜17＜∴17的整数部分为4，小数部分为17−故答案为：4，17−

（2）∵2＜5＜3，3∴5的小数部分a=5−2，13的整数部分∴a+b−5=5答：a+b−5（3）∵1＜3∴11＜10+3又∵10+3=x+y，其中x是整数，且0＜∴x＝11，y＝10+3−11∴x﹣y＝11−3+1＝12总结提升：本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提，理解不等式的性质是得出答案的关键．6．（2022春•长垣市期中）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O′点，点O′对应的数是π．思路引领：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长＝π，由此即可确定O′点对应的数．解：因为圆的周长为π•d＝π×1＝π，所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'＝π．故答案为：π．总结提升：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．7．（2022春•郧阳区期中）如图所示，直径为单位1的圆从表示﹣1的点沿着数轴无滑动的向右滚动一周到达A点，则A点表示的数是．思路引领：根据直径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A点，可得圆的周长，根据两点间的距离是大数减小数，可得答案．解：由直径为单位1的圆从数轴上表示﹣1的点沿着数轴无滑动的向右滚动一周到达A点，

得：A点与﹣1之间的距离是π．由两点间的距离是大数减小数，得：A点表示的数是π﹣1，故答案为：π﹣1．总结提升：本题考查了数轴和圆的周长，利用了数轴上两点间的距离是大数减小数．8．（2022秋•邢台期中）如图，有一个半径为12个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数；若点B表示的数是−10，则点B在点A'的思路引领：因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知OA′＝π，再根据数轴的特点及π的值即可解答；比较﹣π与−10解：∵圆的周长为π×2×12∴OA′＝π，故A′点表示的数是﹣π，∵（﹣π）2≈9.8282，（−