数学-2023年中考数学综合压轴题训练-二次函数图象的几何变换

2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数图象的几何变换一、综合题1．如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m的值．2．先将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象与x轴相交于点A和点B．（1）求线段的长；（2）设直线与的图象交于Q点，当的面积为18时，试确定Q点的坐标．3．在平面直角坐标系中，将抛物线：向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线.（1）求新抛物线的表达式；（2）如图，将沿x轴向左平移得到，点的对应点落在平移后的新抛物线上，求点B与其对应点的距离.4．如图，已知二次函数的图象经过点，交轴于点.（1）求的值.（2）延长至点，使得.若将该抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，平移后的抛物线恰好经过A，C两点，已知，，求，的值.5．如图，已知点A（0，4）和点B（3，0）都在抛物线y＝mx2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形ABCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线（）上，且，（1）若，求b，c的值；（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，试求出OB，OC的数量关系；（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过，点A的对应点，当时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中a为常数，点在此抛物线上．（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；（2）设点为抛物线上一点，当时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；（3）已知点为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线向上平移c个单位

的过程中，与线段恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．8．如图，二次函数的图象以为顶点，且过点，与x轴交于A，B两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象沿x轴左右平移，当图象经过原点时，D点随图象移至，求的值．9．抛物线G：与轴交于A、B两点，与交于C（0，-1），且AB=4OC.（1）直接写出抛物线G的解析式：；（2）如图1，点D（-1，m）在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，点M在轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在轴左侧的抛物线G上，若S△CMN=2，求点M的坐标.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点为A（2，），抛线物与y轴交于点B（0，），点C在其对称轴上且位于点A下方，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90°，点A落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段AC的长；（3）将抛物线平移，使其顶点A移到原点O的位置，这时点P落在点D的位置，如果点M在y轴上，且以O，C，D，M为顶点的四边形的面积为8，求点M的坐标．11．如图，在平面角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C.（1）求A点、C点的坐标；（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，连接，，.若四边形的面积为，请求出此时点P的坐标；（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线对称轴交于点D.点E为新抛物线上的一个动点，点为直线上一点，直接写出所有使得以点D，E，F，B为顶点构成的四边形是平行四边形的点E的横坐标，并把求其中一个点E的横坐标的过程写出来.12．如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．

（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0）、B两点，且过点C（0，﹣2）.抛物线W2与抛物线W1关于原点对称，点C在W2上的对应点为C′.（1）求抛物线W1的表达式；（2）写出抛物线W2的表达式；（3）若点P在抛物线W1上，试探究：在抛物线W2上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.14．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为，这个抛物线的2阶变换的表达式为．（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．①二次函数M的函数表达式为．②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标．（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点．（1）求该抛物线的函数表达式为；（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积最大值和点此时的坐标；（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标．16．已知二次函数y＝x2+bx+c+1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的负半轴交于点C．（1）当b＝1时，求c的取值范围；（2）如果以AB为直径的半圆恰好过点C，求c的值；

（3）在（2）的条件下，如果二次函数的对称轴l与x轴、直线BC、直线AC的延长线分别交于点D、E、F，且满足DE＝2EF，求二次函数的表达式．17．如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．P为该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式．（2）将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位长度，点P的对应点为P′，若OP＝OP′，求△OPP′的面积．（3）如图2，连接AP，BP，设△APB的面积为S，当－2≤m≤2时，求S的最大值．18．抛物线y＝ax2+bx﹣6a与x轴交于A，B两点，且A（﹣2，0），抛物线的顶点为P.（1）求点P的坐标；（用只含a的代数式表示）（2）若﹣8≤a≤﹣5，求△ABP面积的最大值；（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2+bx﹣6a位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不动，得到新的函数图象.若直线y＝﹣x+t与新的函数图象至少有3个不同的交点，求t的取值范围.

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵y＝x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝6，∴点B（6，0），C（0，﹣3），∵tan∠OCA＝，∴OA＝2，即A（2，0），将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，解得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）（2）解：如图，由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，∴2（m+1）＝3|﹣m|，解得m＝或m＝．2．【答案】（1）解：由题意可得的解析式为，对于：，令，则，解得：，∴；（2）解：∵直线与的图象交于Q点，∴．∵，，∴，解得：．∵的解析式为，∴，∴．将，代入，即解得：，∴Q点坐标为或．3．【答案】（1）解：由抛物线：知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线的表达式是：，即（2）解：由平移的性质知，点A与点的纵坐标相等，所以将代入抛物线，得，则或（舍去）所以，由平移的性质：，即点B与其对应点的距离为4个单位.4．【答案】（1）解：由知，当时，，故点B坐标为（0，），∵A（2，），∴对称轴为直线x==，∴；（2）解：∵A（2，），B（0，），∴且轴，∵，

∴，∴C（3，）.根据A（2，）和C（3，）确定线段AC的中点坐标为（，），∴根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴直线x=，∴，设平移后的抛物线表达式为，把C（3，）代入，解得：.5．【答案】（1）解：由于抛物线经过A（0，4）和点B（3，0），则有，解得．故m＝，n＝14（2）解：如图，

AB===5，

由（1）得：y=-(x+1)2+，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=AB=5，

∴抛物线向右平移5个单位，

∴y=-(x+1-5)2+=-(x-4)2+.6．【答案】（1）解：把代入，可得，解，可得，；（2）解：由，得．对于，当时，．抛物线的对称轴为直线．所以，，．因为，所以，，；（3）解：由平移前的抛物线，可得，即．因为平移后的对应点为可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．则平移后的抛物线解析式为，即．把代入，得．．，所以．当时，（不合题意，舍去）；当时，，因为，所以．所以，

所以平移后的抛物线解析式为．即顶点为，，设，即．因为，所以当时，p随b的增大而增大．因为，所以当时，p取最大值为，此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为，．7．【答案】（1）解：∵点在此抛物线上．

∴2a-4=16-4（a-1）-2a

解之：a=3，

∴二次函数解析式为：，

∴2a-4=2×3-4=2点A的坐标为（-4，2）.（2）解：∵y=x2+2x-6=（x+1）2-7

∴抛物线的对称轴为直线x=-1

∵−3≤x≤2．

∴当-3≤x≤-1时y随x的增大而减小，

∴当x＝−1时，y最小值＝−7；

∵当x＝−3时，y最大值＝−3；

∵当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x＝2时，y最大值＝2，

∴y最大＝2．

∴点M的纵坐标y的最大值与最小值的差为：y最大−y最小＝2−（−7）＝9．

（3）解：∵

∴PQ∥x轴．

抛物线开口向上，对称轴为直线x＝−1，抛物线顶点坐标为（−1，c−7），

当抛物线顶点落在PQ上时，c−7＝−3，

解之：c＝4，符合题意；

如图，

抛物线经过点Q（2，−3）时

−3＝4＋4−6＋c，

解之：c＝−5，

抛物线经过点P时

−3＝4−4−6＋c，

解之：c＝3，

∴0＜c＜3符合题意，

∴c的取值范围为：0＜c＜3或c＝4

8．【答案】（1）解：∵二次函数的图象顶点为，∴设二次函数的解析式为，把点代入得：，∴抛物线的解析式为．

（2）解：当时，即解得：，，∴点，点，分两种情况：①如图，抛物线向右平移3个单位经过原点，此时，则，可得：，在中，，∴，∴．②如图，抛物线向左平移1个单位经过原点，此时，则，过点C作于点E，由，得在中，，∴，∴．综上所述，的值为或．9．【答案】（1）（2）当时，，即：点D为（）∴直线OD为：设P（），则Q为（），则：∴当时，PQ取得最大值，此时点P位（3）设点，则N∵C点坐标为

∴可设直线CM为，代入M点坐标得：∴直线CM为过点N作轴交CM于点E，则E点为∴∵∴∴解得：，（舍去）∴M10．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+，∵抛线物与y轴交于点B（0，），∴＝a（0﹣2）2+，∴a＝﹣∴物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+（2）解：∵顶点A（2，），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴设AC＝t，则点C（2，﹣t），∵将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90°，点A落在抛物线上的点P处．∴∠ACP＝90°，AC＝PC＝t，∴点P（2+t，﹣t），∵点P在抛物线上，∴﹣t＝﹣（2+t﹣2）2+，∴t1＝0（不合题意舍去），t2＝2，∴线段AC的长为2（3）解：∵AC＝2，P点坐标为（4，），C点坐标为（2，），∵抛物线平移，使其顶点A（2，）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点D，∴D点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，•（m++2）•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；当m＜0时，•（﹣m++2）•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．11．【答案】（1）解：令，则，解得：，，∴A（－1，0），B（3，0），令，则，∴C（0，－3），∴A、C的坐标分别为A（－1，0），C（0，－3）；（2）解：如图，连接OP，

设点P的坐标为（x，），∵点P在第四象限，∴x＞0，＜0，∵四边形的面积为，∴，∴，解得：，，当时，，当时，，∴点P的坐标为（，），（，）；（3）解：∵A（－1，0），C（0，－3），∴AO＝1，CO＝3，∴在中，，∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，∴新抛物线是由原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，∵，∴，∵原抛物线的对称轴为直线，∴将代入，得：，∴点D的坐标为（1，－6），设直线BC的解析式为，将B（3，0），C（0，－3）代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为，∵点E为新抛物线上的一个动点，∴设点E的坐标为（a，），∵点D，E，F，B为顶点构成的四边形是平行四边形，∴如图，当，时，∵直线BF的解析式为，∴设直线DE的解析式为，将D（1，－6）代入，得，解得：，∴直线DE的解析式为，将与联立方程，得，解得：，（与点D重合，不符合题意，舍去），∴此时点E的横坐标为4；如图，当，，且点E在点F的右上方时，

则，，∴，，∴，，∵点为直线上一点，∴，解得：，，∴点E的横坐标为，；如图，当，，且点E在点F的左下方时，则，，∴，，∴，，∵点F为直线上一点，∴，解得：，（与点D重合，不符合题意，舍去），∴点E的横坐标为4，综上所述，符合题意的点E的横坐标为4，，.12．【答案】（1）解：将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：，解得：；∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；（2）解：∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y＝，∴点D的坐标为：（，），将x代入y＝﹣x+4，即y4，∴点E的坐标为：（，），∴DE；设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t，解得：（不合题意舍去），，当t时，，

∴点P的坐标为（，）；（3）解：存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴，∵C（0，4）、E（，），∴CE，由（2）得：DE，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），∴CFt，∴，∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，解得：t，当t时，，∴点P的坐标为：（，）；13．【答案】（1）解：把点A、点C的坐标分别代入y＝x2+bx+c中，得：，∴b＝，c=－2，∴y＝（2）解：∵抛物线w1：y＝＝（x+1）2﹣的顶点是（﹣1，﹣），∴w2的顶点是（1，），∴w2的解析式是：y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+x+2（3）解：存在.由题意知，，则.①若CC′是对角线，如图，∵W1和W2关于原点对称，∴P、Q也关于原点对称，设点P到y轴的距离为h，∵平行四边形的面积=2∴CC′•h＝24，∴4•h＝24，∴h＝6，即P点横坐标是6或﹣6，当x＝6时，y＝×62+×6﹣2＝10，∴Q（﹣6，10），当x＝﹣6时，y＝×（﹣6）2﹣×6﹣2＝4，∴Q（6，﹣4），②当CC′是边时，PQ∥CC′，PQ＝CC′，如图，

设点Q（x，），P（x，），由①知：x＝6或﹣6，当P（6，10）时，∵y＝﹣×62+×6+2＝﹣4，∴Q（6，﹣4），∴PQ＝14≠4，当x＝﹣6时，y＝﹣×（﹣6）2+×（﹣6）+2＝﹣10，∴PQ＝14，∴PQ≠CC′，∴CC′不能为边，综上所述，当C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24时，点Q的坐标是（﹣6，10）或（6，﹣4）.14．【答案】（1）（2，﹣1）；y＝﹣2（x﹣2）2﹣1（2）y＝﹣（x+1）2+1；解：存在，理由：y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，则x＝﹣2或0，故点B（﹣2，0），而点A（﹣1，1），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的函数表达式为：y＝x+2，y6′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6，如下图，过点P作PD⊥AB交于点D，故点P作y轴的平行线交AB于点H，∵直线AB的倾斜角为45°，则DP＝PH，设点P（x，x2﹣2x+6），则点H（x，x+2），DP＝PH＝（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x+4），∵＞0，故DP有最小值，此时x＝，故点P（，）（3）解：抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，则点A（﹣1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2﹣4+m，故点C（1，m﹣4），则AB2＝10，AC2＝4+（m﹣8）2，BC2＝1+（m﹣5）2，当AB＝AC时，10＝4+（m﹣8）2，解得：m＝8；当AB＝BC时，同理可得：m＝8或2，故m的值为：8+或8﹣或8或2．15．【答案】（1）（2）解：点与点关于对称轴直线对称，，，其对称轴直线与轴交于点．，，，，设直线的解析式为，则6k+d=0 d=−4，

解得：k=2直线的解析式为，过点作轴交于点，如图，，则，，，，，，当时，的最大值为，此时点的坐标为；（3）（6，0）或或16．【答案】（1）解：已知二次函数y＝x2+bx+c+1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），当b＝1时，令x2+bx+c+1＝0，则