2023年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）

2023年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合A={x∣x2-X-6≤0）,8=因一4≤%≤α},且2UB={x∣-4≤x≤3},

则实数ɑ的取值范围是（）

A.（—4,—2]B.（-3,-2]C.[—3,3]D.[—2,3]

2.已知向量五，b满足方∙b=-2，IbI=1，则（方—2b）∙b=（）

A.-4B.—2C.0D.4

3.工业生产者出厂价格指数（PP/）反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势

和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响.下图是我国2022年各月PP/

涨跌幅折线图.（注：如图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是

将上月作为基期相比较的增长率）

下列说法中，最贴切的一项为（）

A.2021年PP/逐月减小

B.2022年PP/逐月减小

C.2022年各月PP/同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差

D.2022年上半年各月PP/同比涨跌幅的方差小于下半年各月PP/同比涨跌幅的方差

4.执行右图所示的程序框图，若输入N的值为8,则输出S的rŋɪɔ

值为（）/输入N/

A.-y∕~2S=(U=I

/输IS/

Γ⅛Γ)

5.将4名成都大运会志愿者分配到三个场馆，每名志愿者只分配到1个场馆，每个场馆至少

分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.6种B.24种C.36种D.48种

7.将函数y=sin（2x+今的图象向左平移号个单位长度，所得图象的函数（）

A.在区间生看上单调递减B.在区间㈤与]上单调递减

C.在区间s,2河上单调递增D.在区间尊削上单调递增

8.记%为等差数列｛ajl｝的前般项和，已知的=-9,α2+α4=-10,则Srl的最小值为（）

A.-25B.-35C.-45D.-55

9.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为/,过点F的直线交C于P,Q两点，PH11于H,

若IHFl=IPF。为坐标原点，则APFH与AOFQ的面积之比为（）

A.6B.8C.12D.16

10.在直三棱柱4BC-4BιG中，AB=AC=y∕~3,BC=441=2,点P满足而=m而+

（|-m）CC1,其中me[θ[b则直线AP与平面BCGBI所成角的最大值为（）

A巳D

A6BZC谒∙≡

11.已知函数y=/一0%有两个零点/，X2»函数y=有两个零点外，％3，给出下

列4个结论:

;

(T)x1=Znx2

②Λ⅛=e"2；

(ɜ)ɪl=βχ3;

◎-3=×2∙

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

12.设。为坐标原点，F1,民是双曲线H：三一与=l（ɑ>0,6>0）的左、右焦点.过FI作圆0：

ab

/+y2=炉的一条切线FIT,切点为7,线段FIr交H于点M,若sin4&MF2=*△OMT的面

积为1,则”的方程为（）

A.尤=IB.老一/=1C.x2-^=lD.左_^=1

24221644

二、填空题（本大题共4小题，共20・0分）

13.计算复数急=____.

3+4ι

2%—3y+6≥0,

14.己知X,y满足约束条件∙2x+y+2≥0,则3x-y的最小值为.

.X≤1,

15.已知数列｛arι｝满足αrι+ι=2αn+2,%=1,则a71=.

16.在三棱锥P-ABC中,PA=PC=BA=BC=2,平面PaCJL平面/BC,则三棱锥P-ABC

的外接球表面积的最小值为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化农产品结构，准备引进一条

农产品加工生产线.现对备选的甲、乙两条生产线进行考察，分别在甲、乙两条生产线中各随

机抽取了200件产品，并对每件产品进行评分，得分均在［75,100］内，制成如图所示的频率分

布直方图，其中得分不低于90产品为“优质品”.

频率

频率

0.10组距

lZΛJ6

fx5

85V-f⅛

.OI/ΛJ4

.O3HΛ-3

0.-∕.2

.O1tfH

0.「

I—

0Lv-O

乃8085

甲生产线乙生产线

（1）求在甲生产线所抽取200件产品的评分的均值（同一区间用区间中点值作代表）；

(2)将频率视作概率，用样本估计总体.在甲、乙两条生产线各随机选取2件产品，记“优质品”

件数为6,求f的分布列和数学期望

18.(本小题12.0分)

在△4BC中，角48,C所对的边分别为α,b,c.已知sim4：sinB：sinC=1：√-2:2,b=2.

(1)求C的值；

(2)求CoSA的值;

(3)求sin(24—弱的值.

19.(本小题12.0分)

如图，正方形4BC。的边长为4,P4J_平面4BCD,CQI平面ABCD,PA=CQ=2,M为棱PD

上一点.

(1)是否存在点M,使得直线AM〃平面8PQ?若存在，请指出点M的位置并说明理由；若不存

在，请说明理由；

(2)当4ABM的面积最小时，求二面角B-CM-。的余弦值.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：最+∖=l(a>b>0)的右焦点为尸(√^N,0),短轴长等于焦距.

(1)求C的方程;

(2)过户的直线交C于P,Q,交直线X=2/N于点N,记OP,OQ,ON的斜率分别为心，k2,k3,

若(k1+k2)k3=L求|OP『+|OQ|2的值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=(x-l)ex+ax+2.

(1)若/(x)在区间(0,1)上存在单调递增区间，求a的取值范围;

(2)若x≥0,/(x)≥sinx+cosx,求a的取值范围.

22.(本小题10.0分)

*=一1+ΛΓ2COSΘ,(0为参数).以坐标原点.

在平面直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为

V=1+V2sinθ

为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出C的极坐标方程；

(2)设射线O=兀(p≥0)和射线6：0=5+α(p≥0,0≤α<])与C分别交于A,B两点，求

△40B面积的最大值.

23.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=∣∣x-2∣+∣∣x+l∣+∣x+2.

(1)画出/0)的图象，并写出/(x)≤6的解集；

11T

(2)令/(%)的最小值为F,正数α,b满足α+b=7,证明：西τ+∕7T≥元•

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合力={x∖x2-X-6≤0}={x∣-2≤%≤3},

B={%|一4≤%≤α},且4UB={%∣—4≤%≤3},

—2≤Q≤3,

则实数α的取值范围是1—2,3].

故选：D.

求出集合4B,利用并集定义、不等式性质求解.

本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：五•)=—2,Ibl=1，

•••(a-2b')∙b=a∙b-2b——2—2=—4∙

故选：A.

进行向量数量积的运算即可∙

本题考查了向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：对于4由2022年10月，PP/同比为负可知，2021年10月PP/大于2022年10月PP/,

由2022年10月，PP/环比为正可知，2022年10月PP/大于2022年9月PP/,

由2022年9月，PP/同比为正可知，2022年9月PP/大于2021年9月PP/,

故2021年10月PP/大于2021年9月PP/,PP/逐月减小说法不正确，故选项4错误；

对于C,2022年PP/同比涨跌幅的数据波动幅度明显比环比涨跌幅的数据波动幅度要大，

因此2022年各月PP/同比涨跌幅的方差大于环比涨跌幅的方差，故选项C错误；

对于8,2022年2月、3月等月份，PP/环比均为正，相对于上月有增长，PP/逐月减小说法不正确，

故选项8错误；

对于D,2022年上半年各月PP/同比涨跌幅的数据波动幅度明显比下半年各月PP/同比涨跌幅的数

据波动幅度要小，

因此2022年上半年各月PP/同比涨跌幅的方差小于下半年各月PP/同比涨跌幅的方差，故选项。

正确.

故选：D.

由折线图数据，结合同比与环比概念、方差大小与数据波动情况的关系进行辨析即可.

本题考查统计相关知识，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：若输入N的值为8,则输出S=SinJ+sinj+sin]+si∏7Γ+sin乎+sin今+sin?+

424424

sin2π=^+1+^+0+(-ɪ)+(-1)+(-^)+0=0.

故选：C.

根据程序框图可知S=sin7+sin^+sin+sinπ+sin即+Sin当+sin?+sin2π,再结合正弦

424424

函数的性质求解即可.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是

基础题.

5.【答案】C

【解析】解：将4名志愿者分为3组，每组人数分别为2、1、1,再将这3组志愿者分配给3个场馆，

因此，不同的分配方案种数为盘题=36.

故选：C.

先将4名志愿者分为3组，每组人数分别为2、1、1,再将这3组志愿者分配给3个场馆，利用分步

乘法计数原理可得结果.

本题考查分步乘法计数原理，排列、组合的应用，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：函数的定义域为R,且/(r)=,(T)：+==/(%),

/V〜el-x^,el+xel+x^el-xJvʌ/

则函数/(%)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项8C；

又当X→+8时,/(x)→0,则排除选项D.

故选：A.

由函数的奇偶性排除选项8C,由当X-+8时，/(x)→0,排除选项O,进而得解.

本题考查根据函数性质确定函数图象，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：函数y=sin(2x+》的图象向左平移工个单位长度，

则所得图象为y=sin[2(x+ɪ)+=cos2x,

对于4,X∈[ɪ,ɪ]，

则2x€[τr,3τr],y=cos2x在该区间不单调性，故A错误；

对于B,x∈[π,y],

W∣]2x∈[2π,3π],y=cos2x在该区间上单调递减，故B正确；

同理可得，对于CD,y=cos2x在其对应的区间均不单调，故8错误.

故选：B.

先求出变换后的图象，再结合余弦函数的单调性，即可求解.

本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：设公差为d,则α2+α4=(-9)+d+(-9)+3d=-10,d=2,

22

S71=nX(-9)+×2=n-IOn=(n-5)-25,

所以n=5时，Sn取得最小值-25.

故选:A.

由已知求得公差d,得等差数列前n项和土,结合二次函数知识得最小值.

本题考查等差数列的公式和性质，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：依题意，由PH∙L于H,W∣PH1=∖PF∖=∖HF∖,即4PFH是正三角形，NPFx=乙FPH=

60°,

令P(XI,y)Q(X2，%)，解得%I=6,%2=∣,又准线，：X=-2,

因此IP用=x1+2=8,∣QF∣=X2+2=1,

所以△PFH与4OFQ的面积之比誓也=I*"的""=£=12.

SGOFQ∣∣ρF∣∙∣0F∣sin60o∣×2

故选：C.

根据给定的条件，求出直线PQ的方程，与抛物线方程联立求出∣PF∣,∣QF∣的长即可求解作答.

本题考查了抛物线的性质，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：分别取BC,BlCI中点。，D1,连接。劣，则ODJ/BBi，∙∙.DDi_L平面4BC,

^z^AD,---AB=AC,.-.ADlBC,

分别以DB,DDl所在直线为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系，如图,

y

则由己知得AD=Λ(√^,0,0),B(0,1,0),C(0,-l,0),C1(0,-1,2),

CB=(0,2,0).CC^=(0,0,2)，

-

CP-mCB+(|-m)CC1=(0,2m,3—2τn),~AC=(-√2,-l,0)>

AP=AC+CP=(一，7,2m-1,3-2m)，

平面BCCIBI的一个法向量是元=(1,0,0),

设直线4P与平面BCCIBI所成角为。，则。C[0,今，

sιnθ=∣cos<n,AP>\=',I,=∣=,-

仍J2+(2m-l)2+(3-2τn)2J8(m-l)2+4'

∙∙∙Zn=I时，(Sino)ɑx=¥，即。的最大值为S

X/1f1nVVvʌ>什

故选：B.

分别取BC,BlCl中点。，。1，分别以Zλ4,DB,DDl所在直线为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐

标系，利用向量法能求出直线AP与平面BCClBl所成角的最大值.

本题考查线面角的定义及求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

11.【答案】。

【解析】解：在同一坐标系作出y=e"与y=Ex的图象,

设y=e”在(Tn,ezn)处的切线方程过原点，y,=ex,

则曲线y=e”在(m,ern)处的切线方程为y-em=em(x-τn),

将原点代入切线解得m=1,

故y=e”在(Le)处的切线方程为y=",y=e*-ax有两个零点，贝∣Ja>e,

由于y=靖与y=lnχfy=QX与y=互为反函数，

故y=Inx-二工有两个零点，则Q>β,

a

x2

设函数y=Q%与y=e”图象交点坐标分别为4(无LeX1),B{x2te),

y="与V=仇》图象交点坐标分别为C(X2，1九%2)，D(x3,lnx3),

其中点4、C关于直线y=%对称，B、。关于直线y=%对称，

ɪ

xnxχaxxf

则％ι=lnx2*3=e"2，且与•冷=^2∙e2=-％2∙2=2故①②④正确,

对于③，构造函数/(%)=e"-％-1，其中％>0,则/'(%)=e"-1>0,

所以函数f(%)在(0,+8)上单调递增，则/(χ)=βx-%-1>0,

故当》>0时，ex>X+1,

构造函数g(x)="%-％+1,其中％>0,则g'(%)=3-1=—,

当0<%<l时，此时函数g(x)单调递增；当时，g'(%)vθ,此时函数g(x)单调递减，

故当%>O时，g(%)=Inx-X÷1≤g(l)=0,即X-1≥仇久(当且仅当％=1时，等号成立)，

x2

若%ι=e*3,则％1=e×3>χ3+1,又因为X3=e>X2÷1»可得％3>%2，

所以久1%3>(%3+1)%3=ɪɜ÷x3>x2»与④矛盾，故③错.

故选：D.

在同一坐标系作出y=1与y=Inx的图象,利用反函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.

本题主要考查了反函数的性质，考查了利用导数的几何意义求切线方程，同时考查了利用导数研

究函数的单调性和最值，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：由圆。的方程/+V=∕72知，∖OT∖=bf

又・・・。丁，&7，・・・在直角AOTFi中，IFlTl

2222

√∣0F1∣-∣0T∣=√c-b=a,

且SinN%。=制4

∣07HMrl

在AOMT中，071MT,△OMT的面积SAOMT=

2

∙∙∙∖MT∖=W2.

在^a“尸2中，SinzMF1F2=SinzTFIo=?

∣FF∣_∣MF∣

由正弦定理122

sinzF1MF2sinz.MF1F2'

尸1尸2回询"1尸2_2cxg_5b

ʌ∣MF∣

2sin4∕7ιM尸2-2

•••由双曲线定义,∣MF1∣=∖MF2∖-2a=^--2a,

97

又∙.∙|&7|=a,∖MT∖=p.∙.∣MF11=α-p

5bɔ_2∏∏ɔ_Sb2

即=丁+

ʌ~Z—2Q=QD—3QZDT∙

•••”打。为直角，・•・易知NFIMF2为钝角，

.∙.由SinNFIMF2=飙，CoszF1MF2=一|,

在AFiMFz中，由余弦定理可得：

22

∣F1F2∣=IMFlI2+∣MF2∣-2∣MF1∣∙∣MF2∣∙CoszF1MF2,

∙∙∙4c2=(y-2α)2+第2-2X(当一2α)X竽X

.∙.4α2+4b2=衅——IOab+402++-Gab>

442

整理得/-ab-b(b-Q)=O,・•.b=Q.

又•・,3Q=挈+£,将b=α代入，解得Q=6=2.

ZD

・••双曲线H的方程为：⅞-⅞=l.

44

故选：D.

由双曲线定义，AOMT的面积，直角AOTFi中的锐角三角函数和aF]MF2中的正弦定理、余弦定

理建立o,b,C之间的关系方程，再求解即可.

本题考查双曲线的几何性质，解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，化归转化思想，属中

档题.

13.【答案】1-i

-,⅛7+ι(7+i)(3-4i)25-25i.

r【fe解2析tt】解a：帝!=(3+旬(3—4广/I=11-L

故答案为：1—i.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.y∣/^2x-3v+

14.【答案】一三

2%—3y+6≥0,

【解析】解：根据题意，约束条件2x+y+2≥0,对

•%≤1,

应的平面区域为如图的阴影部分，

设z=3x-y,则y=3x-z,则一Z的几何意义为直

l3x-y=Q\

∖B

线y=3x-Z在y轴上的截距，

设直线2%-3y+6=O和2%+y+2=O的交点为4

t∖*26Λ°,解可得F=+，即4的坐标为

Izx十y十/-UIy=Iz

分析可得：当直线y=3x-z经过点4时，直线y=3x—z在y轴上的截距最大，即-Z最大，Z的值

最小，

此时Z=3×(―1)-1=-y.

故答案为：一号.

根据题意，作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解.

本题考查线性规划的应用，涉及二元一次不等式的几何意义，属于基础题.

15.【答案】3n-2

【解析】解：:数列满足且

｛αn｝α∏+1=2αn+1,c⅛=1,

∙∙∙arl+1+2=2(an+2),

加等=2,又%+2=3,

azt+2

是首项为公比为的等比数列，

(an+2｝3,2

n

：，an+2=3,

n

∙∙an=3—2.

故答案为：3n-2.

由已知条件得从而得到是首项为公比为的等比数列，由此能

a7j+ι+2=2(afl+2),｛an+2｝3,2

求出

an.

本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，

16.【答案】16(。一I)Tr

【解析】解：如图，取AC中点D,连接PD,BD,

由PA=PC=BA=BC=2,贝IJPD1AC,BD1AC,由面PaCIlRiABC,面PACn面ABC=AC,

PoU面PAC,所以P。，面4BC,而BDU面4BC,所以PDlB。，

设乙4PD=0,θ∈(θ,ɪ),=2cosθ,AD=2sinθ,

易知△4BC三A4PC,BD=PD=2cosθ,取△4PC外接圆的圆O11,

易知Oi在直线PD上，设△4PC外接圆半径为r,

由正弦定理r=P01=之X=扁=；X总吟=心，

ɪ2SInZTIPC22sιnθcosθcosθ

同理，取A4BC外接圆的圆心。2，则。2在直线Bn上，BC>2=白，

过。1，。2分别做平面PAC和平面4BC的垂线交于点0,

易证△00^A=Λ00^P=Λ。。IC,△△0。2。，

.・.OP=OA=OB=OCr。为三棱锥P-48C外接球的球心.

①当PD=2cos。≥U=POl时，∣≤cos20<1,COSoe1),Oe(0,引，

O1,。2分别在线段PD,BD±.,易知。Ol=O2D=BD-BO2=2COS。一焉，

设三棱锥P-/BC外接球的半径为R,

则R2=QP2=OPl+POl=SeOSe--ɪ)2+(ɪ)2=4cos2θ+-4,

由基本不等式，R2=4COS2Θ+-4≥24COS2Θ■-4=4√-2-4,

当且仅当4cos2。=岛，即CoS2。=好时，等号成立.

②当PD=2cos。<=PoI时，0<cos2θ<3,cosθ∈θ∈(?>?)>

O1,。2分别在线段PD,Bn的延长线上，如下图所示,

P

C

此时R2=op2—0p2+PQ2=(_1_一2cos')2+(~^)2=4cos2θ+—4,O<cos2Θ<g,

∙∙∙R2>2,且无最小值.综上所述，R2的最小值为磋切=4，7一4,

二三棱锥P—48C的外接球表面积的最小值为Smin=^π^min=16(λ∕^^2—l)π.

故答案为：16(λ∕~∑-l)τr∙

分别过A∕1PC^ΔABC的外心作平面R4C和平面ABC的垂线，则垂线交点为三棱锥外接球的球心,

再利用图形中的几何关系，将外接球半径的平方R2表示为函数关系，求其最值即可.

本题考查外接球的表面积的应用，属中档题.

17.【答案】解：(1)甲生产线抽取200件产品中,评分在[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]

的频率分别为0.05,0.05,0.15,0.50,0.25.

则评分均值为X=77.5X0.05+82.5X0.05+87.5X0.15+92.5X0.50+97.5X0.25=91.75-

•••甲生产线抽取200件产品的评分的均值为91.7(5分).

(2)由频率分布直方图知，甲生产线抽取到“优质品”的频率为0.50+0.25=0.75,

乙生产线抽取到“优质品”的频率为0.06×5+0.04×5=0.5,

将频率视作概率，用样本估计总体.甲、乙生产线抽取到“优质品”的概率分别为

42

在甲、乙两条生产线各随机选取2件产品，记“优质品”件数为f,贝岭=0,1,2,3,4.

则P(f=0)=©X(扔×coχ(1)2=1PG=I)=©*；XqXCo(l)2+ɛoχ(1)2XdX

831122

废

22以Z∖2

=j==XX-X-XXf-l=-

(f2)44vt2√6

644,

24319

废

2622废2

我ΛΓ

XX=i==fXXlx=-

6-4k4-√∖2-√

64

则f的分布列为

01234

111139

P

64832864

故f的数学期望为EX=OX±+1x(+2X葛+3x1+4X言=罂=热

04o□Zo。4o4Z

【解析】(1)用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积(频率)的乘积之和估计均值即可;

(2)由相互独立事件的概率求出f每个取值的概率，再求数学期望即可.

本题考查离散型随机变量的期望等统计知识，属于中档题.

18.【答案】解：(1)∙.F4BC中，sinA：SinB：SinC=1：√-2:2,

∙∙∙a：b：c=1：√~2：2,又b=2,

∙∙∙a=V-2>c=2∖Γ~2<

(2)ΔABC中，由余弦定理可得cos4=左巴包=4+8二3=史三

2bc2×2×2>Γ28

(3)由(2)可得SirL4=Vl-cos2λ=^

O

rΓ-γ9

・•・sin2A=2sinAcosA=-^，cos2A=2cos2A-I=/，

1616

--

.zπ.兀、.„.π„..π5√~719√35√7-9∖Γ3

∙∙∙Sm(24--)=sιn2Acos--cos2Asιn-=-ɪx2~Tβx~~-----32------

【解析】(1)由题意利用正弦定理，求得C的值.

(2)由题意利用余弦定理计算求得结果.

(3)先利用二倍角公式求得24的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得sin(24-今的值.

本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式

的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)当M为PD的中点时满足条件.证明如下：

设。为AC,BD的交点.因为四边形ABC。为正方形，所以。为BD的中点，

故在中，OM为APBD的中位线，即0M〃BP.

又因为P/J■平面ABCD,CQI平面ABCD,所以AP〃CQ,

即四点4,C,P,Q共面，又因为P4=CQ,所以四边形ACQP为平行四边形，

所以4C〃PQ.而AC与。M相交，PQ,BP不在平面AMC内，AC,OM在平面AMC内,

所以PQ〃平面4MC,BP〃平面ZMC,又PQ与BP相交，

且PQ,BP是平面BPQ内的直线，所以平面4CM〃平面BPQ,

又因为AMu平面ACM,所以直线ZM〃平面BPQ.

(2)因为PA_L平面ZBCO,ABu平面ABCD,所以P4_L4B.

因为四边形ABCD为正方形，所以4BJ.4。，故ABI平面24D.

又因为AMU平面PAD,所以4BJ.4M,即△48M为直角三角形.由于SA.BM=gMB∣∙∣4M∣,

故当MMl最小时，SMBM最小，此时AMIPD.因为AD=4,PA=2,PAlAD,

所以AM=二，PM=—<即PM=gPD,由P414B,PALAD,ABVAD,

55ɔ

可以以AB,AD,4P所在直线为％,y,Z轴建立如图所示坐标系，

则4(0,0,0),B(4AO),D(OAO),C(4,4,0),P(OO2),

所以M(OH),所以DC=(4,0,0)=4(l,0,0>DM=(0,-H)=£(0,-2,1),

设平面DCM一个法向量是4=(%ι,yl,Zι),

则但,”=久1=°,取为=1,得平面DCM的一个法向量为4=(OI2),

{n1∙DM=-2y1÷z1=0

又因为BC=(0,4,0)，=(-4,ξl∣)=-ξ(5,-ll-2),

设平面BCM的法向量为九2=(X2,y2,Z2>

胃乳等;2口=。’取…得平面BCM的一个法向量为叱(2,叫,

则

,一一、∏7∙∏7102AΛT45

COS<%,∏2>=而向=7w为=/一

注意到二面角B-CM一。的平面角是钝角,

所以二面角B-CM-D的余弦值为一生茅.

【解析I(I)取M为PD的中点时满足条件，设。为AC,BD的交点，得。M〃BP,再证明4C〃PQ,

然后可得线面平行，从而得面面平行，最后可得到线面平行AM〃平面BPQ；

(2)确定AMIPQ时，AABM的面积最小，然后建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角.

本题线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题.

(c=y∕~~2

20.【答案】解：(1)根据题意可得b=C，

=h2+C2

解得Q=2,b=c=∖J~~2f

所以椭圆的方程为［+<=l∙

42

(2)设PQLyl)Q(X2，为)，N(2√1,n),

直线尸Q的方程为％=ty+√-2,其中t=?，

由｛%二第fj,得#+2)y2+2<2ty-2=0,

所以yι+丫2=y/2=晨，

C~vLLT4

所以工+∣=ΞL+上=3】+0»2+32+々)巧=2t+Ga升㈤=2t+2t=4t=纪工,

n

⅛ιk2y1y2y1y2y1y2

因为於=MN=寻，

所以；=见，

所以；+J=白

«1k2k3

k1+k2

即

所以(七+k2)k3=2k1k2τ

X(k1+fc2)k3=l,

所以AIk2=

设直线OP方程y=∕q%,直线。Q的方方程为丫=七%,

'y—k1x

联立/2,得(1+2幅)/=4,

—H--y--=1

U2

所以婚4

_l+2fcι,

4

同理可得9=-7~7τ.,

1-rΔK2

所以∣OP∣2+IOQI2=(l+fcf)4+(1+k2)4

1+2，l+2⅛2

2211

=4(碧⅛+茅3)=4(3+7i⅛7+；+7i⅛^)

z

l÷2fcι2k2÷l2k1+lNz∕c2+l

2+22

=4+2(-^—+-ɪ-)=4+2(2^fr2)=6.

2kι÷l2的+14好好+2k彳+2灼+1

(C=√^2

【解析】(1)根据题意可得b=C,解得α,b,C,即可得出答案.

L2=z?2÷c2

(2)设P(XI,yι),<2(x2,y2),N(2∕Zn),直线PQ的方程为x=ty+「，其中t=?，联立椭圆

的方程，结合韦达定理可得为+y2,y1y2,则己+*=机+,=手，由&=k0N=病，得意=

手，进而可得意+专=春解得卜也=：，设直线OP方程y=k】x，直线。Q的方方程为y=Bx,

联立椭圆的方程，解得炸，X,,再计算∣OP∣2+∣OQ∣2,即可得出答案.

本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)己知函数/(x)=(x-l)eX+αx+2,函数定义域为R,

易得/'(X)=XeX+a1

当α≥0时，因为XeX≥0在定义域上恒成立，

所以尸(%)>0,

此时函数/(%)在区间(0,1)上单调递增，满足条件；

当QVO时，不妨设g(x)=%e"+a,函数定义域为R,

当%>0时，函数g(x)单调递增，

若函数/(%)在区间(0,1)上存在单调递增区间，

此时g(%)>0,

即Q>一XeX在区间(0,1)上有解，

易知函数y=-％靖在区间(0,1)上单调递减，

所以—e<-xex<0,

即一e<α<0；

综上所述，若函数f(%)在区间(0,1)上存在单调递增区间，则a的取值范围为(-e,+8)；

(2)若％≥0,f(x)≥sinx+cosχt

不妨令∕ι(%)=/(%)—sinx-Cosx=(x—l)ex+ax—sinx—cosx+2,函数定义域为［0,+∞),

此时需满足九(X)≥0,

x

而h'(%)=xe+Q—cosx+sinχ9

又∕ι(0)=0,"(O)=Q-1,

,x

不妨设k(x)=∕ι(x)=xe+Q—cosx+sinχf函数定义域为［0,+8),

则k'(%)=(x+l)ex+sinx+cosx,

不妨设m(%)=(%+l)e”,函数定义域为［0,+8),

则M(%)=(%+2)ex,

当％≥0时,m,(x)>0恒成立，

所以函数小。)单调递增，

当％∈［0,今时,(x+V)ex>0,sinx÷cosx>0,fc/(x)>0；当口W成,+8)时,(χ+l)e