2022-2023学年河南省平顶山市高二下学期开学考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省平顶山市高二下学期开学考试数学试题

一、单选题

1.已知直线x-2y+∕=O经过点(2,-1),则该直线在y轴上的截距为()

A.—B.—C.2D.—2

22

【答案】D

【分析】将点(2,-1)代入方程得出f,进而由x=0得出所求截距.

【详解】因为直线x-2y+f=0经过点(2,-1),所以2+2+f=0,解得f=T,

所以直线方程为x-2y-4=0,令X=0,得y=-2.

故选：D

2.直线5x-3y-2=0的一个方向向量可以是()

A.(5,3)B.(-5,3)C.(3,5)D.(3,-5)

【答案】C

【分析】将直线转成斜截式，可得到一个方向向量，然后找出与其平行的向量即可

52

［详解］由5x-3y-2=0可得y=

所以直线5x-3y-2=0的一个方向向量为(I1),

对于C,因为］∖=g(3,5),所以(3,5)也是直线5x-3y-2=0的一个方向向量，

对于ABD选项，由于都不与(IW)平行，故不是直线的方向向量，

故选：C

3.已知直线a"3=0与圆U(X-1)2+V=9相交于2、Q两点，则IPQI=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式计算可得.

【详解】圆C：(X-I)2+V=9的圆心C(1,0),半径r=3,

设圆心C(LO)到直线x-y+3=0的距离为"，则"咤=2&,

所以IPQl=2y∣r2-d2=2j9-（2八）2=2.

故选：A

4.已知椭圆《+£=1的两个焦点分别为耳,工，椭圆上一点P与焦点K的距离等于6,则△尸耳用的

3627

面积为()

A.24B.9√3C.27D.36

【答案】B

【分析】根据椭圆方程可确定P点位置，据此可得三角形面积.

【详解】由土+L=1知/=36,/=27,c?=9,即α=6/=36,c=3,

3627

所以点尸恰好是椭圆短轴的一个端点，

所以APF∖鸟的面积S=∙2c=9√3.

故选：B

5.已知直线4:x_(l+a)y+a-2=0与4："-6y+15=0平行，IjIlJa=()

A.2B.3C.-3D.2或-3

【答案】A

【分析】由直线平行的条件求解即可.

【详解】因为4〃4,所以“(l+")=6,解得。=2或α=-3.当。=一3时，乙与4重合.故α=2.

故选：A

6.在正项等比数列｛q｝中，若%%=9,则(q/f-q=()

A.6B.12C.56D.78

【答案】D

【分析】直接利用等比中项即可求出为和6%的值，代入计算即可.

【详解】由等比数列的性质可知=9,裙=9,

又因为｛%｝为正项等比数列，

所以4=3,所以(4%y一4=78.

故选：D.

7.已知点根―1,2,3)在平面α内，平面α=｛p∣∕7EP=θ｝,其中”=0TI)是平面α的一个法向量,

则下列各点在平面”内的是()

A.(2,-4,8)B.(3,8,5)C.(-2,3,4)D.(3,T,1)

【答案】B

【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定y=χ+z,再判断选项.

【详解】设P(X,y,z)是平面ɑ内的一点，则兄P=(X+l,y-2,z-3),

所以(x+1)—(y—2)+(z-3)=0,即y=x+z,选项B满足.

故选：B

8.中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一

品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问，各若干？’'其大意是，现有俸粮305

石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，

每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是()

A.35石B.48石C.61石D.74石

【答案】C

【分析】由等差数列的定义结合求和公式得出正一品的俸粮数，进而得出正二品分得的俸粮数.

【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列｛%｝,

由题意，｛%｝是以-13为公差的等差数列，且$5=5%+学x(-13)=305,解得q=87.

故正二品分得俸粮的数量为七=4+2X(T3)=61(石).

故选：C

9.等比数列｛4｝的公比为g(g>0),“4>4”是“数列｛%｝单调递增''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.

【详解】由数列｛““｝是单调递增一定能推出%>4，

当%>4时•，有4∣4>q,

若4>0,则有4>1,4,m-4=qq"-"4"T=44"τgτ)>o=”向>为，因此数列｛4｝单调递增，

πnn

若。<0,则有OCg<1,an+i-aπ=aiq-aiq~'=alq~'(<y-l)>0=>an+i>a„,因此数列｛4｝单调递

增，

所以由4>4一定能推出数列｛4｝单调递增,

因此“4>q”是“数列｛%｝单调递增”的充要条件,

故选：C

10.已知点A(l,0,2),3(Tl,2),C(l,l,-2),则点A到直线BC的距离是()

A.述B.必史C.在D.5

555

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可.

［详解］设A8=α=(-2,l,0),8C=(2,0,-4),"=i^^=∣,

故选：B

11.已知抛物线C:V=4χ的焦点为厂，准线为/,尸。是过焦点厂的一条弦，已知点4(4,3),则()

A.焦点尸到准线/的距离为1

B.焦点F(0,l),准线方程为y=T

113

-----+------

∖PF∖IQFl4

D.∣Λ4∣+∣P耳的最小值是5

【答案】D

【分析】根据抛物方程可得P,及焦点位置可判断AB,利用特殊位置PQ为通径时判断C,再由抛

物线定义及三点共线可判断D.

【详解】由题设知2p=4,p=2,所以焦点F到准线/的距离为2,故A错误；

由抛物线C的方程知，抛物线焦点在X轴上，故B错误；

112,

考虑特殊情形，当PQ与X轴垂直时，得到网+函=5=1，故C错误；

作「。JJ,垂足为O,如图,

所以∣R4∣+∣Pb∣=∣R4∣+∣叫"+1=5,当且仅当"R/三点共线时等号成立，故D正确.

故选：D

12.如图，正方体ABCO-ABeA的棱长为2,线段Ba上有两个动点E,F(E在尸的左边)，且

A.当E,F运动时，不存在点£厂使得AfJ

B.当E,尸运动时，不存在点E,尸使得AE〃3尸

C.当E运动时，二面角E-AB-C的最大值为45。

D.当E,F运动时，二面角A—防-3为定值

【答案】C

【分析】建立坐标系，利用向量法判断AC；由反证法判断B；平面国有即为平面8。。蜴，平面AEF

即为平面AqR,从而得出二面角A-EF-B为定值.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,2,0),3(0,2,0),C(0,0,0),。(2,0,0),A(2,0,2).

因为E/在Ba上，且4A=2√Σ,EF=丘,

可设E(f,2-f,2)(l≤f≤2),则F(f-l,3-f,2),

贝IJAE=(f-2,-r,2),C户=(f-l,3τ,2),

所以AE∙CF=(，-2)G-l)+(3-√)∙(τ)+4=2∕-6r+6,

故AE∙CF恒为正，故A正确.

若则48,第,R四点共面，与AB和Sa是异面直线矛盾，故B正确.

设平面ABE的法向量为m=(x,>1,z),

AB•〃?=()-2x=0

又AB=(—2,0,0),所以‹,即

AEm=O(r-2)x-ty+2z=0，

取y=2,则机=(0,21),

平面ABC的法向量为"=(0,0,1),所以c°sg”)=丁

设二面角E-AB-C的平面角为。，则。为锐角，故

因为l≤f≤2,y=旧在［1,2］上单调递减,

所以∙J2≤Jl+，≤∙∖∕5,故<cosθ≤,

即。取最小值45。,故C错误.

连接8。,A2,A8∣.平面£7方即为平面BQRBI,而平面AEF即为平面Agj,故当E,F运动时，二

面角A-EF-B的大小保持不变，故D正确.

故选：C

二、填空题

13.设公比为2的等比数列｛4｝的前〃项和为S“，^S7-2S6=1,则q+6=

【答案】33

【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式计算即可得解.

【详解】因为$-2邑=业©-上也二巧=0,=l,

61-21-2

所以q+4=1+2'=33.

故答案为：33

14.写出与圆Cl:犬+9-4Λ∕0+8=0和圆C?∖x^+y2-4y=O都相切的一条直线的方程：

【答案】√3x-γ-2=0(答案不唯一)

【分析】根据圆的半径、圆心可判断两圆位置关系，据此求公切线方程即可.

【详解】由圆G：(x-2石y+V=4,圆C2：/+(y-2)2=4,

IC1C21=J(O-26)2+(2-0)2=4=2+2,可知它们外切，

所以两圆的方程作差即可得内公切线的方程为√Jx-y-2=0.

又直线GG的方程为χ+√Jy-2√5=0,两圆半径相等，

故可设外公切线的方程为X+底，+m=Q,

因为圆心G(0,2)到外公切线距离为此四=2，

√l+3

所以加=4-2√J或,*=-4-26，即两条夕卜公切线的方程分另IJ为x+√Jy+4-2√J=0和

x+√3>∙-4-2√3=0.

故答案为：√3x-y-2=0(答案不唯一)

15.已知四面体。48C,M,N分别是8C,OA的中点，且OA=α,OB=6,MN=C,则向量

OC-(用■,反3表示).

【答案】a-b-2c

【分析】根据三角形法则和平行四边形法则得出MN=IOA-g(θB+OC),进而得出0C∙

【详解】MN=ON-OM=^OA-^OB+OC],所以OC=QA_08_2MN.

即OC=a-h-2c

故答案为：cι-b-2c

16.双曲线C：f—丁=1的左、右顶点分别为A,B,P为C上一点，直线方,PB与X=；分别交

于M,N两点，则IMNl的最小值为.

【答案】√3

【分析】设P(X。，为)，XOX±1，%≠0,x：-W=1，写出直线方程求得M，N点纵坐标后，求出∣"N∣,

然后利用导数求得最小值.

【详解】由题意A(-l,0),8(1,0),设尸(x0,%),x0≠±H%≠0,片-巾=1,

直线PA方程为y=τ¾(χ+i),令》=:，得丫=#片，

八口十124玉)十ɪ/

直线尸B方程为y=-¾(χ-D,令χ=<,得y=-3⅛,

X0-I22(x0-l)

%(4--2)JyO(2J*+IT)=2jyj+I

IMM=3%IΛ

2(%+1)2(x-l)21

0Uo-)IʃoIyOl

设f(y)=(y>0)，则/'(y)=，

""y'Ir√>+r

/(〉)=0得>=6，

o<y<√J时，/'(y)<o,y>∕时,f,(y)>o,

二/(y)在(0,6)上递减，在(五+8)上递增，

y=6时，f6)即=JvS)=邪，

所以IMNImilI=

故答案为：√3.

三、解答题

17.设等比数列｛q｝的前〃项和为S“，已知S3=7,且q-4=-7∙

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设a=4,+2"-l,数列也｝的前”项和为η,,证明：当“≥5时，τ,,≥56.

【答案】⑴a,,=》一

⑵证明见解析

【分析】(1)根据等比数列的通项公式和求和公式列式求4,4,即可得结果；

(2)利用分组求和可求得力,=2"-1+/,再结合函数单调性证明.

【详解】(1)设数列｛为｝的公比为4，

a.(]-q3]

[S3=7——"=7[a,=1

：3则l-<,解得'

1(I”7)7W?

故a—"，

(2)由(1)知仇=2"∣+2"-l,

所以北=4+么+…+b,,=(l+l)+(2+3)+…+(2"T+2"-l)=(l+2+L+2,,^l)+(l+3+L+2«-1)

=y(l+21)=2，_"

1-22

V/(x)=2,-1+/在J,+∞)上单调递增，则数列｛北｝为递增数列，

.∙.当〃≥5时,Tn≥Ts=56,

故当〃≥5时，Tn≥56.

18.已知椭圆Ci[+g∙=l(α>b>O)的长轴比短轴长2,椭圆C的离心率为五.

a^b4

(1)求椭圆C的方程；

⑵若直线/与柳圆C交于AB两点，且线段AB的中点为例(-2,1),求/的方程.

【答案】(1)二+二=1

169

(2)9x-8y+26=0

b=3

【分析】⑴根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组I=K，解出即可.

2a-2h=2

(2)设A(Λpy),8(x2,%),利用点差法得'二包=-^x工手，再根据中点坐标求出占+%=-4,

y+%=2,代入即可得到直线AB斜率，最后写出直线方程即可.

【详解】(1)因为椭圆C的离心率为五，所以工=>4∙,解得2=]..

416a2a4

又椭圆C的长轴比短轴长2,所以勿-3=2,

b_3

a=4,

联立方程组Z=Z,解得

b=3,

2a-2b=2

所以椭圆C的方程为《+《=1.

169

(2)显然点M(-2,l)在椭圆9∕+16y2=i44内,

+16yi2=144

设Aa,χ),B(w,%),因为AB在椭圆C上,所以

+16^=144,

两个方程相减得(片一考)+(一只)即

9164=O,9(xl-Λ2)(^+x2)=-16(y,-y2)(yl+y2),

因为线段AB的中点为M(—2,1),所以%+z=-4,y+%=2,

y∣-V9-49

所以2~~—2=——×—=-

X1-X21628,

Q

所以/的方程为＞-l=5(x+2),即9x-8y+26=0.

O

TT

19.如图，四边形A38是边长为2的菱形，且/48。=§,3〃，平面458,8Μ〃£^,

(1)证明：平面AMCj■平面4VC.

(2)求平面AMN与平面CMN夹角的大小.

【答案】(1)证明见解析

呜

【分析】(1)由AC，平面8例£得出ACj_ME,再由勾股定理证明ME_LNE,最后由面面垂直的

判断证明即可；

(2)以点E为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出面面角.

【详解】(1)证明：连接30，设AC与BO相交于点E,连接ME,NE.

在菱形A8C3中，AB=2,∕4BC=(,所以BE=DE=B

因为工平面ABCD,所以BMLAC.

又BDLAC,BDCBM=B,所以ACL平面所以ACLME.

在直角三角形切WE中，由BM=娓,BE=6,得Λ∕E=3.

在直角三角形DNE中，由DN=范,DE=B得NE=逑.

22

在直角梯形BMNz)中，由BM=2DN=灰,BD=2百,得MN二地,

2

所以ME2+NE2=MN2,从而MELNE.

又ACCNE=E,所以ME_L平面4VC.

因为MEU平面AMC,所以平面AMC_L平面ATVC..

(2)取MN的中点”，分别以EAEB,E〃所在直线为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，

则点A(l,0,0),N0,-√3,ɪ-,Λ∕(θ,√3,√6),

设平面AMN的法向量为仆=(x,y,z),

nxAM=-x+>∕3y÷V6z=0,

LEl9√3rτ

则=巫,则4=万，--

r√6取Z

π1∙A∕V=-x-√3y÷^-z=0,

同理可得平面CMN的法向量为%=卜3«,-¢,4),

n∙n,_-9∖fβ

所以cos(%,“2)=i1

∣nl∣∣∏2∣^^7×√72^2,

所以平面AMN与平面CA^V夹角的大小为.

20.如图所示，在四棱锥A-Ba)E中，,ABC是等边三角形，CDHBE,BDlCD,记平面ACD

与平面ABE的交线为/.

E

(1)证明：IHCD.

⑵若AD=BE=辰D=2，DE=R。为/上一点，求BC与平面QBO所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)证明见解析:

喈

【分析】(1)根据条件可证CO〃面48E,然后根据线面平行的性质定理即可得到结果.

(2)根据条件建立空间直角坐标系，根据向量法，结合线面角公式即可求得结果.

【详解】(1)在四棱锥A-BCDE中，CDHBE,

又因为BEu面AftE,CDa面4把，

所以CD〃面ASE,

又因为平面Aa)与平面48E的交线为/,Su面AC。，

所以〃/CD.

(2)因为CD"BE,BDLCD,所以

在直角一.D8E中，因为。E=#,BE=2,所以BD=正,

因为在直角ABCD中，因为BD=CD=B所以BC=2,

取BC的中点0,连接OAO。，在等边/1SC中，OA1BC,OA=,

在等腰直角C中，ODYBC,OD=\,

在AOAD中，因为OA=如,OO=1,AD=2,所以Oz)_LoA,

以。点为原点，OCOZZOA所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，则

6)(O,O,O),C(1,O,O),Z>(O,1,O),B(-1,O,O),A(O,O,√3),

设Q(x,y,z)由(1)知〃/CD,且/过点A,则4Q=∕ICQ,即(苍X2-6)=/1(-1,1,0),得

X=-λ,y=λ,z=∖∣3,即Q(—几,4,有)，

设平面08。的法向量为%=(α,8c),则

/M-BD=O(α,b,c)∙(1,1,0)=0∖a+b=O

n

m∙BQ=O(a,6,c)∙(l—44档)=0∖a(∖-λ]+λb+4ic=0

“I22-1

令Q=I则6=T,c=_S

则平面的法向量为m=(l,T,c)

设BC与平面QB。所成角为凡BC与平面QBQ的法向量用=(1,-Lc)所成角为α,

%BC∣_|(1,—l,c)∙(2,0,0)∣2_1

则Sine=ICoSM=

222222

邮BC[^+(-1)+C2.√2+0+02√2+C√2+C

0<-^==≤^,即O<sin"*，则BC与平面所成角的正弦值的最大值为孝

21.设等差数列｛《,｝的前〃项和为S,，｛2｝是等比数列，已知q+伉=3,七+勿=7吗+4=13,

%+a=23.

⑴求圾｝的通项公式以及品；

⑵记C,=b,,Sl,,求数列｛cn｝的前n项和Tn.

【答案】⑴》=2",5,=〃2

(2乂〃~—2〃+3)∙2w+l—6

【分析】(1)根据题意，列出关于首项与公差、公比的方程组，解方程求解即可；

2

(2)由cn=n∙2"=[(n+1)?-4(〃+1)+612向一(1-4〃+6)-2",利用裂项相消法求和.

【详解】(1)设数列{4},也}的公差和公比分别为4g,

a}+⅛1=3

q+d+4'=7

由题意得<

al+2d+如？=13

q+3d+b∣q3=23

d+blq-bi=4

相邻两个方程分别相减得∙"+4q2-4q=6.

d+4，_丽2=|0

如2_2丽+a=24(夕-1)2=2

进一步化简得即,

)2

bx(f-2⅛1^+⅛l<∕=4b∣q(q-l)2=4

解得4=q=2.

将4=夕=2代入OI+/=3和a[+d+b]4=7,可得d=2,q=1,

2

所以d=2",5„=nal+?("；)«=n.

(2)由(1)知C,=/.2”,.

因为%=〃2.2"=[(〃+1)2-4(〃+1)+6}2"*'-(〃2-4〃+6).2",

222

J5jy⅛cl=(2-4×2+6)×2-(l-4×l+6)×2,

2322

C2=(3-4×3+6)×2-(2-4×2+6)×2,

q,=[(〃+l)2—4(〃+l)+612"M-(1-4〃+6)2,

上式相加得7；=[("+1)2-4(〃+1)+6}2向-6=(皆-2〃+3)-2同一6.

22.已知双曲线E:5-W=l(a>0,6>0)的离心率为半，点[2,-曰]在双曲线E上.

⑴求E的方程；

(2)过E的右焦点厂的直线/与双曲线E的右支交于AB两点，与两条渐近线分别交于M,N两点，设

∖MN∖=λ∖AB∖,求实数2的取值范围.

【答案】⑴餐-y2=l

⑵(1,2]

【分析】(1)根据双曲线的离心率及双曲线上的点列出方程求解。力即可得双曲线方程；

(2)设直线/的方程为X=Wy+2,联立双曲线方程，由根与系数的关系求出弦长|4可，再联立直线

再由2=需计算即可.

/的方程与双曲线的渐近线方程，求出