2022-2023学年浙江省绍兴市高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年浙江省绍兴市高二(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

若集合2那么

1.4={x∖x>0},B={x∖x—2%—3<O1X∈/?},4∩F=()

A.(0,3)B.(-‰+∞)C.(OJ)D.(3,+8)

2.若Z=W,则∣z∣=()

A.ɪB.?C.y∏,D.2

3.已知单位向量方与方互相垂直，∏c=√-5α-2h-记4与E的夹角为。，则cosO=()

2C2D

--√35

-?33

4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地

震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为仞E=4.8+1.5M.据此，地

震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的(参考数据：√^0≈3.16)()

A.9.46倍B.31.60倍C.36.40倍D.47.40倍

5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去

询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说“你当然不会是最差.”

从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？()

A.27种B.36种C.54种D.72种

6.若Sino+2cosθ=则()

33

BnQ2

-σ-

A.tan2θ=4tαΠ24C.sin2θ=--D.sin2θ=-

7.在棱长为10的正万体4BC0—4B1GD1中，P是侧面ADDlAl内的点，P到AlDI和的距

离分别为3和2,过点P且与AlC平行的直线交正方体表面于另一点Q,则∣PQ∣=()

A.9√Γ3B.8√^3C.7y∏D.6√Γ3

8.已知函数/(x)的定义域为R,且/0+2)+/。)=/(8),f(2x+l)为奇函数，/(ɪ)=ɪ,

则∑跄逆〃々一}=()

A.-11B.—ɪC.0D.ɪ

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：

甲6871727282

乙6670727879

则()

A.甲组数据的极差小于乙组数据的极差

B.甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数

C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差

D.甲组数据的第60百分位数等于乙组数据的第60百分位数

10.函数/O)=sin(ωx+5(ω>0)的最小正周期为7,若与<7<2τr,且X=腿y=/(%)

图象的一条对称轴，贝∣J()

A.3=2B.X=-左是函数f(x)的一个零点

C.y=/(x)在(0,为有2个极值点D.直线y=√^2χ+号是一条切线

在正三棱台中，。是的中心，则()

11.4BC-4BιCιZkABCAB=3,AA1=2,A1B1=1,

A.OB11A1C1

B.正三棱台ABC-AlBICi的体积为吧

6

C.正三棱台48C-4∕1C1的外接球的表面积为12τr

D.侧面BCClBl所在平面截正三棱台ABC-AlBICl外接球所得截面的面积为与

12.已知α>0,且α+eb=2,贝∣J()

A.α+ð≤1B.Ina+ed≤1C.eɑ+h≥2D.Ina—∣h∣≤0

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

已知则i的最小值为.

13.x>l,x+-τ

14.己知(1-ɪ)(l+x)5的展开式中/项的系数为.

15.甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒

中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球,

则从乙盒中取出的是红球的概率为.

16.已知正AABC的顶点A在平面ɑ内，点B,C均在平面ɑ外(位于平面ɑ的同侧)，且在平面α

上的射影分别为B',C,NBNC'=90。，设BC的中点为。，则直线4D与平面a所成角的正弦

值的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

己知N=(∕^5sinx,1),b=(1,—cosx)>x&R.

(I)若X=0,求)7；

(2)设f(χ)=五％,求/Q)的单调递增区间.

18.(本小题12.0分)

中国电动汽车重大科技项目的研发开始于2001年，经过一系列的科技攻关以及奥运、世博、

“十城千辆”示范平台等应用拉动，中国电动汽车建立起了具有自主知识产权的全产业链技

术体系.汽车工业协会的最新数据显示，2022年中国电动汽车销量达491万辆，是2010年的400

多倍.某人打算购买一款国产电动汽车，调查了100辆该款车的续航里程，得到频率分布表如

下:

续航里程(单位：km)频数频率

[100Λ50)30.03

[150,200)100.10

[200l250)300.30

[250l300)350.35

[300,350)150.15

[350,400]70.07

(1)在图中作出频率分布直方图；

(2)根据(1)中作出的频率分布直方图估计该款车续航里程的众数与平均数.

(同一组中的数据以该组区间的中间值为代表)

19.(本小题12.0分)

在BC中，内角4B,C所对的边分别是α,b,c,且，耳α=2bsinA∙

⑴求B；

(2)若b=J7,C=3,且。为边47的中点，求BC.

20.(本小题12.0分)

如图，在正四棱锥P-ABCO中，AB=2,过点4向平面PCD作垂线，垂足为H.

(1)求证：AB1DH；

(2)若ZH=λΓL求二面角H-BC-。的余弦值.

21.(本小题12.0分)

为加快绍兴制造强市建设，种国制造2025绍兴实施方案》指出，到2025年，制造业重点领

域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级.某试点企业对现有的生

产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取10件产品，并分

析某项质量指标.根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分

布NO,/).

(I)记X表示一天内抽取的10件产品质量指标在GU-3σ,μ+3。)之外的件数，求P(X≥1)；

1

附：若随机变量Z服从正态分布NQ,M),∣jl∣Jp(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.99740≈

0.9743

(2)下面是一天内抽取的10件产品的质量指标:

9.8510.1210.029.8910.21

10.269.9110.1310.179.94

若质量指标大于I(MO被认定为一等品，现从以上10件产品中随机抽取4件，记Y为这4件产品

中一等品的件数，求Y的分布列和数学期望.

22.(本小题12.0分)

已知函数/^(x)=xlnx-ɑ/有两个极值点X1,χ2(χ1<χ2).

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：存在实数α使得与+=孑.

Λ1

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合A={x∖x>0},B-{x∖x2—2x—3<0,X∈/?}={x∣—1<X<3),

那么An8={x∣0<X<3]=(0,3).

故选:A.

解不等式化简集合B,再根据交集的定义写出力nB.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：Z=W，

则IZl—I—I—W———C

-

λJ∣z∣-∣1+J-∣l+i∣-<22-

故选：B.

根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：•••五与石是单位向量且互相垂直，

∙∙a∙c=a∙(Λ∕-5a—2b)—√-5a2—2a-b=V-5>∣c∣=ʌʃ(y∕~5a—2h)2-√5+4-3,且五

与工的夹角为仇

λcosθ=isiiFi=-

故选：D.

根据条件进行数量积的运算可求出力•不和ImI的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos。的

值.

本题考查了单位向量的定义，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量

夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：记地震震级提高至里氏震级M+1，释放后的能量为％,

由题意可知，仃瓦-IgE=4.8+1.5(M+1)-(4.8+1.5M)=1.5,

即Ig卷=1.5,所以卷=IO1-5=10√10≈31.60.

故选：B.

记地震震级提高至里氏震级M+1,释放后的能量为由题意可推得国位-ZgE=I.5,根据对

数的运算，结合指对互化以及指数嘉的运算，即可得出答案.

本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是分析甲乙的名次情况,属于基础题.根

据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在

其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三

个名次，由加法原理计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，

分2种情况讨论：

①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有a=6种情况，

此时有3×6=18种名次排列情况；

②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有幽=6种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有a=6种情况，

此时有6×6=36种名次排列情况：

则一共有36+18=54种不同的名次情况，

故选C.

6.【答案】A

【解析】解：若+2cos6=竽,

因为sin?。+cos20=1

则tɑ几。=3或tern。=—ɪ,

Sjnf)—0-J^U

时,tanθ=3,tan2θ=:：：2=-［，sin2θ=2sinθcosθ=2×X=|>

Icosθɪɪ

Sinθɪ-ɪ1,»2tanθ

5,sin2θ=2sM%osJ=-2X喑X

当a3E时'=tαn20=τ

CosO=F-

√1θ3

105

故选：A.

由已知结合同角基本关系先求出sin。，cosθ,tanθ,然后结合二倍角公式即可求解.

本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由点P到45的距离为3,P到Aal的距离为2,

过点P作EF∕∕4D,且EFnΛ4ι=E,EFnAD=F,

过点P作PH1AD,垂足为H,则PH=7,

所以△PHFSAAMD,

-PH_PF

所pc以rl而=砧，

因为PQ〃&C，EF/∕AlD,EFOPQ=P,

所以面PFQ〃面&DC,且APFQ"2C,

所以”=丝，

所以丝=丝，

,

切^AA1A1C

因为正方体的棱长为10,

22222

所以&C=√IO+IO+IO=10√^3.A1D=√IO+10=Ioy∏,

所l⅛=岛，

所以PQ=7/2，

故选：C.

过点P作E/7/A1。，且EFn=E,EFnAD=F,过点P作PH_LAD,垂足为H,贝IJPH=7,

推出怒=卷，由PQ〃4C,推出△PFQsA&0C,则希=悬，进而可得卷=卷，即可得出

答案.

本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：因为f(x+2)+"x)=f(8),

所以〃%+4)+/(x+2)=f(8),

所以f(x+4)=/(X),

所以/(无)的周期为4,

所以f(8)=f(4)=/(0),

⅛∕(x+2)+∕(x)=∕(8),

令χ=0,则有f(2)+/(0)=f(8),

所以/(2)=0,

又因为f(2x+l)为奇函数，

所以f(-2x+l)=-f(2x+l),

即f(r+l)=-f(x+l),

所以y=/(x)关于点(1,0)对称，

所以f(2-x)=-/(x),

令X=p则/(|)=-∕⅛=-ɪ,

令X=0,可得/(2)=-f(0)=0,

所以f(0)=0,/(8)=0,

所以J(X+2)+/(x)=/(8)=0,

即/(x+2)=-f(x),

令%=4则有居)=F⅛)=g

令X=|,则有％)=-/(|)=|；

综上，/-(4m+j)=∕⅛=∣,/(4m+∣)=∕(∣)=-∣,/(4m+1)=/(∣)=-ɪ,f(4m+3=

，(⅛=Γ

所以(4τn+l)∕(4m+ɪ)+(4m+2)∕(4m+∣)÷(4m+3)∕(4m+∣)+(4m+4)/(4m+∣)=

11I1

(4m+1)×-+(4τn÷2)×(―-)+(4m÷3)×(―-)+(4m÷4)×-=O,

所以Σ匕kf(k-⅛=21/(21-ɪ)+22/(22-ɪ)=21∕(j)+22∕(∣)=21×ɪ+22×(-|)=

_1

^^2'

故选:B.

根据f(x+2)+f(x)=f(8),可得f(x)的周期为4,由赋值法可得/(2)=0,又由f(2x+l)为奇

函数，可得y=f(x)关于点(1,0)对称，由已知条件可得/(∣)=-g,/(0)=0,f(8)=0,然后求

得/(|)=~∣ι∕φ=∣,进而由周期性可得(4τn+1)/(4Tn+ɪ)+(4m+2)∕(4m+∣)+(4m+

3)∕(4τn+1)+(4m+4)∕(4m+1)=0.即可得流Ikf(上一》=21/(}+22/(|),代入相关值

即可得答案.

本题考查了抽象函数的对称性、周期性及利用赋值法求抽象函数的值，属于难题.

9.【答案】BC

【解析】解：甲组数据的极差为14,乙组数据的极差为13,

故甲组数据的极差大于乙组数据的极差，故A错误；

甲组数据的平均数为：I×(68+71+72+72+82)=73,

乙组数据的平均数为：2X(66+70+72+78+79)=73,故B正确；

-1

222

甲组数据的方差为：ɪX[(68-73)+(71-73)2+2×(72-73)+(82-73)]=22.4,

乙组数据的方差为：j×[(66-73)2+(70-73)2+(72-73)2+(78-73)2+(79-73)2]=24,

故甲组数据的方差小于乙组数据的方差，故C正确；

甲组数据的第60百分位数为必产=72,

乙组数据的第60百分位数笥生=75,故。错误.

故选：BC.

根据已知条件，结合极差、百分位数的定义，平均数和方差公式，即可求解.

本题主要考查极差、百分位数的定义，平均数和方差公式，属于基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：对于4选项，函数f(x)=sin(ωx+^)(ω>0)的最小正周期为T,

且与<7<2兀，则3=皇6(1,3),因为X=就y=∕(无)图象的一条对称轴，

则詈+；=Α兀+](keZ),解得®=8fc+2(fc∈Z)>

因为36(1,3),所以，ω=2,4对；

对于B选项，由题意可得f(x)=sin(2x+^,

则/(一令=sin(-J)=一殍≠0,

所以X=-秒是函数/(x)的一个零点，B错；

对于C选项，当0<x<与时，*<2x+*<竽

?兀_兀37Γ5ττ_π5π9π

2X+4-2'2'T,即pπX一或百，百,

所以函数y=f(x)在(0,笔有三个极值点，C错；

对于。选项，因为/(%)=sin(2x+》,则f'(x)=2cos(2x+》,

令f'(久)=，^，可得COS(2尤+》=?，

则2x+*=*+2fcπ(∕c∈Z)或2x+≡=2fcπ-^(fc∈Z),

解得X=kπ(kEZ)或久=⅛τr—^(fc∈Z),

若切点的横坐标为Zσr(k∈Z),则切点坐标为(k7r,殍)(k∈Z)，

将点(hr,殍)(keZ)的坐标代入切线方程可得√"2J⅛+好=好，解得k=0；

若切点的横坐标为k兀一∈Z),则切点坐标为(k7r一'殍)*∈z),

将点(4兀-ι^χk∈Z)的坐标代入切线方程为「(左兀一;兀)+好=予，

解得k=不合题意.所以直线y=JNx+?是一条切线，。对.

故选：AD.

利用函数门X）的周期公式以及函数AX）的对称性求出3的值，可判断a选项：计算〃-力的值，可

判断B选项；由Xe（O,与）计算出2x+：的取值范围，可判断C选项；利用导数的几何意义可判断O

选项.

本题考查三角函数的性质，导数的应用，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：如下图所示，延长BB1,CCl交于点P,连接BO并延长交AC于点C,

连接PD,连接PO交平面G于点0「则。1为等边△&BIel的中心，

对于4选项，因为棱台ZBC-&B1G为正三棱台，则三棱锥P-ABC为正三棱锥，

因为AB=BC,。为AC的中点，所以4C1BD,同理可得4C1PD,

因为BDnPD=D,BD、PDU平面PBD,所以，ACl平面PBD,

因为OBlU平面P8D,所以，AC1OB1,因为&Ci〃4C,故AlclJ_0B「故A正确；

对于B选项，因为4ιC/∕4C,则鲁=峥=<，即∕⅛=4解得P&=1,

I∕{∕1Cɔ=711十4ɔ

故PA=P4+44ι=1+2=3,故P8=PC=P4=3,又因为△48C是边长为3的等边三角形,

故三棱锥P-力8C是棱长为3的正四面体，BD=ABsin60o=^则8。=^BD=√-3,

PO=√9-3=√^^6.PO1=gp。=一，

λ,,

^ABC-A1B1C1=^S-ABC—^S-A1B1C1=ɜ^∆ABC*So—ɜ^ʌ^ɪfiɪfɪSOl

=lxlx3χ3×ς≡χ<6+∣×∣×l×l×^x^=^-≤∣=i≡p,故B错误；

对于C选项，因为PD=P4sin60。=3X?=审，

因为需=器=4则。当〃PD,且。BI=IPD=*货=C

所以，(Ml=OG=OBl=<3=04=OB=0C,

所以，。为正三棱台ABC-4B1G的外接球的球心，且该球的半径为C，

因此，正三棱台ABC—4B1G的外接球的表面积为4ττx(O=I2τr,故C正确；

对于0选项，因为正四面体P-ABC的高，^δ,

即点A到平面BCClBl的距离为门，

连接AO并延长交BC于点E,贝IJE为BC的中点，且器=%

所以，点。到平面BCClBi的距离为点A到平面BCClBi的距离的，

即点0到平面BCCiBi的距离为?，

所以，面BCCIBI所在平面截正三棱台HBC-AlBlCl外接球所得截面圆的半径「=J3一(竽尸=

---,

3

故而BCCIBI所在平面截正三棱台ABC-A/]Ci外接球所得截面的面积为兀N=今故。正确.

故选:ACD.

延长SB】，CCi交于点P,连接B。并延长交4C于点D,连接PD,连接Po交平面治当加于点。1，

证明出0%14C,结合&CJ/4C可判断力选项；利用锥体的体积公式计算出正三棱台4BC-

AlBICi的体积，可判断B选项；求出正三棱台ABC-&B1C]的外接球的半径，结合球体表面积公

式可判断C选项；计算出侧面BCqBl所在平面截正三棱台ABC-4BιCι外接球所得截面圆的半径,

结合圆的面积公式可判断。选项.

本题考查解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题

求解，属中档题.

12.【答案】ABD

x,x,x

【解析】解：对于令/(%)=e-(x+1),∕(x)=e-If当％≥0,∕(x)=e-1≥0,/(%)

单调递增，

所以/(%)≥/(O)=0,即蜻-(%+l),所以α+e>≥Q+b+1,即α+b≤l,当且仅当b=0,

等号成立，A正确；

对于8,同理可证当%>0,%≥Inx+1,当且仅当％=1时，等号成立，所以Q+eb≥Ina+1+e》,

即Ina+eb≤1,3正确；

a

对于C,当b->-8,α→2,e+b<O,C错误；

对于C,当b≥0>eb≥1,a≤1,Ina—网=Ina—b=ln(a÷eb)<Inl=0,同理可证b<0.

Ina—∣h∣≤0,。正确.

故选:ABD.

结合常见函数比较大小即可.

本题主要考查数的大小比较，构造函数是解决本题的关键，属中档题.

13.【答案】3

【解析】解：∙∙∙X>1..∙.%-1>0,

X+-ɪ7=(X-1)+-ɪ-+1≥2I(X-1)--ɪ-+1=3)

x-1\7x-1q∖JX-I

当且仅当％=2时，等号成立.

故x+々的最小值为3.

x-1

故答案为：3.

直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果.

本题考查了基本不等式性质的应用，属于基础题.

14.【答案】5

【解析】解：(1-ɪ)(l+X)5=(1-3(得+Cl-X+Cj-X2+Cl-X3+-X4+Cl-xs},

所以展开式中含炉的项的系数为：

eɜ-C<=10-5=5.

故答案为：5.

把(1+X)5按照二项式定理展开，可得(1-3(1+为5展开式中含二项的系数.

本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目.

15.【答案】⅛

ɔo

【解析】解：若从甲盒中取出的是红球，则从乙盒中取出的是红球的概率为JxJ=登，

若从甲盒中取出的是白球，则从乙盒中取出的是红球的概率为弓×⅛=⅛≈i,

故先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球

的概率为翌+3=If.

ɔoɔoɔo

故答案为：If.

ɔo

分从甲盒中取出的是红球和取出的是白球两种情况讨论，利用概率的乘法公式计算即可.

本题考查概率的乘法公式，考查分类讨论思想，属于基础题.

16.【答案】［字,容)

【解析】解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，分

别以AC'所在直线为X轴，

以48'所在直线为y轴，以平行于射线B'B的方向的射线

为Z轴，

设△力BC的边长为1,DG=b,因为。为BC中点，

所以可设BB'=b+m,CC,=b—m(m≥0),

22

则C(ʌ/1—(ð—m)t0,b-τn),B(0,y/1+(6+rrι)tZ?+m),

因为△4B'C'为直角三角形，所以+∖AC,∖2=4∣∕G∣2,

即1—(b—m)2÷1—(h+m)2=4(|—62),整理得炉=m2+ɪ,

又m满足可得me［0,},所以

又AC与平面α所成角的正弦值为2=邕=所以范围是畔,早).

ΛUV.JɔɔZ

故答案为：［?,?).

根据题设情境，构建空间直角坐标系，得到B,C两点的坐标，再转化为长度进行计算，找到b和m

的关系式，根据线段长度确定m和b的范围，得到所求线面角的范围.

本题考查空间中直线和平面所成的角，属中档题.

17.【答案】解：(l)vχ=O,.∙.α=(0,l),K=(1,-1)，则五［=一1.

(2)V/(x)=a∙b=>J~3sinx—cosx=2sin(%—(),

:•—5L+2fcττ≤XO——L≤—+2kτι,kEZ9

：._\+2fcπ≤X≤y+2kπ,k∈Z.

∙∙∙f（x）的单调递增区间为［―升2kτ样+2时，fc∈Z.

【解析】（1）将五7直接计算出来即可；（2）将/（X）表示出来，对应y=sinx的性质即可.

本题考查向量的运算，三角函数的性质，属于基础题.

18.【答案】解：（1）由题意可得频率分布直方图如下:

（2）由频率分布直方图得，众数为275,

平均数为125X0.03+175X0.1+225X0.3+275X0.35+325X0.15+375×0.07=260.

【解析】（1）根据频率分布表可作出频率分布直方图；

（2）根据最高矩形底边的中点值为样本的众数可求得该款车续航里程的众数，将每个矩形底边的中

点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出样本的平均数.

本题考查频率分布直方图的画法，考查众数、平均数的计算，是基础题.

19.【答案】解：（1）由题意=2bsi?V1,由正弦定理可得=2siτιBsi7L4,

在三角形中，sinA≠0,

可得SinB=芋，而Be（O,兀），

可得B=W或B=,兀；

ɔɔ

TT

（2）因为c>b,所以C>B,所以B=§,

由余弦定理cosB="出=L而b=，7,c=3,

2ac2

即学?=〈，解得：。=1或。=2,

2α×32

因为。是AC的中点，所以前=X明+而)，

121

所以前2=l(βX2+BC2+2BA-BC)=+Q-

4-(94-

①当α=l时，BD2=^-,即BD=产；

②当a=2时，诙2=3即Bo=守.

【解析】(1)由题意及余弦定理可得B角的正弦值，再由B角的范围，可得B角的大小；

(2)由题意和(1)可得B角的大小，由余弦定理可得ɑ边的大小，因为。为AC的中点，可得向量前2的

表达式，可得BD的大小.

本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.

20.【答案】解：CI)证明：由题意知AH_L平面PCD,所以AHlCD,

又4。ICZ),ADΓ}AH=A,所以CDI平面AHD,

所以CDlDH,又ABlICD,所以ABInH.

(2)因为AHJ■平面PCD,所以4H_LH0,AD2=AH2+HD2,

所以AH=HD=√^1-

作HMIAD交4。于点M,所以M为4D中点，

又由(1)知COjL平面4H。，所以HMIC0,又COn4。=。，

所以HM1平面ABCD.

所以4"NM为二面角H-BC—D的平面角，因为MN=2,HM=1,所以HN=，石，

所以CoSNHNM-黑=

NH5

所以二面角H-BC-。的余弦值为与1

【解析】(1)由已知可得4H1CD,进而可证CD，平面ZHD,可证结论成立；

(2)作HMJLaD交4。于点M,所以M为4D中点，可得NHNM为二面角H-BC—D的平面角，求解

即可.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题.

21.【答案】解：(I)P(X≥1)=1-P(X=O)=I-O.997410=0.0257.

(2)由题意知,Y的可能取值为0,1,2,3,4,

「°「41n-ɛlɛl-ɪ

。(丫=0)=第=p(y=

42,D一九-2/

cIO

PW=2)=洋=10ɔʌ_cjcl_sPdT=也

21,P(Y=刃一鬲一五’

cIO

所以y的分布列为:

Y01234

151051

P

五五森

F(y)=l×A+2×^+3×⅛+4×⅛=2.

【解析】(1)根据对立事件以及独立事件的概率公式可求得P(X≥1)的值；

(2)由题意可知，随机变量Y的可能取值有：0、1、2、3、4,计算出随机变量Y在不同取值下的概

率，可得出随机变量y的分布列，进而可求得E(y)的值.

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题.

22.【答案】解：(1)已知%)%-a",函数定义域为(0,+8),

可得/'(%)=Inx+1—2aχ9

若/(%)有两个极值点与，乂2,

此时((X)=O有两个解%1，X?，

即方程α=嗖有两个解尤1，x2,

不妨设g(x)=等，函数定义域为(0