2023-2024届新高考一轮复习湘教版 2-8 函数与方程 学案

第八节函数与方程

【课标标准】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系2结合具体连

续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.

必备知识夯实双基

知识梳理

1.函数的零点

(1)函数零点的概念

对于一般的函数y=∕U),我们把使的实数X叫做函数)，=火》)的零点.

(2)函数零点与方程根的关系：

函数.v=√(x)的图象/、,函数,V=Ar)

与有交点<>有

(3)零点存在性定理：如果函数y=∕(x)在区间M，口上的图象是连续不断的一条曲线，并

且有，那么函数y=∕(χ)在区间3,8)内有零点，即存在XOe(“，⅛),使得.

2.二分法

对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间

,使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分

法.

［常用结论］

1.若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

2.图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

3.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)函数的零点就是函数的图象与X轴的交点.()

⑵二次函数y=ατ2+6x+c(αW0)在当拄-4"c<0时没有零点.()

(3)若函数y=∕(x)在区间(〃，力内有零点(函数图象连续不断)，则人〃求切<0.()

(4)若兀0在区间［”,句上连续不断，且犬〃)负6)>0,则兀0在(”,力内没有零点.()

2.(教材改编)已知函数人幻的图象是连续不断的，且有如下对应值表.

X12_345

危)-4-2147

在下列区间中，函数./(X)必有零点的区间为()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

3.(教材改编)函数段)=2，+炉-2在区间(0,2)内的零点个数是.

4.(易错)(多选)已知函数在区间(0,3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其

图象是连续不断的，若40)>0,贝1次2加3)<0,则下列命题正确的是()

A.函数/U)的两个零点可以分别在区间(O,1)和(1,2)内

B.函数Ar)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内

C.函数CX)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内

D.函数y(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内

5.(易错)函数/)=αχ2rτ有且仅有一个零点，则实数。的值为

关键能力•题型突破

题型一函数零点所在区间的判定

例1(l)[2023∙安徽安庆一中月考]函数∙∕(x)=x+lOgM的零点所在的区间为()

A3B∙(O

CBl)D∙(∣,l)

(2)设函数y(x)=1一Inx,则函数y=∕(x)()

A.在区间Q，1)，(1.e)内均有零点

B.在区间1),(1,e)内均无零点

C.在区间(：，1)内有零点，在区间(1,e)内无零点

D.在区间1)内无零点，在区间(1,e)内有零点

Zi∖X—3

(3)[2023∙河南南阳模拟]已知函数√(x)=81In%-—80的零点位于区间(比"+1)内,

则整数k=()

A.1B.2C.3D.4

题后师说

判定函数零点所在区间的2种方法

7

巩固训练1

⑴[2023•河北唐山模拟]在下列区间中，函数/)=e'+2r-3的零点所在的区间为(

(2)设火X)=O.8入一1,g(x)=lnx,则函数〃(幻=%)一g(x)的零点一定位于下列哪个区间

)

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(e,3)

题型二零点个数的判定

例2(1)函数./U)=lnx+2x—6的零点的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

(∣x∣+2,X<1,

(2)[2023•辽宁沈阳模拟]已知函数TU)=2则函数>=%)一14零点个数为

X÷-,X≥1.

)

A.OB.1

C.2D.3

2

(3)已知函数TU)=×,x>°'则方程Tu)—2R=O的解的个数是()

X+2,X≤0,

A.OB.1

C.2D.3

题后师说

判定函数零点个数的3种方法

巩固训练2

(l)[2023∙山东济宁模拟]函数/(x)=[I'+2>“'°的零点个数为()

V2_9v_QV、n

A.1个B.2个

C.3个D.4个

(2)函数八幻=：-k>g2χ-l的零点个数为.

题型三函数零点的应用

角度一根据函数零点的个数求参数

1__ɪX<]

二一’X,若函数g(x)=/(X)—MX

1Inx,X≥1

—1)有4个零点，则实数Z的取值范围为.

题后师说

已知函数零点个数求参数范围，常利用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初

等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条

件的参数范围.

巩固训练3

(-x,X≥O

[2023•河北沧州模拟]已知式X)=2一,若函数y=«r)一近一1:没有零点，则实数Z

(2∣x∣,x<02

的取值范围是()

ʌ-&1)B-[I'+8)

C.[|.1)D.[1,+∞)

角度二根据函数零点所在的区间求参数

例4(l)[2023•河南焦作模拟]若函数4X)=InX+χ2-α在区间(I,e)上存在零点，则实数

”的取值范围为()

A.(I,e2)B.(1,2)

C.(1,e2+l)D.(2,|+2)

(2)若函数yu)=4*-2'—”在区间[-1,1]上有零点，则实数a的取值范围是.

题后师说

根据函数零点所在区间求参数范围的常用方法

巩固训练4

［2023•黑龙江双鸭山一中月考］设A为实数，函数/)=2'+x2—人在［0,1］上有零点，则

实数k的取值范围为.

第八节函数与方程

必备知识•夯实双基

知识梳理

1.(1求X)=O(2)实根X轴零点(3y(α)∙Λ⅛)<0式配)=0

2.Λfl)∙Λ⅛)<o一分为二零点

夯实双基

ɪ.(D×(2)√(3)×(4)×

2.解析：由所给的函数值的表格可以看出，x=2与x=3这两个数字对应的函数值的

符号不同，即火2)负3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.

故选B.

答案：B

3.解析：因为y=2",y=x3是增函数，

所以函数外)=2，+V—2在区间(0,2)内单调递增.

又40)=—1<0,A2)=10>0,

所以<0加2)<0,

故函数犬*)=》+%3-^在区间(0,2)内有唯一的零点.

故选B.

答案：1

4.解析：因为函数HX)在区间(0,3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是

连续不断的，所以零点两侧函数值异号，

又的)>0,川水2加3)<0,所以贝3)>0,Λ1M2)<O,

若式1)>0,Λ2)<0,可得∕2V(3)<0,χi)∕(2)<0,即此时函数危)的两个零点分别在区间(1,

2)和(2,3)内，故B正确.

若-l)<0,Λ2)>o,则旭/I)C0,Λ1M2)<O,即此时函数於)的两个零点分别在区间(0,

1)和(1,2)内，故A正确.

综上两种情况，可知选项C错误，D正确.

故选ABD.

答案：ABD

5.解析：若α=0,

则:X)=—x-l,令KX)=0,即一X-I=0,

得X=-1,故符合题意；

若αW0,则y(x)=αr2-X-1是二次函数.

故有且仅有一个零点等价于Δ=I+4α=0,

解得a=—；,

综合所述。=0或α=-ɪ.

答案：0或一;

4

关键能力•题型突破

例1解析：(1)由已知得yu)=χ+iog2χ为(0,+8)上的递增函数，

4∣)=∣+log2i=i-log23<0,

尼片+1Ogw=一Ma

XI)W+log⅛=？-log23W(5-∣og227)>0,ΛD=1>O,

由零点存在定理可知，火X)在区间传，|)存在零点，

故选C.

(2)(图象法)令於)=0,得夕=InX,作出函数y=[x和y=lnx的图象，如图，显然产危)

在Q,1)内无零点，在(1,e)内有零点.

故选D.

Z-I∖.X-3

(3)因为函数y=811nx与>=—(])—80在(0,+8)上均为增函数,

所以函数y(x)在(0,+8)上为增函数，

因为式2)=8Πn2-83<0,ι∕(3)=8∏n3—81>0,<2)：*3)<0,

所以函数KX)的零点位于区间(2,3)内，故人=2.

故选B.

答案：(I)C(2)D(3)B

巩固训练1解析：(1)函数y(x)=ev+2χ-3的定义域为R.

因为函数y=e∖y=2x—3均为增函数，所以/(x)=ex+2χ-3为R上的增函数.

又7(O)=eθ+2XO—3=—2<0,/Q)=e*+2x；-3<eɪ-∣=√e-∣<0,

yθ)=eW+2X^—3=Ve-2<0,/^θ=e5+2×^-3=eZ—∣>√e—1>0.

由零点存在定理可得：,/(X)的零点所在的区间为G，

故选C.

(2)(图象法M(X)=/(x)—g(x)的零点等价于方程y(x)—g(x)=0的根，即为函数y=∕(x)与y

=g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A,横坐标的

范围为(0,1).

故选A.

答案：(I)C(2)A

例2解析：⑴由于函数火X)在(0,+8)上是增函数，且*)=一4<0,X3)=ln3>θ,

故函数在(1,3)上有唯一零点，也即在(0,+8)上有唯一零点.

故选B.

(2)当x<l时，y=∣x∣+2-H=2,所以不存在零点；

当时，f=x+∣—k∣=j>O,也不存在零点，所以函数y=<x)-M的零点个数为0.

故选A.

⑶由於)-2M=0,得段)=2叫则函数於)-2N零点的个数即函数於)与函数>=2国的

交点个数.

作出函数人X)与函数y=2N的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2,故方程_Ax)

-2W=0的解的个数为2.

故选C.

答案：(I)B(2)A(3)C

巩固训练2解析：(1)因为段)=[,"21，x'°,

Ix2-2x-3,X>O

令心)=0，

当｛|x；5|2(r解得k-2；

当12_彳；>_°3=0，解得x=3,./U)的零点有一2和3共2个•

故选B.

(2)函数,/U)=1—Iog2∙r-1的零点个数即为：-log2X-l=0=>j=log2x+l的解的个数，即

为y=%>=log2∙r+l两个函数的交点个数，画图可知有1个交点.

答案：(I)B(2)1

例3解析：

因为g(x)=y(x)-Mx—1)有4个零点，

所以方程yu)=Mχ-1)有4个实数根,

———1X<1

画出式X)=I-X’的图象，以及y=A(x—1),

，Inx,X≥1

则两函数的图象有4个公共点.其中直线y=A(χ-l)经过定点(1,0),斜率为k

当直线与贝x)相切时，联立[V—I-Xɪ,∆=(l-2⅛)2-4⅛2=0,可求出Z=工，由图可

Iy=k(x-1)4

知，当0<@时，方程兀r)=©x—1)有4个交点，故k的取值范围为(0,ɪ).

答案：(°，D