2023高三讲义-圆锥曲线解析几何（定值定点问题） - 二轮复习

11.3定值定点问题

【知识点一：定值问题】

1.定值问题

转化为与A,B两点相关的斜率<=>吊与&的关系式

基本思路：+JC2,xlx2

2.椭圆常用结论

22

L过椭圆=+与=1(α>0,反>0上任一点A(尤0,%)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆

ab'

h2

于民C两点，则直线BC有定向且的°=^⅞x曳(常数).

a^y0

22

2.已知椭圆jx+∖y=l(a>8>0),。为坐标原点，P,Q为椭圆上两动点，且

a'b'

OPLOQ.

---------1----------=-----1----

IOPl2IOQF/h2

ʌʌ4∕7%2

2)IoP「+1。Qi-的最大值为烹品;

3)S诙的最小值是普

【知锹点二：定点问题】

1.直线过定点问题

方法：要证明直线y=履+机过定点，只需要找到々与m之间的关系即可.

确定定点P(m,n)，可以证明AP,3P,AB任意两个斜率相等即可.

【典型例题】

考点一：创•率之收或4和为定值

22n

例1.已知椭圆C∙∣τ+2=l(0>b>0)的离心率为券,点A(2,0)在椭圆C上,O为坐标

原点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设动直线/与椭圆C有且仅有一个公共点,且/与圆V+y2=5的相交于不在坐标轴

上的两点片，6,记直线。匕OA的斜率分别为勺,七,求证：4"为定值.

练1.已知椭圆(7:「+5=13〉人〉0)的右焦点为尸(1,0),离心率为Y—.直线/过点

a'b^2

厂且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A8,线段AB的中点为M.

(I)求椭圆。的方程；

(H)证明：直线。W的斜率与/的斜率的乘积为定值：

(III)延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线/

的斜率.

练2.已知椭圆二+M∙=l(α>b>O)的离心率为正，椭圆M与y轴交于43两点

a^b^5

(A在下方)，且IA例=4.过点G(0,1)的直线/与椭圆M交于C,。两点(不与A重合).

(I)求椭圆〃的方程；

(H)证明：直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值.

考点二：线段或者面积为定值

22

3rv

P(LR-+-7τ=Ua>b>0)F(I0)

例2.已知点2在椭圆Cr：ab上，'(L°)是椭圆的一个焦点.

(I)求椭圆C的方程；

(H)椭圆C上不与P点重合的两点Q,E关于原点O对称，直线尸。，FE分别交y轴

3

于Λ/,N两点.求证：以MN为直径的圆被直线y=5截得的弦长是定值.

?

γyl

1、已知椭圆C:j+=1过点A(-2,-1),且α=2Z?.

cc~F

(I)求椭圆。的方程;

(H)过点B(-4,0)的直线/交椭圆C于点M，N,直线M4,分别交直线

八尸冏

%=-4于点P,。.求IJ的值.

RDQZl

22

例3.已知椭圆C-.^+^=∖(a>b>t0)的两个焦点是Fi,F2,M(√2,l)在椭圆C上,且

∖MF,∖+∖MF2∖=4,。为坐标原点,直线1与直线OM平行,且与椭圆交于A,B两点.连接

MA、MB与X轴交于点D,E.

(I)求椭圆C的标准方程;

(H)求证：I。。+。El为定值.

练1.已知椭圆C：T+方=i(α>b>0)的离心率为半，过焦点且与X轴垂直的直线

被椭圆C截得的线段长为2.

(I)求椭圆C的方程；

(II)已知点A(1,0),B(4,0),过点A的任意一条直线/与椭圆C交于M,N

两点，求证：IMBl∙∣NA∣=∣MA∣∙∣MB∣.

考点三：其它定值

V22I

例4已知椭圆C:j+Zv=l(a>%>O)的离心率为—，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长

a2h-2

为半径的圆与直线x-y+"=O相切.

(I)求椭圆方程；

(II)设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线/与椭圆C交于P,Q两点(异

于S),直线PS,QS分别交直线x=4于A,8两点.求证：A,B两点的纵坐标之积

为定值.

例5.已知椭圆C：0+匕=l(α>0)的离心率为、一,左、右顶点分别为A3,

a22

点M是椭圆C上异于A,5的一点，直线/闻与V轴交于点尸.

(I)若点P在椭圆C的内部，求直线的斜率的取值范围；

(II)设椭圆C的右焦点为P,点。在y轴上，且AQHBM,求证：ZPFQ为定值.

练1.已知椭圆C:0+4=l(α>b>0)过点尸(1,见)，设它的左、右焦点分别为

ah2

尸1,Fz,左顶点为4,上顶点为8,且满足IA3I=妪I耳工I.

6

(I)求椭圆。的标准方程和离心率；

(II)过点Q(-±0)作不与夕轴垂直的直线/交椭圆C于M,N(异于点两点，试判

断/MXN的大小是否为定值，并说明理由.

例6已知椭圆-=l(α>8>0)的离心率为些，且椭圆经过点(1,X2)

a2b222

(I)求椭圆C的方程；

(Il)已知过点P(4,0)的直线/与椭圆C交于不同的两点A,B与直线X=I交于点Q,

设而=2丽，AQ=∕,ιQB(Λ√∕∈/?),求证：2+〃为定值.

【知诙点二：定点问题】

1.直线过定点问题

方法：要证明直线y=依+机过定点，只需要找到女与加之间的关系即可.

确定定点P(m,"),可以证明ARBRAB任意两个斜率相等即可.

【典型例题】

考点一：近为过定点问题

例1已知椭圆uE+4=l(0>b>0)的离心率为走,且过点4(2,0).

a^b2

(I)求椭圆C的方程；

(H)设M,N是椭圆C上不同于点A的两点,且直线AM,AN的斜率之积等于-工,试问直

4

线MN是否过定点？若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.

练1已知椭圆C:=+二=l(1>b>0)过点(1,虫■)，离心率为卫.过椭圆右顶点

a^b22

A的两条斜率乘积为--的直线分别交椭圆C于M,N两点.

4

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)直线MN是否过定点Q?若过定点。，求出点。的坐标；若不过，请说明理由.

例2已知椭圆c：W+E=im>>>o)的焦距和长半轴长都为2.过椭圆C的右焦点尸作

a^Zr

斜率为M攵HO)的直线/与椭圆C相交于RQ两点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设点A是椭圆C的左顶点，直线4p4。分别与直线％=4相交于点闻,可.

求证：以MN为直径的圆恒过点F.

练2已知椭圆C:31+4^2=12

（1）求椭圆C的离心率

（2）设A,8分别为桶圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AΛ3P分别与x=4相交于

点、M,N,当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过X轴上的定点？试证明你的结论

考点二：定点存在性问题

L已知椭圆必+/m>0)的离心率为容点S)在椭圆。上，直线

y=先与椭圆。交于不同的两点AB.

(I)求椭圆。的方程;

(H)直线Λ4,P8分别交y轴于M,N两点，问：X轴上是否存在点Q,使得

π

NOQN+NOQM=-?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

2

2.已知椭圆G'+方=l(α>b>())的离心率为半，点加0,1)在椭圆C上.

(1)求椭圆。的方程；

(II)设。为原点，过原点的直线(不与X轴垂直)与椭圆C交于跳/V两点，直线4队

4V与X轴分别交于点反五.问：y轴上是否存在定点G,使得/施庐/孙说若存在，求

点G的坐标；若不存在，说明理由.

【小试牛刀】

X2V2

已知椭圆£：r+2v=l(α>b>O)的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2).

a~b

(I)求椭圆E的方程以及离心率；

(H)若直线y=H+m与椭圆E相切于点P,与直线X=T相交于点。.在X轴

是否存在定点M,使MPLMQ?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理

由.

【见图练习——去础篇】

X221

1.★★已知椭圆UF+4v=l(o＞力＞0)经过点Λ∕(2,0),离心率为KAB是椭圆C上两

a~h~2

3

点，且直线。IOb的斜率之积为-Vo为坐标原点.

4

(I)求椭圆C的方程；

(H)若射线CM上的点尸满足IPOl=3|。4|,且/为与椭圆交于点。，求也的值.

2.已知直线/:x=f与椭圆C:三+《=1相交于A,B两点,M是椭圆C上一点.

42

(1)当，=1时，求