江苏省苏州市相城区高三上学期12月阶段性诊断测试数学试题

苏州市相城区2020～2021学年第一学期阶段性诊断测试高三数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.集合，集合，则（）A. B. C. D.2.二项式的展开式的中间项为（）A.－10 B. C.10 D.3.已知随机变量服从正态分布，若，则（）4.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（呱田）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦等于12米，其弧田弧所在的圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为32平方米，则（）A. B. C. D.5.设a，b为正实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的方程为（）A. B. C. D.7.2020年12月13日9时51分，嫦娥五号轨道器和返回器成功进入月地转移轨道，携带月球样本（月壤）的嫦娥五号正式踏上返回地球的旅程.嫦娥五号带回来的月球样本可以让我们更好地了解月球，使得我国成为世界上第三个从月球带回样本的国家.嫦娥五号轨道器在某个阶段的运行轨道是以月心为一个焦点的椭圆.设月球半径为R，若其近月点、远月点离月面的距离大约分别是，，则此阶段嫦娥五号轨道器运行轨道的离心率是（）A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知，则下列不等式成立的有（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.若函数为偶函数，则C.若，则函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D.若，则函数的图象的对称中心为11.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上在第一象限内的一个点，直线与y轴相交于点Q，及为等边三角形，则（）A.双曲线C的渐近线方程为B.双曲线C的离心率为C.若点在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为D.若点在双曲线C上，则点Q的坐标为12.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（）A.在上是增函数 B.的最大值为C.在上有3个零点 D.在上有3个极值点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知，，则______.14.在等差数列中，，，记，则数列的最大项是第______项.15.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为，，……所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：，，……若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为______.16.在平面直角坐标系中，点在直线上，点B，C在圆上，若四边形为正方形，则______；若为直角，则实数m的取值范围是______.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，______.求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题12分）函数.（1）若函数在处的切线方程为，求m的值；（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围.19.（本小题12分）已知等比数列的首项为2，且，，成等差数列.数列的首项为1，前n项和为，且.（1）求等比数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列；（3）若数列的公差为2，数列的前n项和为，求证：.20.（本小题12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式.某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图.将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.（1）求n，p的值；（2）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星读书之星总结男女1055总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的分布列和期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（本小题12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点.22.（本小题12分）已知函数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，；（3）证明：当时，.2020～2021学年第一学期阶段性诊断测试高三数学参考答案一、单选题1.D2.B3.B4.A5.B6.C7.C8.D二、多选题9.BC10.ACD11.BCD12.BC三、填空题13.14.815.16.四、解答题17.解：若选①：由正弦定理得，即，所以，因为，所以.又，，，所以，所以.若选②：由正弦定理得.因为，所以，，化简得，即，因为，所以.又因为，所以，即，所以.若选③：由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为，所以，因为，，所以，所以，，所以.又，，，所以，所以.18.解：（1）由于函数在处的切线方程为，所以，所以，（2）因为对任意，恒成立，即对任意恒成立，令，得对恒成立，法一：令，，由于的图象开口向下，要使在恒成立，只需且，又，，所以.法二：即对恒成立，只需，，令，，由于，所以在上单调递增，所以，所以.19.解（1）由于，，成等差数列，所以，又是等比数列，首项为2，设公比为q，所以有，即，即所以所以（2）因为①所以当时，②①－②得：③法一：④③－④得：所以即所以数列为等差数列；法一：由③式得到，所以，所以即，检验时，上式也成立，所以为常数所以为等差数列.（3）法一：令所以所以所以所以所以法二：所以所以20.解：（1）由频率分布直方图可知，，所以.（2）因为，所以“读书之星”有，从而列联表如下图所示：非读书之星读书之星总结男301545女451055总计7525100将列联表中的数据代入公式计算得，因为3.030＜3.841，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关.（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为.由题意可知，所以，，，，所以X的分布列为X0123P故.21.解（1）因为椭圆的离心率为，即.所以又点在该椭圆上，所以所以，所以椭圆C的标准方程为（2）由于的斜率为k，则联立，得：所以所以，从而即同理，由于的斜率为，则联立得：即所以所以，从而即当时即；时，，过点当时，，即，所以直线过点