高中数学-3.1.2导数的概念课件-新人教A版选修1-1

3.1.1导数的概念1在高台跳水运动中,运发动相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t〔单位：秒〕存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运发动在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto2瞬时速度.在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.又如何求瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

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平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?先求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度4△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=

0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?5

当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.

从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2

时的瞬时速度是–13.1.表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度6瞬时速度我们用

表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.那么,运发动在某一时刻t0的瞬时速度?

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。7探究:1.运发动在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?8定义:函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=

x0处的导数,记作或,即9由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求值一差、二化、三极限17世纪，力学，航海，天文学等方面取得了突飞猛进的开展，这些开展对数学提出了新的要求，它们突出的表现为引言中提到的四类问题，其中两类问题直接导致了导数的产生，一是根据物体路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求曲线的切线。由导数的定义可知，高度关于时间的导数就是跳水运发动的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率；角度关于时间的导数就是瞬时角速度；路程关于时间的导数就是瞬时速度；速度关于时间的导数就是瞬时加速度。实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率，国内生产总值增长率，等等10=6Δx

解：法一（略）法二：（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：

再求再求例1．〔1〕求函数y=在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)11

例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得

在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.12小结：1求物体运动的瞬时速度：〔1〕求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度〔3〕求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：〔1〕求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)(2)求平均变化率〔3求极限练习：(1)求函数y=在x=1处的导数.(2)质点运动的规律为求