2023年北京市西城区中考数学二模试卷（附答案详解）

2023年北京市西城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.右图是某几何体的视图，则该几何体是（）

A.长方体

B.三棱柱

主视图左视图

C.圆锥

△

D.正方体俯视图

2.我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖

1040000000人左右，将1040000000用科学记数法表示应为（）

A.1.04×IO10B.1.04×IO9C.10.4×IO9D.0.104×IO11

3.方程组J=ɜs的解是（）

,χ=l

1B.fιc∙∣MD.

=2{y=2y）=2

4.比C大且比λ∏国小的整数可以是（）

A.1B.3C.5D.7

5.如图，直线AB//C。，直线EF分另IJ交48,CO于点E,F,乙BEF

的平分线交CD点G,若NBEF=II6。，则4EGC的大小是（）

A.116°

B.74°

C.64°

D.58°

6.一个不透明的口袋中有3个红球和1个白球，这四个球除颜色外完全相同.摇匀后，随机从

中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球,则两次摸出小球的颜色相同的概率是（）

35C1D1

----

A.4824

7.实数ɑ在数轴上的位置如图所示，则a,-a,叫/中最大的>

o1

是（）

ʌ-aB.-αC.a2D.-

8.下面的三个问题中都有两个变量：yk

①京沪铁路全程为1463kτn,某次列车的平均速度y（单位：km"）与\

此次列车的全程运行时间x（单位：九）；\

②已知北京市的总面积为1.68X10%机2,人均占有面积y（单位：

olX

∕CT∏2/人）与全市总人口单位：人）；

③某油箱容量是50L的汽车，加满汽油后开了200∕σn时，油箱中汽油大约消耗了/油箱中的剩

油量yL与加满汽油后汽车行驶的路程Xkm.

其中，变量y与变量X之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.若代数式表有意义，则实数X的取值范围是_.

10.己知反比例函数y="的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是.

11.如图，在平面直角坐标系％0y中，点4的坐标为（3,4）,设线段04y∣

与X轴正方向的夹角为α,则tcmα=.|/

O∖I3X

12.用一组a、b的值说明命题“若（12=人2,则。=6”是假命题，这组值可以是a=，

b=.

13.某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，如

表是这三名队员在相同条件下10次射击成绩的数据：

甲乙丙

平均数8.598.8

方差0.250.230.27

如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是

14.如图，∆A=80o,/B=70。，则Nl+N2=

15.如图，在△4BC中，DE∕∕BC,SAADE=4,S四边形DBCE

益的值是.

DC

16.如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次

变化的情况，“T”表示上升，“1”表示下降，“一”则表示名次没有变化.已知每个区县的

名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是,上一年度排在第6,7,8名的

区县依次是.（写出一种符合条件的排序）

名次12345678910

区县ABCDEFGHIJ

变化情况T一I一TI↑I一

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题5.0分）

计算：√-8-4cos45°+φ^1-I-21.

18.（本小题5.0分）

解不等式组［2χ+ι>⅞i,并写出它的所有正整数解.

13%-1≤5

19.（本小题5.0分）

己知：如图1,线段a,b.

求作：矩形ABCD,使得AB=α,BC=b.

m

C

b

IbIAaB

图1图2

作法：如图2.

①在直线I上截取AB=a.

②过点B作直线Tn1I,在直线m上截取BC=b.

③分别以点4和点C为圆心，b,α的长为半径画弧，两弧的交点为D.

（点。与点C在直线/的同侧）

④连接40,CD.

则四边形ABCD为所求的矩形.

根据上面设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：∙∙∙AD=BC=b,AB=DC=a,

•••四边形48CD是平行四边形（）.（填推理的依据）

；直线m11,

.∙.∆ABC=°,

四边形ABCD是矩形（）.（填推理的依据）.

20.（本小题5.0分）

已知α2+α-5=0,求代数式（α-i）÷导的值.

21.（本小题6.0分）

关于X的方程/-3x+τn+l=O有实数根，且m为正整数，求nι的值及此时方程的根.

22.（本小题6.0分）

如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，过点。作4C的平行线交BC的延长线于点E.

(1)求证：BD=DE；

(2)连接OE,若AB=2,BC=4,求OE的长.

23.(本小题5.0分)

为增强居民的反诈骗意识，4B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有

奖问答活动.现从4B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别

对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

aS小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：

50≤X<60,60≤X<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)；

b.A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在80≤x<90这一组的是：

84858586868889

c∙B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表：

分数738182858891929496100

人数1323131411

根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全ɑ中频数分布直方图；

(2)4小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是；B小区参加有奖问答

活动的20名居民成绩的数据的众数是；

(3)为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁

发小奖品.已知4B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共

需要准备多少份小奖品.

.⅛数

O--

9--

8--

7--

6.-

5-

4τ-

3→5-

2•

1匚

0O

60708090100成绩Z分

24.(本小题6.0分)

如图，以菱形ABCD的边力。为直径作。。交力B于点E,连接DB交。。于点M,尸是BC上的一

点，且BF=BE,连接DF.

(1)求证：DM=BM；

(2)求证：。尸是O。的切线.

25.(本小题5.0分)

在平面直角坐标系XOy中，函数y=XX>0)的图象与一次函数y=2x的图象交于点4(α,2).

(1)求α,k的值；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.点P是射线。4上一点，过点P分别作X轴，y轴的垂线交

函数y=g(x>0)的图象于点B,C.将线段PB,PC和函数y=g(x>0)的图象在点%C之间

的部分所围成的区域(不含边界)记为W∙

利用函数图象解决下列问题：

①若点P的横坐标是2,直接写出区域W内整点个数；

②若区域W内恰有5个整点，直接写出点P的横坐标孙的取值范围.

26.(本小题6.0分)

在平面直角坐标系%0y中，点(Xi,yj,(X2,y2)都在抛物线y=ɑ/-2αx+8(α<0)上，且

—1<x1<2,1—m<X2<τn+7.

(1)当m=-2时，比较月,%的大小关系，并说明理由；

(2)若存在Xi，x2,满足yi=y2，求巾的取值范围.

27.(本小题7.0分)

如图，在△4BC中，边AB绕点B顺时针旋转a(0。<α<180。)得到线段80,边AC绕点C逆时

针旋转180。-α得到线段CE,连接DE,点尸是DE的中点.

(1)以点尸为对称中心，作点C关于点F的对称点G,连接BG,DG.

①依题意补全图形，并证明AC=DG；

②求证：4DGB=4ACB；

(2)若a=60。，且FHJ.BC于H,直接写出用等式表示的尸H与BC的数量关系.

28.(本小题7.0分)

在平面直角坐标系XOy中，给定圆C和点P,若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直

线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为4.已知圆。的半径为2,

(1)若点M的坐标为(1,1),则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为,点M关于

圆。的特征值为；

(2)直线y=x+b分别与％,y轴交于点4B,若线段4B上总存在关于圆。的特征值为4的点，

求b的取值范围；

(3)点7是X轴正半轴上一点，圆7的半径为1,点R,S分别在圆。与圆T上，点R关于圆7的特征

值记为r,点S关于圆。的特征值记为s.当点7在X轴正轴上运动时，若存在点R,S,使得r+s=3,

直接写出点7的横坐标t的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何

体是三棱柱，

故选:B.

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.

此题主要考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯

视图为几边形就是几棱柱.

2.【答案】B

【解析】解：将1040000000用科学记数法表示为：1.04×IO9.

故选:B.

科学记数法的表示形式为αX10"的形式，其中l≤∣α∣<10,τι为整数.确定n的值时，要看把原

数变成ɑ时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值≥10时，

n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

3.【答案】C

【解析】解：幺，

(3x-y=5(2)

①+②，可得4x=8,

解得久=2,

把X=2代入①，可得2+y=3,

解得y=1，

•••原方程组的解是

故选：C.

应用加减消元法，求出方程组的解即可.

此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用.

4.【答案】B

【解析】解：∙.∙l<q<2,而3<厂再<4,

••・比，与大且比QZ小的整数可以是2、3,

故选：B.

根据算术平方根的定义估算无理数/2、E的大小即可.

本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提.

5.【答案】D

【解析】解：∙∙∙EG为4BEF的平分线，∆BEF=116°,

.∙./-FEG=58。，

.∙.ΛAEF=180°-116°=64°,

•••直线4B〃CD,

.∙.乙EFG=AEF=64°,

在AEFG中，∆FEG+∆EFG+∆EGF=180°,

•••乙EGF=180°-58°-64°=58°,

乙EGC=58°,

故选：D.

先利用角平分线的性质和平角的性质求出44EF,再利用平行线的性质求出/EFG,最后根据三角

形的内角和即可得出答案.

本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质和平角的性质，熟练掌握性质的内容是解题的关

键.

6.【答案】C

【解析】解：画树状图如下：

红红白红红白红红红

共有12种等可能的结果，其中两次摸出小球的颜色相同的结果有6种,

二两次摸出小球的颜色相同的概率是卷=：,

故选：C.

画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出小球的颜色相同的结果有6种，再由概率公式

求解即可.

此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两

步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

7.【答案】D

【解析】解：根据图示，可得O<α<l,

1

o2

ʌ—α<0,0<α<1,-a>1,

1

・•・-a<a76<a<-j

ʌa,-α,α2,工中最大的是L

aa

故选：D.

根据图示，可得O<Q<1,据此逐项判断即可.

此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边

的数总比左边的数大.

8.【答案】A

【解析】解：由函数图象可知，图中的y是久的反比例函数，

①由题意得，y=手，即y是X的反比例函数，符合题意；

②由题意得，y=l∙68,θ∖即y是X的反比例函数，符合题意;

③由已知可得每升汽油行驶嬴ɪ=16（千米），

4

.∙∙y=50-卷，即y是X的一次函数，不符合题意；

故选:A.

分别求出对应的y与乂的关系，再根据函数图象可知函数图象表示的是反比例函数，由此判断即可.

本题主要考查了函数的图象，正确求出对应的函数关系式是解题的关键.

9.【答案】x≠2

【解析】解：要使代数式工有意义，只需x-2M0,

x-2

ʌ%≠2,

则实数X的取值范围是X≠2,

故答案为：x≠2.

根据分式的分母不能为零求解即可.

本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键.

10.【答案】k<1

【解析】解：•••反比例函数y="的图象位于第二、四象限，

∙*∙k—1<0,

解得kV1，

故答案为：k<1.

根据反比例函数y="的图象位于第二、四象限，可以得到k-l<0,然后求解即可.

本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数

的性质解答.

11.【答案W

【解析】解：如图，过4作力MJ∙X轴于M,

•••4（3,4）,

ʌOM=3,AM=4,则4PMo=90。，

AM4

.∙.tana=-=-.

故答案为：£

过4作AMlX轴于M,根据点A的坐标得出OM=3,AM=4,再根据锐角三角函数的定义得出即

可.

本题考查了解直角三角形等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键.

12.【答案】一3（答案不唯一）3（答案不唯一）

【解析】解：当α=-3,b=3时，满足a?=炉，但α=-b.

故答案为-3（答案不唯一），3（答案不唯一）

通过ɑ取-3,b取3可说明命题“若a?=b2,则α=b”是错误的.

本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要

说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即

可.

13.【答案】乙

【解析】解：TX乙>X丙>X甲，且s；<Sa<sj.,

••・选择乙参赛.

故答案为：乙.

选择平均数较大且方差较小的参加比赛即可.

本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平

均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据

偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.也考查了平均数.

14.【答案】150°

【解析】解：:四边形的内角和为360。，

.∙.∆ADC+乙BCD=360o-∆A-∆B=360°-80°-70°=210°,

而Nl+42=180o-∆ADC+180°-乙BCD=360o-（N力CD+乙BCD）,

.∙.Zl+Z2=360°-210°=150°.

故答案为：150。.

首先根据四边形的内角和求出乙4DC+乙BCD,然后利用邻补角的性质即可求解.

此题主要考查了多边形的内角与外角，同时也利用了邻补角的定义，比较简单.

15.【答案】I

【解析】解：∙∙∙SAADE~%S四边形DBCE=5,

••・SAABC=^hADE+S四边形DBCE=4+5=9,

•・・DE∕∕BCf

，△ADE^ΔABC,

∙∙∙2=莓）2,即喘）2=小

32ABC、BC，9

,DE_2

λBC=3'

故答案为:

根据题意可得SAABC=SAADE+S四边形DBCE=9,易证△ADESAABC,利用相似三角形的面积比等

于相似比的平方即可求解.

本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.

16.【答案】CE用或H£7

【解析】解：••・4的名次上升了，且最多上升了两位，同时C的名次下降了，且最多下降2位，

又”B的名次没有变化，

上一年度排在前三位分别是C、B、A；

又∙∙∙E的名次下降，且前四名已经确定，

•••上一年度F排在第5名；

同理：上一年度G排在第9名；

E排在第6名，则H排在第7名：/排在第8名：

或E排在第7名，则H排在第6名；/排在第8名；

所以上一年度排在第6,7,8名的区县依次是EH/或HE/.

故答案为：C,EH/或HE/.

结合图表及选项对年度GDP的上升及下降情况进行分析，选出正确答案.

此题考查了推理与论证，难度稍大，锻炼了考生的逻辑思维和综合推断能力.

17.【答案】解：√^8-4cos45o+G）T-I—2|

——2y∕~2-4×-ɪ^■F3-2

=2y∏,-2>∏,+3-2

1.

【解析】直接利用负整数指数募的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答

案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.【答案】解：卜+1>?①，

（3x-1≤5@

解①得：X>-1,

解②得：x≤2,

•••不等式组的解集为：-l<x≤2,

则它的所有正整数解为1,2.

【解析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，

然后再确定所有正整数解.

此题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，关键是掌握不等式组确

定解集的方法.

19.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形90有一个角是90。的平行四边形是矩形

【解析】（1）解：图形如图所示：

（2）证明：∙.∙4D=BC=b,AB=DC=a,

二四边形ABCC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）,

•••直线m11,

.∙./.ABC=90。，

••・四边形ABCD是矩形（有一个角是90。的平行四边形是矩形）.

故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，90,有一个角是90。的平行四边形是矩形.

(1)根据要求作出图形；

(2)根据有一个角是90。的平行四边形是矩形证明即可.

本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

20.【答案】解：原式=([_》.若

2

=-(-α--+--l-)-(-α----1-)----a--

aa—1

=α(α+1)

=α2÷α,

•・,Q2+Q-5=o,

ʌα2÷α=5,

则原式=5.

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案.

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

21.【答案】解：・.・关于式的方程/-3x+m+1=0有实数根，

=9

T+5->O

5

解得<-

Tn-4

・・・m为正整数，

∙∙m=lf

原方程可化为M-3x+2=0,

解得：XI=2,X2=1-

【解析】直接利用根的判别式得出m的取值范围，求得m=l,进而解方程得出答案.

此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键.

22.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，AD∕∕BC,AD=BC,

AD//CE.

-Ac//DE.

，四边形ACED是平行四边形.

・•・TlC=DE.

在矩形ABe。中，AC=BD,

.•・BD=DE

在矩形ABCC中，AC=BD,且4C与2。交于点。，

：•OB=OC=OA.

：.BH=HC.OH=^AB,

VAB=2,BC=4,

.∙.OH=1,HC=2.

在平行四边形4CED中，AD=CE.

：.CE=BC=4.

.∙.HE=6.

在RtΔOHE中，OE=√OH2+HE2=√^37∙

【解析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=B。，对边平行可得4B〃CO,再求出四边形ABEC是

平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=BE,从而得证；

（2）如图，过点。作。F_LCZ）于点F,欲求0E,只需在直角AOEF中求得OF、FE的值即可.OF结

合三角形中位线求得EF,结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形

是解题的关键.

23.【答案】88.894

【解析】解：（1）由题意可知，4小区"70≤X<80”的频数为：20—1-1-7-9=2,

补全α中频数分布直方图如下：

频数

O

9

8

7

6

5

4

3

2

P

50608090100成绚分

(2)月小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是：誓=88.5；

B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是94.

故答案为：88.5；94；

aIn

(3)套X2000+%X2000=1900(份)，

答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品.

(1)用样本容量减去其他四组的频数，可得"70≤%<80”的频数，进而补全ɑ中频数分布直方图:

(2)根据中位数和众数的定义解答即可:

⑶用2000分别乘样本中4,B两个小区大于或等于90分所占比例即可.

本题考查的是频数分布直方图.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

24.【答案】证明：(1)如图，连接AM,

•••4。是G)O的直径，

4AMD=90°,

即AM1DB.

••・四边形4BCD是菱形，

•••AD-AB>

.∙.DM=BM-.

(2)如图，连接DE,

「AO是。。的直径，

.∙.∆AED=乙BED=90°,

•••四边形ABCZ)是菱形，

，Z-ABD=Z-CBD,

又∙.∙BF=BE,BD=BD,

:4BEDm4BFD(SAS),

：.乙BFD=4BED=90°,

乙CFD=90°,

-AD//BC,

：.∆ADF=4CFD=90°,

ʌDFIAD.

。。是半径，

.∙∙DF是。。的切线.

【解析】(1)根据圆周角定理，菱形的性质以及等腰三角形的性质可得结论；

(2)利用菱形的性质，全等三角形的判定和性质以及圆周角定理得出NBFo=ACFD=90。，再根

据平行线的性质可得ZD1CF即可.

本题考查切线的性质，圆周角定理，菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定

方法，圆周角定理、菱形的性质是正确解答的前提.

25.【答案】解：(1)T函数y=B(X>0)的图象与一次函数y=2x的图象交于点4(a,2).

：•2=2af

・•・Q=1,

・・・点A(1,2),

•・•反比例函数y=*(x>0)过点4,

ʌk=1×2=2；

(2)①∙.∙点P为射线OA上一点，点P的横坐标是2,

ʌP(2,4),

将X=2代入y=:中，得y-1.

将y=4代入y=：中，得X=；，

•••PB,PC分别垂直于X轴和y轴，

.∙∙B(2,1),吗4),

如图,

结合函数图象可知，区域W内有1个整点;

②如图，

【解析】(1)将点4坐标代入解析式，可求α,k的值；

(2)①先求出点P坐标，结合函数图象可求解；

②结合函数图象可求解.

本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的

关键.

26.【答案】解：抛物线、=。/-2£1%+8(£1<0)的对称轴为直线％=-萨=1,开口向下；

(1)V—1<X1<2,

2

ʌy1>a×(-1)—2QX(-1)+8,即>3α+8；

当Tn=-2时，3V%2<5,

・•・为<QX32-2aX3+8,即y2<3α+8；

・・・力>y2;

,

(2).∙1—m<x2<m+7,

ʌ1—m<m+7,

・•・m>—3,

•・•存在％i，X2满足为=乃，-1<ɪi<2,

.∙.1—m<3,

ʌm>—2,

综上所述，Tn的取值范围是徵>-2.

【解析】抛物线y=ax2-2ax+8(α<0)的对称轴为直线久=1,开口向下；

(1)由—1VXIV2,得力>3α÷8；当m=-2时，3<x2<可得y2V3Q+8；故JΛ1>y2;

(2)由1—mVτn+7,得m>—3,根据存在不，X2»满足丫1=丫2，—1VXlV2,知1—mV3,

m>-2,即可得m的取值范围是Zn>-2.

本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质.

27.【答案】（1）①证明：如图所示:

•・・边AC绕点C1逆时针旋转180。-a得到线段CE,

・•・TlC=CE,

点产是DE的中点,

・・・DF=EFf

・・・点C与点G关于点尸对称,

ʌCF=GF,

VZ-DFG=∆EFCf

.∙.∆DFG≡∆FFC(STIS),

ʌDG=CE,

，AC=DG↑

②证明：∙.∙边AB绕点B顺时针旋转a(0。<α<180。)得到线段BD,

.∙.BD—BAf

设乙4CB=%,Z-ABC=y,

则4B∕C=180o-(x+y),

・•・在四边形BDEC中，

乙BDE÷Z-CED=360°-乙DBC-乙BCE=180o-(%+y),

,∙,ΔDFGEFC,

・•・∆GDF=Z-CEFf

ʌ∆BDG=乙BDE+乙GDF=180o-(x+y),

•∙・Z-BDG=Z-BAC,

.MBDGZABAC(SAS),

：•Z-DGB=Z.ACB；

(2)解：FH=WBC∙

4

理由如下：

如图，连接BF,

由(1)②知：ABDG三ABAC,

・•・BG=BC,ZJ)BG=∆BAC,

•・,a—60o,

・∙・Z-GBC=∆GBA÷Z.BAC=Z-GBA+乙DBG=乙DBA=60°,

•・・GF=CF,

.∙.BF1GC,/.CBF=AGBF=：4GBC=30°,

•・・FH1BC,

・•・Z-CAH=30o,

FHCF

・•・CQS∆CAH—CoS30°=sin∆CBA=sin30o=—,

CFBC

FHCF.√-3J1

=CoS3on0o∙sιn3o0no=F-×-»

CrDLLL

：・——FH=-<-3,

BC4

即FH=4⅛.

4

【解析】(1)①按题意补全图形即可；

利用SAS证明△Z)FG=ΔEFC,利用全等三角形的性质即可证明4C=DG；

②设法证明ZBDG=∆BAC,利用SAS证明△BDG=LBAC即可证明NoGB=∆ACBi

(2)连接8F,利用(I)②的结论，证明AFBC是含30。角的直角三角形，再利用三角函数或含30。角

直角三角形的三边关系，即探究出F”与BC的数量关系.

本题是一道三角形的综合题，涉及旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和

性质，三角函数定义，本题的难点在于NBDG和NBAC相等关系的确定.

28.【答案】2<23

【解析】解：(1)设经过点M的直线与。。交于E、尸两点,

过点。作。HlE尸于H,连接OM、OE,

在Rt△OEH中,

EH=√OE2-OH2=√4-OH2.

当OH最大时，EH最小，即此时EF最小，

・・・点M的坐标为（1,1）,

OM=√I2÷I2=√-2,

・・・OH≤0M,

・•・当点H与点M重合时，

.・・。”有最大值「，

・•・此时EH有最小值为J”（。）2=。，

EF的最小值为2/讶，

•••过点M的直线被。。截得的弦长的最大值为4（直径），

・•・被。。截得的弦长取值范围为2√^至≤X≤4，

••・被。。截得的弦长为正整数的只有是3或4,

•••被。。截得的弦长为3的弦有2条，被。。截得的弦长为4的弦只有1条,

・・•点M关于。。的特征值为3,

故答案为：2Λ∕"2,3；

（2）设点G是。