河北省衡水中学2023年数学高二第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学

们做了如下的猜想

甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取

同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取

同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取

同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取

结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对

那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）

A.北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学

B.武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学

C.清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学

D.武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学

2.若曲线y=d+20χ上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数。等于（）

A.0B.1C.-2D.-1

3.已知A={a"(α)=O},B={尸"伊)=0},若存在αGA∕∈B,使得Ia-4|<1,则称/(x)与g(x)互为“1

3

1—XH—,一2<X≤0

2

度零点函数”，若/(x)=,与g(x)=f一"lnx（α>O）互为“1度零点函数”，则实数。的取

3

+l,x>0

x2-X÷1

值范围为（）

2喘

A.(0,2e)B.[2e,+∞)C.

4.计算2C+3A；的值是（

A.72B.102C.5070D.5100

5.若XN<μ,σ∖,则P(〃一b<X<"+b)=().6827,尸(〃—2b<X<〃+2b)=0.9545.设一批白炽灯的寿

命(单位：小时)服从均值为IOO0,方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则()

A.这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186

B.这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186

C.这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545

D.这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545

TTJT

6.已知AABC中，AB=2,B=-,C=-,点尸是边BC的中点，则APBC等于()

46

A.1B.2C.3D.4

7.对33000分解质因数得33000=2'x3x53xll,则33(XX)的正偶数因数的个数是()

A.48B.72C.64D.96

(iΣ-22+4≥0

8.设实数二二满足约束条件二+二--目一，已知二=二二十二的最大值是一,最小值是一一，则实数二的值为()

l□-□□-2≤0

A.6B.-6C.-JD.J

9.在∙5C中，，-r现将,二-绕二「所在直线旋转至设二面角2_-：；'—的大小为g，aa⅝

∆ACB=≡-

平面”匚所成角为,,?匚与平面？厂5所成角为£，若：<夕<二，则()

AB

-a>∂-β<θCnVIJD∙≈rJJ

D≤er≤-B<二

10.已知某批零件的长度误差4(单位:毫米)服从正态分布N(l,32),从中随机取一件.其长度误差落在区间(4,7)内的

概率为()

(附:若随机变量<服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ}≈68.26%,

—2cr<。<〃+2cr)≈95.44%)

A.4.56%B.13.59%C.27.18%31.74%

11.已知向量。=(—5,5),6=(0,—3),则α与b的夹角为()

3π

D.

C号

12.已知i为虚数单位，复数二满足(l-i)z=i,在复平面内2所对的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线y=依+〃是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+l)的切线，则ZJ=.

14.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为α,b,c,且M加4=ɑeos/+，b=2,若满足条件的AABC

有且仅有一个，则α的取值范围是.

15.观察下列等式：

(1+1)=2×1

(2+l)(2+2)=22×l×3

(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

按此规律，第〃个等式可为.

16.如图为某几何体的三视图，则其侧面积为

£如AltM给NA

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某学校高三年级有学生IOOO名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另

外250名同学不经常参加体育锻炼(称为8类同学)，现用分层抽样方法(按A类、8类分二层)从该年级的学生中

共抽查100名同学.

(1)测得该年级所抽查的100名同学身高(单位：厘米)频率分布直方图如图，按照统计学原理，根据频率分布直

方图计算这IOO名学生身高数据的平均数和中位数(单位精确到0.01)；

(2)如果以身高达到170所作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到列联表:

体育锻炼与身高达标2x2列联表

身高达标身高不达标合计

积极参加体育锻炼60

不积极参加体育锻炼10

合计100

①完成上表;

②请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？

n(ad-bc)"

参考公式：K?=

(α+⅛)(c+tZ)(α+c)(⅛+

参考数据:

2

p(κ≥k)0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)已知平面直角坐标系Xoy中，直线I的参数方程为］一r'(t为参数，OWaVn且aw】)，以

y=√3+sina2

原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=26.已知直线I与曲线C交于A、B两

点，且IABI=26.

(1)求a的大小：

(2)过A、B分别作I的垂线与X轴交于M,N两点，求IMNI.

19.(12分)如图，在四棱锥姐切中，底面地切为平行四边形，NAV345。，

AD=AC=I,。为AC的中点，ABCD,PO=I,M为PD的中点.

(I)证明：PB〃平面ACM；

(II)设直线AM与平面ABCD所成的角为a,二面角M-AC-B的大小

为少，求sina∙cos∕?的值.

P

近，

fXr——t,

20.(12分)已知在平面直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程是J2(t是参数)，以原点O为极点，X

γ=^r+4√2

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。=2CoSa+?

(1)判断直线/与曲线C的位置关系;

(2)设点M(X,y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围.

21.(12分)已知抛物线y2=4x,过焦点/作斜率为人的直线交抛物线于AS两点.

(1)若IABl=5,求匕；

(2)过焦点尸再作斜率为八的直线交抛物线于C、D两点,且M、N分别是线段A&Cz)的中点，若勺+々=1,

证明：直线MN过定点.

22.(10分)如图，在正四棱柱ABa>—44GR中，已知AB=2,A41=5,

E、F分别为R。、BIB上的点,且。E=4F=1.

(1)求证：BE_L平面ACF；

⑵求点E到平面ACF的距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.

【详解】

根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，

曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学

(另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足).

故选：D.

【点睛】

本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.

2、B

【解析】

求出原函数的导函数,由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0,进一步求解关于a的不等

式得答案.

【详解】

解:由y=x3-2axi+20x,得y'=3x2-4ax+2a,

曲线C:y=V-20√+2依上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，

对任意实数X,3X2-4ax+2a>0恒成立，

.∙.Λ=(Ta)?-4*3χ2α<0.

3

解得:0<a<一.

2

整数"的值为L

故答案为B

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,考查

了数学转化思想方法,是中档题.

3、B

【解析】

通过题意先求出函数/(x)的零点，根据Ia-刈<1计算出函数g(x)的零点范围，继而求出实数"的取值范围

【详解】

315

令/(χ)=o,当ι-χ+]=o时，X-——或x=一二

222

—2<%≤(),/.X=—

2

3

当一一ʌ--------+1=0时，解得玉=T,x=2

X—x+12

∙.∙χ>(),.*.X=2

若存在Z?为“1度零点函数”，不妨令g(Λo)=0

由题意可得：∙⅞+/<1或IX-2∣<1

即—~<玉)<5或1<%0<3

gGo)=XQ-abvc0=0

._⅞2

..u=-----

砥

设MX)==，h∖x)=2xlnx~x=0

当0<x<G时，Λ,(x)<O,MX)是减函数

当X>五时,∕z'(x)>O,∕z(x)是增函数

MJ^)=2e,当χ.l时，MX).+oo,由题意满足存在性

实数。的取值范围为[2e,+8)

故选B

【点睛】

本题给出了新定义，按照新定义内容考查了函数零点问题，结合零点运用导数分离参量，求出函数的单调性，给出参

量的取值范围，本题较为综合，需要转化思想和函数思想，有一定难度。

4、B

【解析】

根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值.

【详解】

7×6

依题意，原式=2C；+3&=2X——+3×5×4=42+60=102,故选B.

2x1

【点睛】

本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题.

5、A

【解析】

先求出再求出和即得这只白炽灯的寿命在小时

4=1000,σ=20,P(980<X<1020)P(1020<X<1040),980

到1040小时之间的概率.

【详解】

2

Vχz=1000,σ=400..".//=1000,σ=20,

所以P(980<X<1020)=P(〃一b<X<M+b)=0∙6827,

P(Io20<X<1040)=0-9545ɪ0'6827,

(1

：.P(980<X<1040)=0.6827+9545,6827=。用186.

故选：A

【点睛】

本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析

推理能力.

6、B

【解析】

利用正弦定理求出AC的值，用基底AAAC表示AP=空」*，BC=AC-AB.则可以得到4P・BC的值.

2

【详解】

b

解：在ΔA3C中，由正弦定理」4得，

SinASinBsinC

2_AC

ABAC

,即7

sinCSinB五

22

解得AC=2&，

因为AP=45+4C,BCAC-AB>

2

所以AP∙BC="B+AC.（AC-AB）=L（A一AB?）=L（8-4）=2

222

故选B.

【点睛】

本题考查了正弦定理、向量分解、向量数量积等问题，解题的关键是要将目标向量转化为基向量，从而求解问题.

7、A

【解析】

分析：分33（XX）的因数由若干个2、若干个3、若干个5、若干个11相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数

个数，减去不含2的因数个数即可得结果.

详解：33000的因数由若干个2（共有2∖22,2∣,2°四种情况），

若干个3（共有3,30两种情况），

若干个5（共有53,52,5∣,5°四种情况），

若干个11（共有Illl1°两种情况），

由分步计数乘法原理可得33000的因数共有4X2X4X2=64,

不含2的共有2x4x2=16,

•••正偶数因数的个数有64-16=48个，

即33000的正偶数因数的个数是48,故选A.

点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题

交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是

分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才

能提高准确率.

8、D

【解析】

试题分析：画出不等式组表示的区域如图，从图形中看出当αV0不成立，故&之0,当直线•二二一1经过点

3—=.二一时，取最大值J即解之得4=1，所以应选D.

a+l。+1房；错

考点：线性规划的知识及逆向运用.

【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的求参数值的问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确

的画出满足题设条件.三.+三一八］7的平面区域,然后分类讨论参数二的符号,进而移动直线-一-），发现当该直

I二一二二TS0

,4Λ*22、命%

BD∖-----.----）.--------=?

线经过点a-∖α-l时取得最大值，以此建立方程也喝：1,通过解方程求出参数的值.

9、C

【解析】

由题意画出图形，由线面角的概念可得,的范围，得到t正确，取特殊情况说明用，三，二错误.

【详解】

如图，

可得E匚一平面向IT.∙.二面角P-ar-4的大小■=2jcp,

二是平面一:「的一条斜线，则NL与平面垂直时，二E与平面_二~所成角最大，贝（.的范围为1，_，故《正确;

此时:T，故T错误；

当Pt与平面.r5匚垂直时，三棱锥二-PdE满足二一一CTCALCPtCBlCPtCA=CB=CPt

贝UPA=PB-,λB,设M=BC=1,则/M=PB=.AS'=∖N潍平面射的射影为"八5的中心，

求得r,，即PU与平面二酒所成角g的余弦值f贝Q一，故D错误；

当d无限接近O时，二无限接近,£::二，故5错误.

综上，正确的选项是「

故选：

【点睛】

本题考查空间角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题.

10、B

【解析】

利用3b原则，分别求出尸(一2<J<4),P(-5<J<7)的值，再利用对称性求出P(4<ξ<7)=13.59%.

【详解】

正态分布N(l,3?)中，"=l,b=3,

所以P(-2<⅞<4)=P(l-3<⅞<l+3)≈68.26%,

P(—5<J<7)=P(1-2x3<J<l+2x3)≈95.44%,

所以P(4<J<7)=P(-5<1<7);P(-2<g<4)标13.59%,故选B.

【点睛】

本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.

11、D

【解析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得CoSe的值，据此分析可得答案.

【详解】

设a与人的夹角为8,由。、ZJ的坐标可得IaI=5血，∣=3,a*b=-5×0+5×(-3)=-15,

故CoSe=*3)=一交,4i(0,P)所以e=当.

5√2×32v74

故选D

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

12、B

【解析】

化简得到z=-'+^i,得到答案.

【详解】

..iz(l+z)Z-I11.

(l-z)z=Z,故Z=∙;_=~~~-Tτ∙=--=故对应点在第二象限.

1-z:(l-z)(l+z)222

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的化简，对应象限，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1-1∏2

【解析】

试题分析：对函数y=lnx+2求导得y'=L,对y=ln(x+l)求导得y'=」一，设直线y=丘+人与曲线y=lnx+2

Xx+l

相切于点I(XI,χ),与曲线y=in(九+1)相切于点与(工2，必)，则y=皿玉+2,M=皿/+1),由点[(再,切)在切线

上得y-(In玉+2)=一(%-%)，由点右(％,%)在切线上得ʃ-ɪʤ+D=ɪ-。一马)，这两条直线表示同一条直

X[X)*11

fl1

—=

线，所以，解得x∣=J,.∙.Z=-!"=2,0=InXl+2-l=l-ln2.

,ʌ.2x,+l2x

ln(‰+1)=In七—-~—l

VX*,÷1

【考点】导数的几何意义

【名师点睛】函数f(X)在点Xo处的导数f,(χo)的几何意义是曲线y=f(X)在点P(χo,y。)处的切线的斜率.相

应地，切线方程为y-yo=f'(χo)(X-Xo).

注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同.

14、α=血II或OVaS2

3

【解析】

先根据2加E4=小(8+看)求得SinB,结合正弦定理及解的个数来确定a的取值范围.

【详解】

因为2加加4=αcOS(B+高，所以2sinBSinA=SinAcos(B+^),

由于在三角形中SinAH0,所以2sinB=COS(B+2)=cosBcos-sinBsin,即CoSB=EɪsinB，

6663

/77

因为sin?B+cos?B=1，所以sin3=------

14

由正弦定理可得SinA=-SinB=-α,

b28

因为满足条件的A48C有且仅有一个，

所以SinA=I或者sinA≤sin3,

所以α=生包或者0<a≤2.

3

【点睛】

本题主要考查利用三角形解的个数求解参数的范围，三角形解的个数一般可以利用几何法或者代数法来求解，侧重考

查逻辑推理的核心素养.

15、(n+l)(n+2)...(n÷n)=2n×l×3×...×(2n-l)

【解析】

试题分析：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个

等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为:

(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n),

每个等式的右边都是2的几次哥乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数,

由此可知第n个等式的右边为2"∙1∙3∙5…(2n-l).

所以第n个等式可为(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2rt∙l∙3∙5...(2n-l).

16^4乃

【解析】

根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.

【详解】

由三视图可知，几何体为底面半径为1,高为后的圆锥

圆锥的母线长为：JlrR=4

，圆锥的侧面积：S=万xlx4=4万

本题正确结果：4;T

【点睛】

本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)174,174.55；(2)①列联表见解析；②95%.

【解析】

(1)根据频率分布直方图的平均数与中位数的公式即可求解；

(2)①根据频率分布直方图求出身高达标与不达标的比例，结合积极参加体育锻炼和不积极参加体育锻炼的比例，完

成表格；②根据公式计算出K?即可下结论.

【详解】

(1)平均数155x0.1+165x0.15+175x0.55+185x0.15+195x0.05=174,

前两组频率之和为0∙25,前三组频率之和为0.8,所以中位数在第三组

025

中位数为170+6万Xlo=I74.55.

(2)根据频率分布直方图可得身高不达标所占频率为0.25,达标所占频率为0∙75,

所以身高不达标25人，达标75人，

根据分层抽样抽取的积极参加体育锻炼75人，不积极参加体育锻炼的25人,

所以表格为：

身高达标身高不达标合计

积极参加体育锻炼601575

不积极参加体育锻炼151025

合计7525IOO

假设体育锻炼与身高达标没有关系

^J00x(60xl0-15x⅛=4>384i

75×25×75×25

所以有95%把握认为体育锻炼与身高达标有关系.

【点睛】

此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，计算指定组的频率，完成列联表进行独立性检验，关键在于数量掌

握相关数据的求解方法，准确计算并下结论.

Tl

18、(1)a=-；(2)4.

6

【解析】

（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出结果.

（2）直接利用关系式求出结果.

【详解】

x=~3÷tcosɑH

（1）由已知直线I的参数方程为:L(t为参数，0<aVn且a^ʌ),

r√3+tsi∏a'2

贝!j：ta∏αχ-y+3ta∏α+y=o,

V∣OA∣=∣OB∣=2√3>∣AB∣=2√3,

.-.O到直线I的距离为3,

∣3ta∏α+yI

则3=

Vtan2ɑ-+1

解之得ta∏α

O

JT

VO≤tt∙≤π且CIHz----9

2

・兀

..a=^—

6

（2）直接利用关系式，

解得：IMNl==4∙

cos30

【点睛】

本题主要考查了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用.

19、（1）证明见解析（2）以近

5

【解析】试题分析：（1）连接BD,MO,在平行四边形ABCD中，由O为AC的中点，知O为BD的中点，再由M

为PD的中点，知PB〃MO,由此能够证明PB〃平面ACM.

（2）取Do中点N,连接MN,AN,由M为PD的中点，知MN〃PO,且MN.PO=1,由PO_L平面ABCD,得

MN，平面ABCD,故NMAN是直线AM与平面ABCD所成的角，由此能求出直线AM与平面ABCD所成角的正切

值.

(1)证明：连接BD,MO,在平行四边形ABCD中,

为AC的中点，,O为BD的中点，

又TM为PD的中点，

ΛPB/7MO,

TPBC平面ACM,MoU平面ACM,

.∙.PB〃平面ACM.

(2)解：取DO中点N,连接MN,AN,

∙.∙M为PD的中点，

...MN〃PO,且MN=⅛PO=1,

2

由Pol•平面ABCD,得MNI.平面ABCD,

二ZMAN是直线AM与平面ABCD所成的角，

在RtADAo中，∙.'AD=1,AO=-,ZDAO=90o,,DO=立,

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角.

20、(1)相离；(2)[-√^,√2].

【解析】

试题分析：

本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系的

判断.(1)把直线、曲线方程化为直角坐标方程后根据圆心到直线的距离和半径的关系判断即可.(2)利用圆的参数

方程，根据点到直线的距离公式和三角函数的知识求解.

试题解析：

f色

X=-----1

(1)由「2,消去，得直线的普通方程为：y=x+4√Σ

^r÷4√2

12

由0=2CoS6+工，得夕=2CoSgCOS2一2sinSsin工=>∕2cosθ-V2sin.

k4；44

：・p1=0夕COSe-夜夕Sin6,

2

即X-y∕2x+y2+y∕2y=0.

化为标准方程得：]%一¥+[?+*)=L

f√2⑻

**•圆心坐标为口-,---,半径为1,

I22J

√2也+4√Σ

-----1_

,：圆心到直线x—y+40=0的距离22,

d=-------—ʒ=---------=5>1

√2

：.直线/与曲线C相离.

√2

X==——+cosθ

ɔ

(2)由M(X,y)为曲线C上任意一点，可设‹L(0<θ≤2τr),

)'=------+sιnθ

2

贝!]x+y=Sine+cos6=V∑sin(e+(J,

∙.∙0<e≤2τr,

.∙.-√2≤√2sin^+^≤√2

.∙.X+>的取值范围是[-√2,√2].

21、(1)占=±2；(2)证明见解析

【解析】

(1)设A(x∣,y),B[x2,y2),联立直线AB的方程和抛物线方程可得%+/,然后利用

左]

IAB