2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步培优训练(附答案)

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步培优训练（附答案）1．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2+S3B．S1＝S2+S3C．S1＞S2+S3D．无法确定S1与（S2+S3）的大小2．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（）处．A．1B．2C．3D．43．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝5cm，则PD的长可以是（）A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm4．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝8，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，若CD＝CE，则BE的长为（）A．4B．C．D．35．如图，在△ABC中，点O是△OAB内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．95°B．115°C．125°D．130°6．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（）A．20B．30C．50D．1007．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．35°8．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线9．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E点，AB＝6cm，BC＝4cm，S△ABC＝10cm2，则DE的长度为（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm10．如图，在△ABC中，BD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝4，BC＝6，DF＝2，则AE的长为（）A．3B．C．D．11．如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝2，如果E是射线OB上一点，那么CE长度的最小值是．12．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为．13．如图，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，AG＝16，AE＝8，若S△ADG＝64，则△DEF的面积为．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC长是．15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为cm2．16．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是．17．如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E．（1）若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；（2）直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．18．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是64cm2，AB＝20cm，AC＝12cm，求DE的长．19．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．（1）求证：CP平分∠ACB；（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．20．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB．21．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．参考答案1．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，∵P是△ABC的三条角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，∵AB＜AC+BC，∴S1＜S2+S3．故选：A．2．解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE＝PF，PF＝PD，∴PE＝PF＝PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点共有4个，∴可供选择的地址有4处．故选：D．3．解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，∴PD＝PC，∵PC＝5cm，∴PD＝5（cm），即PD的最小值是5cm，∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，故选：D．4．解：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵∠CDE＝∠A+∠ABD，∠CED＝∠BCE+∠CBE，∴∠A＝∠BCE，在△ABD与△CBE中，∠A＝∠BCE，∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∴BE＝故选：A．5．解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵点O到△ABC三边的距离相等，∴点O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB，，＝＝4，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°，故选：B．6．解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝故选：C．7．解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，∵∠CAB＝40°，∴∠BAF＝140°，∴∠EAB＝70°，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝65°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，故选：C．，8．解：∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，∴这个点是三角形三条角平分线的交点．故选：A．9．解：过D作DF⊥BC交BC延长线于F，∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE，∵S△ABC＝10cm2，AB＝6cm，BC＝4cm，∴×BC×DF+×AB×DE＝10（cm），∴×4×DE+×6×DE＝10（cm），∴DE＝2（cm），故选：B．10．解：如图所示，过D作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∵AE⊥BC，∴BC×AE＝AB×DF+BC×DH，即6AE＝4×2+6×2，∴AE＝，故选：C．11．解：过点C作CE⊥OB于点E，∵点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝2，∴CE＝CD＝2，即CE长度的最小值是2，故答案为：2．12．解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×100°＝50°，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．13．解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵S△ADG＝64，∴×AG×DH＝64，∴DH＝＝8，∵AD是△ABC的平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∵DF＝DH＝8，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴EF＝HG，同理可得Rt△ADF≌Rt△ADH，∴AF＝AH，∵EF＝AF﹣AE＝AH﹣AE＝AG﹣HG﹣AE＝16﹣EF﹣8，∴EF＝4，∴S△DEF＝×EF×DF＝×4×8＝16．故答案为16．14．解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝2，∵S△ABC＝10，∴×AB×DE+×AC×DF＝10，即×4×2+×AC×2＝10，解得，AC＝6，故答案为：6．15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．16．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，∵点P是△ABC三条角平分线的交点，∴PE＝PF＝PD＝5，∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC＝PD•AB+PE•BC+PF•AC＝（AB+BC+AC）＝×20＝50，故答案为：50．17．解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝75°，∴∠ACB＝50°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝25°，∵∠B＝75°，CD⊥AB，∴∠BCD＝15°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝25°﹣15°＝10°，即∠DCE的度数是10°；（2）∠DCE＝（∠B﹣∠A），理由：∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，CE平分∠ACB，∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°﹣∠B，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠A﹣∠B﹣90°+∠B＝（∠B﹣∠A），即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．18．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×20×DE+×12×DF＝64，即10DE+6DE＝64，∴DE＝4（cm）．答：DE的长为4cm．19．（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，∵P是△ABC角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∴CP平分∠ACB；（2）解：∵∠CAB＝60°，∴∠PAB＝30°，在Rt△PAD中，PA＝4，∴PD＝2，∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA＝AB•PD+BC•PE+CA•PF＝（AB+BC+CA）•PD＝×20×2＝20．20．证明：过E点作EF⊥AB于F，如图，∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EF⊥AB，∴EC＝EF，∵E是CD的中点，∴ED＝EC，∴EF＝ED，而EF⊥AB，ED⊥AD，∴AE平分∠DAB．21．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40