中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第六讲 锐角三角函数及其应用-满分之路（原卷版）

模块四三角形第六讲锐角三角函数及其应用知识梳理夯实基础知识点1：锐角三角形锐角三角形函数的定义在中，，，，的对边分别为，，。的正弦：的余弦：的正切：互余两角的三角函数关系若则知识点2：特殊角的三角函数值图表记忆三角函数图形记忆30°45°60°1规律记忆30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。知识点3：解直角三角形的常用关系常见关系三边关系（勾股定理）两锐角间关系边角关系面积关系解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助。知识点4：解直角三角形的实际应用概念定义图形俯角、仰角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan

α=.方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向).测量物体高度的常见三角形模型（1）利用水平距离测量物体的高度（）（2）测量底部可以到达的物体的高度（）（3）测量底部不可达到的物体的高度（）直击中考胜券在握1．(2023·天津中考）的值等于（）A． B． C．1 D．22．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝3．在Rt中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或4．在中，，，则的值为（）A． B． C． D．5．(2023·安徽省中考）如图，中，，点在上，．若，则的长度为（）A． B． C． D．6．如图，在中，，于，下列结论错误的有（）个①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.A．0 B．l C．2 D．37．在△ABC中，若|cosA-|+（1-tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°8.如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（）.A．2 B． C． D．19．(2023·云南中考）在中，，若，则的长是（）A． B． C．60 D．8010．(2023·桂林中考）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A． B． C． D．11．(2023·金华中考）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（）A．米 B．米 C．米 D．米12．(2023·宜昌中考）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A． B． C． D．13．(2023·福建中考）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（）A． B． C． D．14.(2023·吉林长春中考）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）A．米 B．米 C．米 D．米15．(2023·重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（）（参考数据：，，）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m16．(2023·随州中考）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为_____．18．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是___________.19．(2023·梧州中考）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）20．(2023·湖北荆州中考）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，点到的距离为_____________cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）21．(2023·湖南省邵阳市中考）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．

22．(2023·四川绵阳中考）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．23．(2023·广西百色中考）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．24．(2023·辽宁阜新中考）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________m（结果精确到1m，）．25．(2023·广西贵港·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________．26．(2023·江苏常州中考）如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________．

27．(2023·湖北黄石中考）如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留一位小数）28．(2023·辽宁本溪中考）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则________．

29．(2023·湖北天门中考）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数）

30．计算：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2tan45°；sin60°cos60°+sin45°cos45°﹣sin30°cos30°．（3）31．(2023·上海中考）已知在中，，，为边上的中线．

（1）求的长；（2）求的值．32．(2023·四川省成都中考）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：）33．(2023·甘肃省武威市中考）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为．问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）．参考数据：，．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．34．(2023·天津市中考）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73．

35．(2023·四川巴中中考）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．36．(2023·辽宁朝阳中考）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）37．(2023·辽宁锦州中考）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m