浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.1 一元二次方程（知识讲解）（附参考答案）

专题2.1一元二次方程（知识讲解）【学习目标】理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；

2．会把一元二次方程化为一般形式；

3．会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值.【要点梳理】1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

特别说明：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

特别说明：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.中考热点：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解【典型例题】类型一、一元二次方程➽➼概念的理解➽➼求代数式的值1．若方程是关于的一元二次方程，求的值．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义得出，即可求解．解：∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．举一反三：【变式】已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？【答案】(1)m＝或或 (2)【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m﹣＝0，解得m＝，当m＝时，该方程是一元一次方程；m2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1时，该方程是一元一次方程，综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，解得m＝﹣，当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．【点拨】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．（2）如果是方程的一个根，求的值．【答案】（1）且；（2）9【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；（2）把代入中得到，再由进行求解即可．解：（1）∵方程是关于x的一元二次方程，∴，∴且；（2）∵是方程的一个根，∴，即∴．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．举一反三：【变式】已知是关于x的一元一次方程，求代数式的值．【答案】1991【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）．列出等式，求出m的值，代入即可．解：∵是关于x的一元一次方程，∴且，解得：．则方程变为，解得，∴原式；所以所求代数式的值为1991．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．类型二、一元二次方程➽➼一般形式➽➼各项系数✭✭求参数3．将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）．【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是、常数项是2；（2）化为，二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是【分析】一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．解：（1）∵化为一般形式为，∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2；（2）∵化为一般形式为，∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2．【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．举一反三：【变式】已知、、均为有理数，判定关于的方程是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是，请说明理由．【答案】方程为一元二次方程，二次项系数、一次项系数及常数项分别是：，，.【分析】先把方程化为ax2+bx+c=0的形式，再根据二次项系数为0或不为0两种情况讨论.解：原方程可化为：，∵是有理数，∴当，∴方程为一元二次方程，二次项系数、一次项系数及常数项分别是：，，；【点拨】此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元二次方程与一元一次方程的定义：（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程；（2）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程.4．关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．【答案】b＝1，c＝﹣2．【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，于是得到b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，然后解方程得到b、c的值．解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，解得b＝1，c＝﹣2．【点拨】此题主要考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟知乘方公式的运用．举一反三：【变式】一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．【答案】【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案．解：原方程可化为：ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0，由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1，解得：a＝2，b＝1，c＝−2，∴．【点拨】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用．类型三、一元二次方程的解➽➼代数式的值✭✭方程的根5．已知m是方程的一个根，求代数式的值．【答案】【分析】由题意可得：，即，根据完全平方公式和平方差公式对代数式进行化简，然后整体代入求解即可．解：由m是方程的一个根可得，即，将代入，可得原式【点拨】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方程根的含义，正确对代数式进行运算．举一反三：【变式】已知是方程的一个根．求：的值．代数式的值．【答案】(1)； (2)2019．【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解；（2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可．（1）解：是方程的一个根，，，；（2）解：原式．【点拨】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形．6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为________．【答案】6【分析】把代入即可求出b的值．解：把代入，得，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．举一反三：【变式】是不是方程的根？为什么？【答案】是，理由见分析【分析】根据方程根的定义，将代入方程，左边为，从而确定是方程的根．解：是方程的根．理由如下：当时，，把代入方程中，方程左、右两边相等，即是方程的根．【点拨】本题考查方程根的定义，将未知数的值代入方程，并通过计算判断方程左右两边是否相等是解决问题的关键．类型四、一元二次方程根的估算➽➼代数式的值✭✭方程的根7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（

）．20.320.420.520.620.7输出3.769.29A．B．C． D．【答案】B【分析】根据表格中的数据，可以知道的值，从而可以判断当时，x的所在的范围，本题得以解决．解：由表格可知，当时，，当时，，故时，，故选：B．【点拨】本题考