平面向量中“三点共线定理”妙用2篇

PAGEPAGE1平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：且。特别地有：当点P在线段AB上时，当点P在线段AB之外时，笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（）A．100 B．101 C．200 D．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴,故选A。点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。例2已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是解：点P落在的边BC上B，P,C三点共线由基本不等式可知：，取等号时，符合所以的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.图2例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中，，点P是BC上的一点，若，则实数m的值为（）图2A．B.C.D.解：三点共线，又，故选C例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为．图3解：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：图3，图4又三点共线，图4由平面内三点共线定理可得：例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：因为G是的重心，图5图5又三点共线，为定值3图6例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD中，,,CE与BF相交于G点，记，，则_______图6A．B.C.D.分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得,,…①又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得，，……………②由①②两式可得：PABPABCMN图7例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且，，试用、表示图7解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得,AN﹕AC=1﹕4,……①又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得∵AM﹕AB=1﹕3∴，，……………②由①②两式可得：图8例6的变式二：如图8所示：直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知＝m，＝n，则m＋n=图8解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点＝m，＝n又三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得：定理的推广：推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.图9图9使得：且。推广2：如图10所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.图10点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：且。图10例7已知点P为所在平面内一点，且(),若点P落在的内部，如图11,则实数t的取值范围是（）B.C.D.图11解：点P落在的内部A,P两点在直线BC的同一侧，图11由推论2知：，所以选DABOM图12例8（06年湖南高考题文科）如图12：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（ABOM图12A．B.C.D.解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以，所以A,D两选项不符合。对于选项B、C,都有,但当时，①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以，故B选不符合。对选项C同理可知：当时，，故符合，所以选C例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,当时,的取值范围是.图13解：当时，图13①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得，，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以，所以实数y的取值范围是：练习：3.，点在边上，，设，则（）1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是3、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。已知,则（）A．B．C．D．4、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b5、（2008年广东卷）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A．B．C． D．6、在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于点G,记，，则＝()A．B．C． D．7、在△ABO中，已知，且AD与BC相交于点M，设则（结果用表示）8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若则有：（）变式：如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，若则有：（）平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：且。特别地有：当点P在线段AB上时，当点P在线段AB之外时，笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（）A．100 B．101 C．200 D．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴,故选A。点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。例2已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是解：点P落在的边BC上B，P,C三点共线由基本不等式可知：，取等号时，符合所以的最小值为9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.图2例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中，，点P是BC上的一点，若，则实数m的值为（）图2A．B.C.D.解：三点共线，又，故选C例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为．图3解：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：图3，图4又三点共线，图4由平面内三点共线定理可得：例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：因为G是的重心，图5图5又三点共线，为定值3图6例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD中，,,CE与BF相交于G点，记，，则_______图6A．B.C.D.分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得,,…①又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得，，……………②由①②两式可得：PABPABCMN图7例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且，，试用、表示图7解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得,AN﹕AC=1﹕4,……①又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得∵AM﹕AB=1﹕3∴，，……………②由①②两式可得：图8例6的变式二：如图8所示：直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知＝m，＝n，则m＋n=图8解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点＝m，＝n又三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得：定理的推广：推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.图9点O,P位于直线AB异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y图9使得：且。推广2：如图10所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.图10点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：且。图10例7已知点P为所在平面内一点，且(),若点P落在的内部，如图11,则实数t的取值范围是（）B.C.D.图11解：点P落在的内部A,P两点在直线BC的同一侧，图11由推论2知：，所以选DABOM图12例8（06年湖南高考题文科）如图12：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,ABOM图12A．B.C.D.解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以，所以A,D两选项不符合。对于选项B、C,都有,但当时，①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以，故B选不符合。对选项C同理可知：当时，，故符合，所以选C例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,当时,的取值范围是.图13解：当时，图13①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得，，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以，所以实数y的取值范围是：练习：3.，点在边上，，设，则（）1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0