河北省景县梁集中学2023年高二数学第二学期期末达标检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=RAB=AC=BC=B点。为AASC

所在平面内的动点，若P。与Q4所成角为定值e,6e（0,：）,则动点。的轨迹是

4

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

2.若曲线y=e'在X=O处的切线，也是y=Inx+8的切线，则。=（）

A.-1B.1C.2D.e

3.命题八%,∈R,∙⅞-l≤0的否定力为（）

A.VXGR,x-l≤0B.3x0∈/?,x0-1>0

C.∀xeR,x-l>0D.≡x0∈x0-1<0

4,若执行如图所示的程序框图，输出S的值为则输入〃的值是（）

A.7B.6C.5D.4

5.根据下表样本数据

X6891012

y65432

用最小二乘法求得线性回归方程为$=%+10.3则X=4当时，)'的估计值为

A.6.5B.7C.7.5D.8

6.从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I卷，全国∏

卷，全国HI卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不

相同的概率为()

1111

A.—B.—C.—D.

844228M

7.设i为虚数单位，复数Z满足z(l∙√)=2i,贝UIZ|=()

A.1B.√2C.2D.2√2

8.从区间［1,8］上任意选取一个实数加，则双曲线--V=I的离心率大于2的概率为

2345

A.-B.-C.一D.

7777

9.已知集合P={yIy=2x},Q={y∖y=√i≡F},则PQ=()

A.[-1,1]B.(0,+∞)C.(-∞,1R[l,+∞)D.(0,1]

Jl3.π5τr.

10.已知sin(α-Z)=Iae(E'R'则Sina=()

7√2B6√2,7√2

Aa.------CD.-----或-e-----

101010101()

II.已知点P(XJ)满足∣χ∣+∣y∣≤2,则到坐标原点O的距离d≤l的点P的概率为()

TCTrRTI

A.—B∙—C.-D.一

16842

12.由.V=-/与直线y=2x—3围成的图形的面积是()

56432

A.-B.—C.—D.9

333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在(2+x)5的展开式中，炉的系数为.

14.在空间直角坐标系中，已知点M(l,0,1),N(-1,1,2),则线段MN的长度为

15.曲线^='11。+1)在点(0,0)处的切线方程为.

16.已知函数/(x)=e*且过原点的直线/与曲线y=∕(x)相切，若曲线y=/(x)与直线/,)，轴围成的封闭区域

的面积为三，则。的值为.

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色

的乒乓球(其体积、质地完成相同)，旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色

的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.

(1)摸出的3个球为白球的概率是多少？

(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？

(3)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱？

18.(12分)已知函数/(无)=/—3χ+l.

(1)求/S)的单调区间和极值；

(2)求曲线在点(0,/(0))处的切线方程.

19.(12分)山西省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择

的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择

的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、

数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排

名来划分等级并以此打分得到最后得分。根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分

为A,B+,B,C+,C,D+,E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24乐24%、

16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转

^≡∣J[9O,1∞]√80,90)√70,80)>[60,7O)>[50,60)J40,50)430,40)420,30)八个分数区间,得到考生的等级成绩。举例

说明1：甲同学化学学科原始分为65分，化学学科C+等级的原始分分布区间为158,69),则该同学化学学科的原始

成绩属C+等级，而C+等级的转换分区间为[60,70)那么，甲同学化学学科的转换分为：设甲同学化学科的转换等

级分为X,笑二If=四H，求得工々66∙36.四舍五入后甲同学化学学科赋分成绩为66分。举例说明2：乙同学化

学学科原始分为69分，化学学科B等级的原始分分布区间为169,81)则该同学化学学科的原始成绩属B等级.而8等

级的转换分区间为[70,80)这时不用公式,乙同学化学学科赋分成绩直接取下端点70分。现有复兴中学高一年级共3000

人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布

2

⅞~∕V(60,12)O且等级为3+所在原始分分布区间为［82,93),且等级为8所在原始分分布区间为［72,82),且等

级为C+所在原始分分布区间为［61,72)

ɑ)若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，小红同学在这次考试中物理原始分为72分，求小明和小红的物理

学科赋分成绩；(精确到整数).

(2)若以复兴中学此次考试频率为依据，在学校随机抽取4人，记X这4人中物理原始成绩在区间［61,84］的人数,

求X的数学期望和方差.(精确到小数点后三位数).

附：若随机变量满足正态分布，给出以下数据

J~N(〃,川)，P(μ-δ<ξ<μ+δ}=0.682,P{μ-2δ<ξ<μ+2δ}=0.954,

20.(12分)如图，一张坐标纸上已作出圆E:(X+1)2+V=8及点P(l,0),折叠此纸片，使P与圆周上某点P重合,

每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP'的交点为M,令点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

45

(2)若直线/：y=依+m与轨迹C交于A、6两点,且直线/与以比为直径的圆相切,若。4∙O3∈J=］,求ABO

56

的面积的取值范围.

21.(12分)已知：已知函数/(x)=-gd+gχ2+2ar

(I)若曲线y=f(X)在点P(2,f(2))处的切线的斜率为-6,求实数a；

(∏)若a=l,求f(X)的极值；

1111

22.(1。分)已知数列而，—.衣,…，(3-2)X(3"+1),…，记数列的前〃项和S”•

(1)计算S∣,S2,S3,S45

(2)猜想S”的表达式，并用数学归纳法证明.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

建立空间直角坐标系，根据题意，求出。轨迹方程，可得其轨迹.

【详解】

由题，三棱锥P-ABC为正三棱锥，顶点P在底面ABC的射影。是底面三角形ABC的中心,

则以。为坐标原点，以Q4为X轴，以OP为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得04=OP=I,设

。为平面ABC内任一点，则A(l,0,0),P(0,0,1),Q(x,y,0),PA=(1,0,-1),PQ=(x,y,-l),由题PQ与PA所成

(λIel

角为定值。，可。,Jπ则，松S扇网PA-P网Q=&&x++1)』

则2cos2e(χ2+y2+ι)=(χ+]y,化简得COS+2cos之"-2χ+cos26=0,

ee(o,£),：.2eG(o,5),cos2e>o,故动点Q的轨迹是椭圆.

选B

【点睛】

本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.

2、C

【解析】

求出y=e'的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线y=lnr+b相切的切点为(m,n),得y=lnx+b的

导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m,n,进而得到b的值.

【详解】

0

函数y="的导数为y=e',曲线y=e'在x=0处的切线斜率为k=e=l,

v

则曲线y=β'在x=0处的切线方程为y-l=x5

函数y=lnx+b的导数为y=L,设切点为（∏1,n）,则上=1,解得m=l,n=l,

Xm

即有I=InI+b,解得b=l.

故选A.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题.

3、C

【解析】

分析：由题意，对特称命题进行否定即可确定

详解：特称命题的否定为全称命题，结合题中命题可知：

命题P：3⅞eR,与-1≤O的否定-TP为VXeR,x-1>O.

本题选择C选项.

点睛：对含有存在（全称）量词的命题进行否定需两步操作：（1）将存在（全称）量词改写成全称（存在）量词；（2）将结论加以

否定.这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定.有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐

含的量词.

4、C

【解析】

将所有的算法循环步骤列举出来，得出i=5不满足条件，i=6满足条件，可得出〃的取值范围，从而可得出正确的

选项.

【详解】

S=O+-ɪ-=Li=l+l=2;

1×33

112

i=2>n不满足，执行第二次循环，S=；+===,i=2+l=3;

33×55

2I3

i=3>n不满足，执行第三次循环，S=-+--=-,z=3+l=4;

55×77

314

i=4>n不满足，执行第四次循环，S==+.==,i=4+l=5;

77×99

415

i=5>∕?不满足，执行第五次循环，S=—+——=—,i=5+l=6;

99×1111

i=6>〃满足，跳出循环体，输出S的值为得，所以，N的取值范围是5≤∕1<6∙

因此，输入的〃的值为5,故选C

【点睛】

本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取值范围，考

查分析问题和推理能力，属于中等题.

5、C

【解析】

先根据回归直线方程过样本点的中点Gj）求解出A,然后再代入％=4求y的值.

【详解】

因为5=6+8+9;。+12=93=6+”；+3+2=4,所以4=9A+IO.3,即A=-0.7,所以回归直线方程为:

y=-（）.7%+10.3,代入x=4,则y=7.5,

故选：C.

【点睛】

本题考查依据回归直线方程求估计值，难度较易.回归直线方程一定过样本点的中心，也就是GJ）,这一点要注意.

6、D

【解析】

先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.

【详解】

通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有C；=84种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有A；=6种可能,

于是所求概率为三=二.选D.

8414

【点睛】

本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.

7、B

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可.

【详解】

2i2z(l+z)2z-2.

由Z(j)=2i,得==-11+J

.∙∙∣z∣=√2,故选8.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算.

8、D

【解析】

分析：求出m的取值范围，利用几何概型的计算公式即可得出.

详解：由题意得α=1/=m,c=√l+m,

:.e=—=yj]+m>2,解得m>3,即3<∕τz≤8

a

八8—35

.∙.P=----=-.

8-17

故选：D.

点睛：几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所

占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.

9、D

【解析】

分析：先化简集合P,Q,再求PcQ.

详解：由题得P={yly>0},β={y∣0≤y<l},

所以PCQ=(0,1].

故答案为：D.

点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.

10、B

【解析】

TTTTTT

分析：根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出CoS(ɑ--)的值，再根据Sina=Sin[+-],利

444

用两角差的正弦公式计算求得结果.

π,71、,万、434,人、

∙*∙OC---≡(—9Tr),:∙cos(OC----)=--9或一(舍)

44455

.7ΓTC兀、TCTC.TC

sina=sin∣(a-----)χ+—]=sin(a------)cos—+cos(a------)sin一

444444

3√24√2√2

=—X--------X=————>

525210

故选B.

IT

点睛：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，解题关键根据角的取值范围对COS

的值进行取舍，属于中档题.

11、B

【解析】

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为2√Σ正方形，到坐标原点O的距离d≤l的点P围成

的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离d≤ι的点P的概率.

【详解】

点P(X,)，)满足国+∣y∣≤2,

二当x≥0,y≥0时，χ+y≤2;

当x≥0,y<0时，χ-y<2,

当x≤0,yNO时，-x+y42;

当x≤0,y<0时，一χ-y≤2.

作出图象，

得到点尸的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为20正方形，

到坐标原点O的距离d≤1的点ρ围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆,

到坐标原点O的距离d≤1的点尸的概率为：

_S圆_%xE_π

p-⅛jg-2√2×2√2^I-

故选：B.

【点睛】

本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

12>C

【解析】

分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=-χ2与直线y=2x-3的面积，

即可求得结论.

详解：由y=-χ2与直线y=2x-3联立，

解得y=-χ2与直线y=2x-3的交点为(-3,-9)和(1,-1)

因此，y=-χ2与直线y=2x-3围成的图形的面积是

3X2XL

S=J(-χ2—2x+3)dx=(-ɪX-+3)∣,3=—■.

-333

故答案为：C.

点睛：(1)本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)从几何

上看，如果在区间句上函数F(X)连续，且函数y=/(X)的图像有一部分在X轴上方，有一部分在X轴下方，那么

定积分]：/(XWV表示X轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、80

【解析】

本题考查二项式定理.

,rr

二项展开式(α+b)"的第r项为7；=C'na'-b.

则(2+'Y的第/•项为7；=C25-3"令1=2,

可得/的系数为Cl23=80

14、√6

【解析】

根据两点间距离公式计算.

【详解】

即|=√[l-(-l)]2+(O-I)2+(1-2)2=√6.

故答案为指.

【点睛】

本题考查空间两点间距离公式，属于基础题.

1

15、V--x.

-2

【解析】

分析:先求导求切线的斜率，再写切线方程.

详解:由题得f'(χ)—-----k-/'(O)==—,

2(x+l)2(0+1)2

所以切线方程为y-0=g(χ-0),即y=gχ∙

故答案为：y

点睛:(1)本题主要考查求导和导数的几何意义，考查求切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平。)函数

y=/(%)在点⅞处的导数/'(X。)是曲线y=/(χ)在∕5(⅞,∕(⅞))处的切线的斜率，相应的切线方程是

y-⅞=∕,(⅞)U-⅞)∙

【解析】

分析：先根据导数几何意义求切点以及切线方程，再根据定积分求封闭区域的面积，解得。的值.

fax

详解:设切点U1,e劭),因为f(χ)=ae,

ax'11

axe

所以ae'=.∙.xl=—:.1:y-e=ae(x——),y=aex.

%,aa

ɪOr21

所以当α>0时封闭区域的面积为i(eωr-αex)公=(金—竺匚)Z=T

*0202a

因此色二2=f.∙.α=M2,当α<0时，同理可得4=一仁2,即.=±纪2

Ia2eee

点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况

讨论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(3)3.35；(4)3.45；(4)3433.

【解析】

(3)先列举出所有的事件共有43种结果，摸出的4个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题

应用列举来解，是一个好方法；(4)先列举出所有的事件共有43种结果，摸出的4个球为3个黄球4个白球从前面可

以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；(4)先列举出所有的事件共有43种结果，根据摸得同一

颜色的4个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的4个球，摸球者付给摊主3元钱，算一下摸出的球是同

一色球的概率，估计出结果.

【详解】

把4只黄色乒乓球标记为A、B、C,4只白色的乒乓球标记为3、4、4.

从6个球中随机摸出4个的基本事件为：ABC,AB3、AB4、AB4、AC3、AC4、AC4、A34、A34、A44、BC3、BC4、

BC4、B34、B34、B44、C34、C34、C44、344,共43个.

(3)事件E=｛摸出的4个球为白球｝,事件E包含的基本事件有3个，即摸出344号4个球，P(E)=^=3.35.

9

(4)事件F=｛摸出的4个球为4个黄球3个白球｝,事件F包含的基本事件有9个，P(F)=—=3.45.

2

(4)事件G=｛摸出的4个球为同一颜色｝=｛摸出的4个球为白球或摸出的4个球为黄球｝,P(G)=—=3.3,假定一

天中有333人次摸奖，

由摸出的4个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有33次，不发生93次.

则一天可赚陕M::触底:啾，每月可赚3433元.

考点：3.互斥事件的概率加法公式；4.概率的意义

18、(1)极大值为/(T)=3,极小值为了⑴=T(2)3x+y-l=0

【解析】

试题分析：(I)由求导公式和法则求出F(x),求出方程。(X)=0的根，根据二次函数的图象求出

F(X)VO、f(X)>0的解集，由导数与函数单调性关系求出f(X)的单调区间和极值；(II)由导数的几何意义求

出F(O)：切线的斜率，由解析式求出f(0)的值，根据点斜式求出曲线在点(0,f(0))处的切线方程，再化为一

般式方程

试题解析：(1)f(x)=%3-3Λ+1,二/'(X)=3/-3=3(X-l)(x+l),

i⅛∕''(x)=(),可得X=L——1.

①当/'(x)>°时，尤>1，或r<-l;

②当r(x)<。时，T<χ<l.

当X变化时，f,∖x),/(X)的变化情况如下表：

--

XST)-I(Tl)1(Ly)

/Cr)一

+00÷

/(X)单调递增/~Γ~单,递减、单调递增/

当x=—l时，/(x)有极大值，并且极大值为八-1)=3

当X=I时，/(X)有极小值，并且极小值为/(D=-1

1

(2).■k=3x-3|v=0=-3,/(O)=1

r.y-1=-3(%-0)=3x+y-l=0.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值

19、(1)小明82分，小红70分；(2)1.504,0.938

【解析】

(1)根据题意列式求解(2)先确定区间，再根据正态分布求特定区间概率，最后根据二项分布求期望与方差.

【详解】

解(1)小明同学且等级为B+,设小明转换后的物理等级分为X,

93—8490-X

84-82^%-80

求得Xa81.81.

小明转换后的物理成绩为82

小红同学且等级为B,且等级为B所在原始分分布区间为［72,82),

小红为本等级最低分72,则转换后的物理成绩为70分。

(2)物理考试原始成绩等级为C+所在原始分分布区间为［61,72),C+人数所占比例为24%,

又因为物理考试原始成绩基本服从正态分布J〜N(60,12?),

当原始分e［72,84)时，人数所占比例为0・95?682=0136

则随机抽取一个物理原始成绩在区间161,84］的概率为0.24+0.136=0.376

由题可得X~8(4,0.376)

E(X)=4x0.376=1.504

D(X)=4X0.376×0.624≈0.938

【点睛】

本题考查新定义理解、利用正态分布求特定区间概率以后利用二项分布求期望与方差，考查综合分析求解能力，属中

档题.

20、(1)—+/=1；(2)］

265

【解析】

分析：(1)根据垂直平分线的性质可得E的轨迹是以£P为焦点的椭圆，且ɑ=0,c=l,可得

2

222

b=a-c=l,M的轨迹C的方程为工+丁=1；(2)/与以EP为直径的圆Y+V=1相切，则。至心的距离:

2-

2

X21

m∖~2+y=,消去y,得(1+2公产+4痴+2/_2=0,由平面向量数量积

I=1,即加2=A?+1,由*

廿+1

y=kx+m

2俨+女2)

1ɔ1

公式可得一≤%2<由三角形面积公式可得sʌAOB=,换元后，利用单调性可得结果.

4344+⅛2)+l

详解：(1)折痕为PP'的垂直平分线，贝!||MPI=IMP'由题意知圆E的半径为2&，

Λ∣ME∣+∣MP∣=∣ME∣+∣MP,∣=2√2>∣EP∣,

.∙.E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且α=√∑,c=l

2

∙∙∙b2=a2-c2=∖,AM的轨迹C的方程为—+/ɪl.

2'

(2)/与以EP为直径的圆x%y2=l相切，则O到/的距离:

即〃，=+1,

+yɪ,消去y,得(l+2k?)x2+4kmx+2m2-2=0,

由，τ

ykx-∖-m

V直线/与椭圆交于两个不同点,

ΛΔ=16k2m2-8(l+2k2)(m2-1)=8k2>0,k2>0,

A-KiTi2m2-2

设A(xι,yι),B(X2,丫2)，贝!|尤]+12=-ɪ~~XX=

12↑+2k2

[-k2

yιy=(kxι+m)(kx+m)=k2xιx+km(xι+x)+m2=---------

2222l+2k2

1+∣22

c∖+k1,,21

,

又QA.QB=+>1%=1+2ɪ7.∙.-≤2—≤k≤—,

51+2A43

2(f+,2)

1

sSAOB=∣×∣AB∣×1=Im-I

-4×4(F+P)+1

1+2左2

54

'TO分∙∙∙s由关于冒名

平

2夜

<<

--5

,Γ√iθ2√2

，ΔAOB的面积的取值范围是,——

65

点睛：本题主要考查利用定义求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：

一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化

为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值