三角函数图像复习讲义-2023-2024届高考数学一轮复习讲义（教师版）

目录

三角函数图象及性质...............................................................2

【知识梳理】.....................................................................2

1正弦、余弦、正切函数的图象及性质................................................2

2、三角函数中的平移变换..........................................................3

【考点分类】.....................................................................5

考点一、三角函数的图象变换.......................................................5

考点二、已知图象求解析式.........................................................6

考点三、三角函数综合.............................................................8

【易错题】......................................................................16

三角曲数图象及性质

【知盟机理】

1正弦、余弦，正切函教的图象及性质

定义

RR{x∣x≠-^∙÷kπ]次∈Z

域

值域[-M][-M]R

周期T=2万7=2乃T=7Γ

奇偶

奇偶奇

性

对称

寻50）（打

（左肛0）

中心

当X=当X=2kτr,

Nmax=1

‰=1

最值无

TT

当X=2kπ-----,当x=2A"+<τ,

2

=

>min=Tymin-1

对称

π

X=κfπ+-x=kπ无

轴2

2kπ--,2kπ^--增

单调L22][2kπ-π,2kπ]i^（壮g%乃+5）增

[2kπ,2kπ+

性2%)+工，2%4+红减

_22

注：凡是涉及到K的都要注明AeZ.

2,三角曲敷中的平移变换

2.1图像的变换

4.平移变换：上加下减，左加右减.比如由y=sinx的图象得y=sinx+Z>的图象；由

y=$山彳的图象得)》=$山(0>*+0)图象.

。.伸缩变换：此变换主要是指在X轴、y轴方向上的伸缩.比如由y=Sinx的图象得

y=sm(ωx+φ)的图象.

C,翻折变换：此变换主要适用于作函数解析式中带有绝对值的函数图象，比如由y=Sinx

的图象得y=kin%∣的图象，可将y=sinx的图象在X轴上方的图象不变.下方的图象翻折

到X轴上方.

总结：由y=sinx的图象得到y=AsinQyx+°)(其中a>>O,A>O)的图象的过程

先画出函数y=sinx的图象，再把正弦曲线向左(右)平移。个单位长度，得到

y=sin(x+°)的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的L,得到函数

ω

y=sin(s+0)的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，得到函数

y=Asin(ωx+φ)的图象.

2.2函数的性质

y=Asm(ωx+φ)(其中A>O,<w>O)的性质

(D定义域

y=As∖n{ωx+φ)的定义域为R.

(2)值城

y-ASin(iyχ+e)的值域为[-A,A]

(3)周期性

,2万

y=Asin(o%+e)的周期T=-；~r.

陶

(4)奇偶性

TT

0=左乃(Z∈Z)时，函数为奇函数；当妒0=万+女乃∕∈Z)时，函数为偶函数.

(5)单调性

函数y=ASin(mr+0)(A>O,<υ>O,x∈R)的单调区间求法

(D单调增区间可由2AτF-∙^≤5+e≤2⅛τr+∙^,Z∈Z解•得；

(2)单调减区间可由2kπ+~~-ωx+9<2k兀+ɪ,左∈Z解得.

(6)对称中心

y=Asin(ωx+φ)的对称中心的横坐标可由叫ωx+φ=kπ(k∈Z)解得，纵坐标为0.

Jl

⑺对称轴y=AsinQx+°)的对称轴方程可由6λr+9=万+%万(攵∈Z)解得

【考点分类】

考点一，三角咨数的图象变换

【例1】★求函数y=l+3cosx的值域,取得最值时X的值.

4

【答案】：6彳］取得最大值时X=2Aɪ,取得最小值时χ="+2A∙

【例2】将函数y=cosx的图象上的每个点的横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，再将所

π

得图象向右平移.个单位，则最后得到的图象对应的函数解析式为()

ɔ

A/八71、C_.2τc、

A.y=cos(2x一耳)B.γ=cos(2x--)

C.y=cos(∖-g)D.y=cos(；_g)

2326

【答案】D

【例3】将函数y=sin(2x+2)的图象向左平移"z("z>O)个单位长度,得到函数y=∕(x)图

6

象在区间［-二,2］上单调递减,则〃7的最小值为

1212

(A)—(B)-(C)-(D)-

12643

答案：C

【例4】已知函数f(x)=sin(5+¥)3>0)的最小正周期为4兀,则

6

(A)函数/(x)的图象关于原点对称

(B)函数f(x)的图象关于直线X=W对称

(C)函数/(x)图象上的所有点向右平移:个单位长度后,所得的图象关于原点对称

(D)函数/(x)在区间(0,兀)上单调递增

答案：C

考点二，已知图象求解析或

1.函数/(X)=ASin(<υx+9)(A>0,0>0,帆|苫)的部分图象如图所示,

则CO=；函数/(x)在区间g,π］上的零点为.

答案：2j7π∕12

2.若函数y=sin((yχ+φ)(刃>(),时<：)的部分图象如图所示,则CO=(φ=

答案：4;-?

3.已知函数/(x)=Asin(0x)(ω>0)的图象如图所示.

(I)求〃x)的解析式；

答案：解：(1)由图象可知A=2,

设函数/(X)的周期为T,则:J―r(―TWr)=3=τ,

424

求得7=π,从而<y=2,

所以/(x)=2sin2x.............5分

4★如图，已知函数"x）=ASin（S+夕）的图象（部分），则函数的表达式为

γr

【答案】：/(x)=Sin2x+-

V3

)

5★函数:二s⅛Kcχr+⑼（、£艮。＞0,04。＜2丁）的部分图象如图，则

考点三、三角谄数舔合

1、设/>0,若函数y=COS2OX的最小正周期为,则出

答案：2

2已知函数/(x)=COSX(COSX+6SinX).

(I)求F(X)的最小正周期;

答案：解：(I)/(X)=Λ∕3sinxcosX+cos2x

√3,n1Cl

/(X)=——sin2x+-cos2x+-

222

TTI

/(x)=sin(2x÷-)+—

272π

1=—=—=Tr

⑷2

/(x)的最小正周期为

3τr3jr

3.已知函数f(x)=sin2xcos--cos2xsin—.

(I)求F(X)的最小正周期

答案：解:

3Jr3J73τr

(1)/(x)=sin2xcosr^--cos2xsin2^-=sin(2x-2^-)-

所以/U)的最小正周期T=T=兀

/ɜ

4.已知函数/(x)=sin①X(CoS(OX-+sinωx)+-(ω>0)的最小正周期为—.

22

(I)求。的值;

答案：解：因为/(x)=Sin<υx(cos6υx-J5^sin6zr)+^

=sin69%∙cos①X-GSin2ωx-∖--

2

JSin2s+正cos20X

22

=sin(2w+/)，

(I)又因为函数/(X)的最小正周期为方,

所以行V

解得①=2.

5.已知函数f(χ)=ɪsinωx+^/ɜcos2--ɪ-,co>0.

(II)若/弓)=1,求/(X)的最小正周期T的表达式并指出T的最大值.

答案：(∏)⅛/(ɪ)=ɪsin(y%+^cos2ɪ-ɪ

=Lis+2。S*

22

=sin(0x+工)

3

JL'JLJL

/(—)=sin(-^+―)=1

333

TCTCTC八,

/.—CO4—=—F2k兀

332

得0=4+2攵(火∈N),<υ>0

2

又因为函数,(X)的最小正周期T喂,且«>0,

所以当0=g时,T的最大值为4万.

6.已知函数f(χ)=cosx(sinʃ+>∕3cos%)-ɪ,x∈R.

(I)求/(x)的最小正周期

答案：(I)/(x)=cosx(sin%÷>∕3cosx)--ɪ

=sinXCosX+^^-(2cos2X-1)

=JSin2x+立cos2x

4分

22

Tt

=sin(2x+-),6分

3

9jr

所以函数/(X)的最小正周期T='=兀.7分

7已知函数/(x)=2An(如).8S(M)+2c<√(M)(…),且函数f(x)的最小正周期为

π.

(I)求G的值;

答案：解析：(1)/(x)=2√3sin(ɪ69x)∙cos(-!-ωx)+2cos2(-!-69x)(69>0),

222

括SinS+1+cosωx

=2sin(69X+-)+1

2%

T=—=兀、CO=2.

ω

8已知函数/(x)=SiH°x十2SinXCOSX-COS2X.

(I)求/(X)的最小正周期；

答案：(I)由题意得:/(χ)=Sin2x-cos2x=JΣsin(2Λ,-乙)，

4

_2π

.,.T=—=π

2

9.已知函数f(x)=2cos2χ(2吧+1)—1.

COSX

(I)求的最小正周期；

答案：(I)由COSX≠0得,x≠→far,(A：∈Z)

TT

所以/(X)的定义域为{X∣XW]+E,%∈Z}

因为/(ɪ)=2(-^^+1)∙cos2X-1

COSX

=2sinxcosx+2COS2X-∖

=Sin2X+COS2Λ

=^sin(2x+-)

4

所以/(幻的最小正周期为T=T2ττ=兀

10.已知函数/(x)=2cos2X+273sinXCoSx-1.

(I)求函数/(χ)的最小正周期；

答案：(I)f(x)=2cos2X+2>^sinXCOSX-I

=cos2x+y∣3sin2x

=2(gcosIx+sin2x)

π

=2sin(2x+-)

所以周期为T=型=π

2

11己知函数f(x)=2sin(--x)cos(--x)+-J3sin2x.

44

(I)求函数/(%)的最小正周期；

答案：(I)f(χ)=sin(^-2x)+sin2x

=cos2x÷^sin2x

π

=2sin(2x+-)

所以/(X)的最小正周期是T=TE=兀

12已知函数/(x)=tan(x+().

(I)求/(x)的定义域；

答案：解：(I)由x+2,≠%π+工，得XWE+乙，k∈Z.[3分]

424

所以函数/⑴的定义域是{X∣X≠E+[A∈Z}∙[4分]

13.已知函数f(x)=(1÷ʌ/ɜtanɪ)cos2ɪ.

(iɪ)求函数/a)的定义域和值域.

答案：(H)解：函数/(㈤的定义域为{x∣xwR,⅛x≠Λπ+∣Λ∈Z}

化简，得f(x)=(l+y∣3tanx)cos2x

=(1+6S'"")cos2x

COSX

=cos2x+Λ∕3sinxcosx

1+cos2x√3.ʌ

=-------------+—sιn2x.....................1ι0n分

22

=Sin(2x+工)+1...................12分

62

Tl

因为x∈R,且x≠E+5,kwZ,

所以2x+2w2⅛π+",

66

TT

所以一IWSin(2工+—)WL

6

所以函数/(X)的值域为[-：,京..........13分

TTTT

(注：或许有人会认为“因为XHE+?,所以/(X)X。"，其实不然，因为/(-z)=0∙)

15已知函数f(Λ)=(1+tanX)-sin2x.

(I)求/(x)的定义域；

答案：(I)因为函数y=tanx的定义域是{xeR∣x∕kπ+],k∈Z},

Tr

所以/(χ)的定义域为{χ∈R∣χ≠Z兀+5,Z∈Z}.

16已知函数/(x)=2cos2χ(受空+1)—1.

COSX

(I)求/(x)的定义域

答案：(I)由COSX≠0得,x≠]+E,(AeZ)

JT

所以/(X)的定义域为{x∣XH/+λπ,Z∈Z}

17已知函数/(x)=J^Sin2x+α∙cos2x(αiR).

(I)若/(看)=2,求〃的值

答案：(I)因为/(—)ɪʌ/ɜsin2∙+0∙cos2—=2,

所以33+”?1上2.

22

所以Q二L

18已知函数f(x)=(1+ʌ/ɜtanx)cos2x.

(1)若。是第二象限角,且Sina=@,求/(a)的值；

3

答案：因为α是第二象限角，且Sina=在，

3

所以cosa=->∕l-sin2a=--.....................2分

3

所以tanα=Sina=_近,........4分

COSa

所以ʃ(ɑ)=(1-√3×√2)(-^)2=.....................6分

19.已知函数/(x)=Sin2xcos--cos2Λsin—.

(I)求/(x)的对称轴的方程；

答案：解：(I)f(x)=sin2xcos--cos2xsin—=sin(2x--)-

555

令2x——-=—+⅛,⅛∈Z,

52

得X=+=kπ,kwZ.

202

所以/(X)的对称轴方程为尤=零+；E«eZ.

3冗π3ππ

或者：/(X)的对称轴方程为2R一3=1+2E和2x—1=—1+2E,Z∈Z,

EIrIlTr-fTr11r-r

即X=------Fkfu和X=-----Fkjt,攵∈Z.

2020

/ɜ

20已知函数/(x)=CoSX(SinX+近cos%)——,x∈R.

(II)设α>0,若函数g(")=∕α+α)为奇函数,求二的最小值.

答案：(H)解：由题意，得8(幻=/&+。)=011(21+2«+三)，

因为函数g(x)为奇函数，且x∈R,

所以(θ)=。，即sin(2a+^)=0,

所以2α+2=E,⅛∈Z,

3

解得α=包-2,AreZ,验证知其符合题意.

26

又因为c>0,

所以α的最小值为W.

【易播题】

【例1】★已知函数：①y=tanx,②y=sin∣x∣,③y=∣sinx∣,④y=∣cosx∣,其中周期为π,且

在（0,-）上单调递增的是

2

A.①②B.①③C.①②③D.①③④

【答案】B

【例2】★★已知函数f(χ)=3sin(ωx--∖ω>0)和g(x)=2cos(2x+@(0<e<;r)的图象的

6

对称轴完全相同，则小上）的值是

【答案】-2

【例3】★函数y=xsinx在［-办句上的图象是

∕ΛCτ^∖√δ∖√7`

<A)<B}

【答案】A

【例4】★函数y=f（X）在区间_%,兀上的简图如图所示，则函数y=f（X）的解析式可

以是（）

B∙f(x)=sin(2x---)

TT

C∙/(x)=sin(x+-)D./W=sin(x-y)

【答案】B

【例5】若将函数f(x)=(2x+g的图象向右平移?个单位后得到的函数y=g(x)的图象,求

g(χ)的单调递增区间.

TTTT

【答案】伙万一%,Aɪ+5］(Z∈Z)

【例6】设函数y=sinx在区间t,t+^上的最大值为M(t),最小值为m(t),则M(t)

-m(t)的最小值和最大值分别为()

A.1,2B.1,√2C.1--,1D.1--

22

【答案】解：函数y=sinx在区间［t,t+5］上的最大值为M(t),最小值为m(t),

区间的长度为工，正好为函数的周期的工，

24

故当函数y=sinx在区间［t,t+今］上单调时，则M(t)-m(t)取得最大值.

不妨假设函数y=sinx在区间［t,tlɪ］上单调递增，

则M(t)-m(t)取得最大值为Sin(t+---)-Sint=CoSt-Sint=&cos(t+--)≤Λ∕2>

24

故M(t)-m(t)取得最大值为

当区间［t,t+今］关于它的图象的对称轴对称时，M(t)-m(t)取得最小值，

此时，sin(t+3-)=÷I>不妨设sin(t+3-)=1,即t+上L=2kπ+Z~,k∈Z,

4442

TT

即t=2kπ+-----，k∈Z,

4_

则M(t)-m(t)取得最小值为sin(t+2I-)-sint=l-sin(2kπ+2L)=1-

442

故M(t)-m(t)的最小值和最大值分别为I-尊，√2.

故选：D.

【课后检测】

L★函数γ=1-sinx的对称中心是,对称轴方程为。

答案：(ATr,1)χ---∖-kπ

2

2.★如果函数y=tan(x+φ)的图象经过点((,O),那么φ可以是()

A.--B.-巴C.—D.π

3663

【答案】A

3.下列函数中，最小正周期为兀的是()

Xx

A.γ=cos4xB∙y=sin2xC.y=sin-D.V=COS-

*4

【答案】B

4.★己知tanα=-l,月.[0,兀)，那么α的值等于

5τr

A.-B.—C.—D.

3344

【答案】C

5.先把函数y=cosx的图象上所有点向右平移(个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来

的L倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为()

2

A.V=COS(2x+工)B.y=cos(2x--)C.y=cos(ɪx+ɪ)D.y=cos(LX--)

332323

【答案】B

6.为得到函数y=cos(x+2)的图象，只需将函数y=sinx的图象()

6

A.向左平移C个长度单位B.向右平移巳个长度单位

33

C.向左平移立个长度单位D.向右平移至个长度单位

33

【答案】C

41

7.★设函数/(x)=A+Bsinx,若B<0时,/(x)的最大值是二，最小值是一一，则A=，

22

B=0

【答案】--1

2

8.判断大小：tan(――)tan(—-),tan—tan—

5786

【答案】：>,<

9.★已知Sin龙='.当—,-π时;求角X的值；

2|_22」

【答案】χ=π--=-

66

10.★★已知函数y=Asin(S+°)+〃2的最大值为4,最小值为0,最小正周期为直线

X=工是其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是()

3

A.γ=4sin(4xd——)B.y=2sin(2x+j∣0+2

TTJT

C.y=2sin(4x+y)D.y=2sin(4x+q)+2

答案:D

II.将函数y=sin(2x-^)图象上的点p((,d向左平移s(s>O)个单位长度得到点R若产

位于函数y=sin2x的图象上，贝∣J()

A√=-,S的最小值为工Bl=N,s的最小值为工

2626

Cj=I,s的最小值为£Dl=@，s的最小值为巳

2323

【答案】:A

12.★★设函数/(x)=|sin(2x+q)|,则下列关于函数/(x)的说法中正确的是()

A./(x)是偶函数B.f(x)最小正周期为π

C.“X)图象关于点(-%,0)对称D./(χ)在区间任,卫］上是增函数

6312

答案:D

13.给出下列命题：

①正切函数的图象的对称中心是唯一的；

②y=∣siar∣、y=∣taru∣的周期分别为n、］；

③若x1>x2,则sinΛ1>sinx2:

④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T,则/(一T)=Q

其中正确命题的序号是.

【答案】④

14.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ≤π)在X=工处取得最大值2,

π

其图象与X轴的相邻两个交点的距离为2.求f（X）的解析式.

【答案】解：（1）由题意可得：f（X）max=A=2,65

2兀2兀

于是3==2,

Tπ

故f(x)=2sin(2x+φ),

由f（x）在Xɪ处取得最大值2可得：2X

=-j-+Φ=2kπ÷yɪ>Φ=2kπ¼^(k∈Z),

6

又一π<φ<π,故

因此f(x)的解析式为f(χ)=2sin(2x÷^^)

【课后作业】

1.★正弦函数f（x）=SinX图象的一条对称轴是（)

冗π

A.X=OBβ.X=—C.X=­D.x=π

42

【答案】C

2.★★函数/（x）=ASin（S+Q）（A>0M>0,∣加Vl）的部分图象如图所示，则

/(1)+/(2)++/(11)的值等于

A.2B.2÷Λ∕∑C.2+D.-2-2,χ∕J

【答案IC

3.已知函数TU)=Sin(S+s)[G>0∣e∣<^∣),A-（为段）的零点'A（为产於）图象的

π5π

对称轴，且yu）在上单调，则口的最大值为（）

18,36

A.11B.9C.7D.5

【答案】：B

4.★★求函数y=l-gcosx的单调区间.

【答案】单调增区间为：［2∙,2A万+句,keZ

单调减区间为：[~π+2kπ,2kπ],keZ

5.★★已知函数/(x)=2sin[:j-2X

(1)求函数最小正周期；

(2)求函数取得最大值时X的取值；

(3)求函数的单调递减区间；

(4)求函数对称轴;

(5)求函数对称中心;

【答案工

血回4,+部，Z2[*臼;对称轴“三+净eZ;对称中心(铮在

6.★求函数y=3tan[x+(∙}-V≤x≤^∙的值域

【答案】r[0,3√3]

7.★★已知函数/(x)=-2qsin(2x+?)+2〃+伙a>0)。

(1)求函数的单调增区间。

(2)若函数的定义域为[