2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第三章 第三讲　第三课时　导数与函数的零点 学案

第三课时导数与函数的零点

•互动探究AN

考点一讨论函数的零点

例1设函数4x)=e2∙v-αlnX.

(1)讨论人幻的导函数/'(%)零点的个数;

2

(2)证明：当α>0时，Xx)≥2a÷0ln

［解析］(1次X)的定义域为(O,+∞),

f'(Λ)=2C2Λ-^(Λ->0).

当α≤0时，/(x)>0,/'(元)没有零点；

当α>0时，因为y=e2∙t单调递增，

>=-B单调递增，

ʌ

所以/'(X)在(0,+8)上单调递增.

又/'(α)>0,当。满足0<X*且X；时，f'(⅛)<0,

(讨论“21或α<l来检验),

①当α>l时，则0。<1,

ɪɪ

f'(b)=2e2ft-∣<2e1-4α<2e1-4<0；

a_ɪ

②当«<1时，贝IJ0<b<^,f'(⅛)=2e2fc-∣<2e1-4<2e1-4<0,综上，f'S)<0.

故当«>0时，/(X)存在唯一零点.

(2)证明：由(1),可设，(尤)在(0,+8)上的唯一零点为χo,

当X∈(0,AO)时,f'(x)<0;当x∈(xo,+∞)⅛,f'(x)>0.

故在(0,xo)上单调递减，在(xo,+8)上单调递增，

所以当X=XO时，«r)取得最小值，最小值为兀助.

由于2v

2e-o-√τvU^=0,

所以人XO)=*~+24ro+αln-22。+。In-.

NXoClCl

2

故当a>0时，Kr)22α+αln~.

名帅A拨MINGSHIDIANBO

利用导数研究方程根(函数零点)的技巧

(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、

变化趋势等.

(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置.

(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观

的整体展现.

〔变式训练1〕

(2022・赣州适应性考试)已知函数段)=e∙r—xlnx,./U)的导函数为∕'(X).

(1)当"2=1时，证明：函数人犬)在(0,+8)上单调递增；

(2)若g(x)=/(X)—机+1,讨论函数g(x)零点的个数.

［解析］(1)证明：当m=1时，X%)=eγ^1—ɪlnx(x>0),'.f'(x)=e'1-Inx

—1,

令h(X)=于'(x)=evl-Inχ-1,

则.(x)=eχT-

当x∈(O,l)时，h'(%)<0,饵龙)单调递减；

当x∈(l,+∞)0t,h'(x)>0,〃(X)单调递增，

.∙.A(x)min=Zi(I)=O,二当x>0时,MX)=f'(x)=ex-1—Inχ-1,

.∖ΛX)在(0,+8)上单调递增.

(2)由题意得，f'(x)=ex~m—Inx—1,则g(x)=/(x)—τn+l=ex^rtl—Inx—

m(x>0),

令g(jc)=e*-"'-lnx~m=0,则e'^^w=lnx+m,

.*.ex=em(lnx+ni),

，xe'=Λem(lnχ-∖-m),

Λχer=em+ln-''(lnx+m),

令矶X)=Xeλ,则9(x)=8(m+lnx),

；当x>0时，φ'(x)=(x+l)e'>O,

.∙.当x>0时，9(x)=Xex为单调递增函数，

.∙.x=机+lnx,.∖m=χ-In%(x>0),

令t(x)=X-Inx(x>0),贝!］r'(x)=l-ɪ,

当O<x<l时，/。)<0,心)单调递减，当Ql时，

t'(Λ)>O,Z(X)单调递增，

•∙/(ɪ)min=/(1)=1,

.∙.当〃2<1时，m=χ-lnX无解，即g(x)无零点；

当〃2=1时，/〃=x—Inx有1个解，即g(x)有1个零点；

当〃》1时，m=x—Inx有2个解，即g(x)有2个零点.

考点二根据零点个数求参数范围

例2(2022•全国乙卷)已知函数/(x)=0r-(α+l)lnx.

(1)当α=0时，求/)的最大值；

(2)若/U)恰有一个零点，求a的取值范围.

［解析］利用导数求函数的最值+利用导数研究函数的零点(理性思维、数学

探索)

1llɪ—X

(1)当α=0时，<》)=一；一InX(X>0),所以/(%)=乒一；=-^-

√V∙Λ∙人■人

若X∈(O,D,f'(x)>0,/X)单调递增;

若x∈(i,+∞),f(x)<o,yu)单调递减，

所以yU)max=∕∏)=-l.

,〜1,/日R,1«+1(ax—I)(X—1)

(2)由人幻=⑵一；一(a+l)lnx(x>0),付/(x)=a+-2~--=

∙A∙√v人人χ2

(x>0).

当α=0时，由(1)可知，/U)不存在零点；

U)(LI)

当α<0时，f'(%)=—--------，

若X∈(O,D,f'(x)>0,/X)单调递增,

若x∈(i,+∞),f(x)<o,yu)单调递减，

所以/(x)max=Al)=α-1<0,所以«x)不存在零点；

当α>0时，f'(%)=-----p-------,若α=l,/(x)2O,

兀¥)在(0,+8)上单调递增，因为γ(i)=α-ι=o,所以函数九》恰有一个零

点，

若a>l,∕U)在(0,5I，(1,+8)上单调递增，在g,1)上单调递减，因为7(1)

=«-1>0,所以七)次1)>0,当L0+时，危)一一8,由零点存在定理可知於)

在(0,力上必有一个零点，所以α>l满足条件，

若0<α<l,T(X)在(0,1),g,+8)上单调递增，在(1,3上单调递减，因为

Λl)=α-1<0,所以d勺U)<0,当χf+8时，/(χ)→+∞,由零点存在定理可

知火X)在(5，+8)上必有一个零点，即o<“<ι满足条件.

综上，若7U)恰有一个零点，α的取值范围为(0,+∞).

名帅点帔MINGSHIDIANBO

利用函数零点求参数范围的方法

1.利用零点的个数结合函数段)的单调性构建不等式求解.

2.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

3.分离参数(Z=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化

为直线y=Z与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解.

〔变式训练2J

设函数/(X)=—x2÷θr÷lnx(«∈R).

(1)当。=一1时，求函数的单调区间；

(2)若函数HX)在g,3上有两个零点，求实数”的取值范围.

［解析］(1)函数.穴X)的定义域为(0,+∞),

当。=一1时，

,1-2x2-ɪ+1

f（X）=—2x—1+--

X

令/(x)=0,得x=](负值舍去),

当0令<；时，f'(x)>O;

当x>∕时，/(x)<O.

单调递减区间为出

+∞L

]nX

(2)令«¥)=-χ2+ax+∖nX=0,得a=χ-~~^~~.

令g(x)=x—乎，其中χ∈g,3

1—lnxx2÷lnχ-1

贝∣Jg'(X)=I

令短(X)=0,得X=1,当]Wx<l时，g'(%)<0；

当lαW3时，g'(x)>0,

所以g(χ)的单调递减区间为4，1),单调递增区间为(1,3],

所以g(x)min=g(l)=l,因为函数犬X)在*3上有两个零点,g(∣∙)=31n3+1,

c∖CIn3

g(3)=3-?-

31n3+∣>3-ɪʃ,

所以实数α的取值范围是(1,3

考点三与零点有关的综合问题

例3(2020•全国Ill卷)设函数兀T)=Λ3+AX+C,曲线y=√(x)在点(；，《习)处的

切线与y轴垂直.

⑴求。；

(2)若y(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：yu)所有零点的绝对值都不

大于1.

[解析]W(x)=3√+⅛.

依题意得/a=。，≡p∣+⅛=o,

故g-/

3

(2)证明：由(1)知人X)=Aɜ-/+,,,

311

/(X)=3Λ2-[令/'(X)=0,解得x=—2或无=]•

/(X)与yu)的情况为：

+

X(-8T)——22)&°°)

f'(X)+0—0+

11

用）c+-C--

44

因为TU）=/（_g=c+：,

所以当C＜一；时，兀X）只有大于1的零点.

所以当c＞：时，y（x）只有小于一1的零点.

由题设可知一（wcw∕

当。=一；时，,八工）只有两个零点一3和1.

当c="时，yu）只有两个零点一1和小

当一（＜C＜t时，段）有三个零点九1,无2,九3,且Xle（—1,—；），X2《（一g,g）,

X3e（］'1）∙

综上，若大x）有一个绝对值不大于1