新教材人教A版高中数学必修第二册空间直线、平面的垂直2种题型 同步讲义

28、空间直线、平面的垂直2种题型

【考点分析】

考点一：直线与平面垂直

①直线和平面垂直的定义

直线/与平面ɑ内的任意一条直线都垂直，就说直线/与平面α互相垂直，记作

②直线与平面垂直的判定定理

一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，

∙=>∕±α

③直线与平面垂直的性质定理

1.垂直于同一个平面的两条直线平行，即α,α,b工a=a∕∕b

2.如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面，即

aLa=>bLa

考点二：平面与平面垂直

①平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，±a=>a±β

②直线与平面垂直的性质定理

两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

a1βz4

>=>/-La,

acβ=a

I-La

【题型目录】

题型一：线面垂直基本概念的理解

题型二：线面垂直的证明（关键是证直线与平面内两条相交直线垂直）

【典型例题】

题型一：线面垂直基本概念的理解

【例1】/表示不同的直线，α是平面ɑ内的一条直线，则∕∙Lα是/_La的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的判定定理分析判断即可.

【详解】当/l,ɑ时，/J∙α不一定成立，也有可能∕ua等情况；

当/_1_夕时，因为αuα,所以/_La；

综上：的必要不充分条件.

【例2】已知直线。力和平面α,且b在α上，“不在α上，则下列判断错误的是（）

A.若。〃α,则存在无数条直线匕，使得。〃匕

B.若〃_1。，则存在无数条直线b,使得a_L6

C.若存在无数条直线b,使得。〃匕，则〃〃ɑ

D.若存在无数条直线b,使得a则a_La

【答案】D

【分析】由线面平得的性质定理判断A；

由线面垂直的定义判断B：

由线面平行的判断定理判断C；

当“〃a时，也满足条件，从而判断D.

【详解】解：对于A,若。〃α,则。平行于过。的平面与α的交线c,当8〃C时，a//b,

则存在无数条直线人,使得a〃/，，故A正确；

对于B,若。，。，。垂直于平面。中的所有直线，则存在无数条直线分，使得a_L8,故B

正确；

对于C,若存在无数条直线方，使得。〃匕，bua,CiBa、则”〃ɑ,C正确；

当a〃a时•，存在无数条直线6,使得D错误.

【例3】下列命题正确的是（）

A.一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行.

B.如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.

C.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.

D.两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行.

【答案】C

【分析】根据线面平行，线面垂直的定义，逐个选项进行判断，可得答案.

【详解】对于A,一条直线和一个平面平行，根据线面平行的定义，不能得出它和这个平面

内的任何直线平行，故A错；

对于B,根据线面垂直的定义，如果该直线垂直于平面内无数条平行直线，则该直线不一定

和该平面垂直，故B错；

对于C,根据线面垂直的定义，垂直于三角形两边的直线，必定垂直于三角形所成的面，则

该直线必垂直于三角形的第三边，故C正确；

对于D,两条直线与一个平面成角相等，则两条直线可以相互平行，也可以相互垂直，故D

错误；

【例4】已知α,A是两个不同的平面，/,m,〃是三条不同的直线，下列条件中，可以得到

/J-α的是（）

A.ILm,"？Uα,UUaB.ILm,mlIa

C.a，β,U∕βD.IHtn,mA.a

【答案】D

【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定D正确，举反例可判定

ABC错误.

【详解】对于A,若Urt,mua,〃ua,当m,“平行时，/与平面。可平行，可

在内，也可斜交，也可垂直，故A错误；

对于B,若加〃a,设过机的平面厅与a交于〃，则根据线面平行的性质定理可得就/〃，在

平面a内，作直线/_L〃,则/_Lm,而此时/在平面。内，故B错误；

对于C,若aJ∙力，设aQA=a,在平面a内作直线〃∕a,则/<26，由线面平行的判定定

理可得/〃而此时/在平面a内，故C错误；

对于D,若则直线，”与平面a内的所有直线都垂直，乂〃/加，•••/与平面a内的所有

宜线都垂直，根据线面.垂直的定义可得/∙Lα,故D正确；

【例5］过已知平面ɑ外一点A作与α垂直的直线的条数有（）

A.OB.1C.2D.无数

【答案】B

【分析】由平面的基本性质判断垂直于平面的直线条数.

【详解】由过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条，故平面α外一点A作与α垂直的直

线的条数有1条.

【例6】在正方体Aga）-A耳GR中，点M在线段CG上，点N为线段AA的中点，记平面

BDM平面BRM=I,则下列说法一定正确的是（）

A./1平面BZ）NB.//平面B∣RN

C.［上平面CDDCD.//平面ACGA

【答案】D

【分析】根据线面平行可得两平面的交线满足用R〃/,进而根据4A，平面ACGA，即可

判断//平面ACeA.

【详解】由题意得，BxDJlBD,BDU平面BZW,S平面BDW.则8Q//平面及加，

又平面BDM1平面8aM=/,；.BR///,因为BBYAtCi,BlDtYAAt,AiCtr>AAt=Al,AA1U

平面AΛ,CC.AGU平面AAGC,故BaJ.平面ACGA,因此//平面ACGA.故D正确

而B1D1IIBD,BD<=平面8。MBQu平面BZW则BQ//平面BDN:故IH平面3£>M选项

A错误，同理选项B错误；

由于用已HGA相交不垂直，故Ba与平面CDAG不垂直，因此/不垂直平面CDRG,故C

错误；

【例7】如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的

中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ垂直的是（）

QM

【答案】ABD

【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定定理依次讨论各选项即可得答案.

【详解】对于A选项，如图，因为M,MQ为所在棱的中点，故由正方体的性质易得

BB11AB,CD1AB,MQ//CD,MN//BBt,所以MQJ,A8,WV_LAB,由于MQCMN=M,

散ABL平面MNQ,故A选项正确；

对于B选项，如图，因为M,MO为所在棱的中点，所以仞V//C2MQ//AC,由正方体的

性质得ABl1CD,CD±BBl,ABl8B∣=q，所以CO_L平面434，故。。，4?,所以用可148,

同理得MQLAB,MNCMQ=M,故平面MNQ,故B选项正确；

对于C选项，如图，因为M,N,。为所在棱的中点，所以MN/∕AB∣,ACVM1B∣,所以在ABC

中，AB与AC夹角为上，故异面直线MV与AB所成的角为冷，故AB2平面MNQ不成立,

故C选项错误;

MBl

对于D选项，同A选项，可判断AB人平面MNQ,故D选项正确;

【例8】已知正方体ABC。-AACa中，E是48的中点，则下列结论正确的是（）

A.RE与。Bl相交B.DtEYAlD

C.REL平面ABOD.AE〃平面BDG

【答案】B

【分析】对于A,作图直接观察，由异面直线的定义，可得答案；

对于B,由线面垂直的定义，通过证明线面垂直，可得答案；

对于C,根据正方体的性质，结合线面垂直判定定理，找出垂线，判断其垂直与已知直线的

位置关系，可得答案；

对于D,过所求平面中的点，作已知直线的平行线，根据线面位置关系，可得答案.

【详解】对于A,由题意可作图如下：

因为AE与。片异面，故A错误;

对于B,连接AR在正方体ABC。-ABC。中，如下图:

AtD±ADi,AE_L平面4。AA，因为A。U平面A。AA,，所以AE，4。,

因为AECAA=A,所以A。，平面AE。，REU平面4ER,

所以。ELA。，故B正确；

对于C,连接AC∣,如下图：

可得AGɪ平面48。，因为AC1HD1E不平行，所以RE不垂直平面AtBD,

故C错误；

对于D,取GA中点F,连接BF,如下图：

则RE〃8尸，因为班•交平面8。G于8,B厂不平行平面BOG,即。E不平行平面800,

故。错误.

【题型专练】

1.已知直线/和平面α,则“/垂直于α内任意直线”是“/，a”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判定和性质，结合题意，即可容易判断和选择.

【详解】若/垂直于a内任意直线，显然有/，々，故充分性成立；

若/_La,贝心垂直于平面a内任意直线，故必要性成立，

故”/垂直于a内任意直线''是的充要条件.

2.设机,〃是两条不同的直线，a,4是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推

出的是（）

A.a!Iβ,且〃UaB.m∕∕n,且加

C.机_1_〃，且"zu/?D.且〃z//4

【答案】B

【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可

【详解】对于A：allβ,且“ua,则〃///，故A错误；

对于B：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确:

对于C：«7_L〃，且%U/7,则“u2或〃//£或〃与尸相交均有可能，故C错误；

对于D：m_L〃，^.nιllβ,则则"U〃或〃〃〃或“与夕相交均有可能，故D错误；

3.己知名£,/是三个不同的平面，/,〃?,〃是三条不同的直线，且々门夕=/,〃?,〃匚人在下列条

件中，能推出的是（）

A.nɪ/,wɪ/B.mVI,nVa

C.nɪa,mɪaD.mVa,nλ-β

【答案】D

【分析】由线面垂直的判定定理结合图象判断即可求解

【详解】当机〃〃时（如图所示），由推不出∕∙Ly,即A错误；

同理可知，B,C错误；

若m_La,〃JL£,可知用与〃交于一点，且"所以/，/,即D正确.

4.若一条直线。与平面a垂直，下列平面中的两条直线与。垂直，可以保证直线与平面垂直

的是（）

①四边形的两边②正六边形的两边③圆的两条直径④三角形的两边

A.①②B.①③C.②③D.③④

【答案】D

【分析】根据线面垂直的判定定理及平面图形的结构特征逐一判断即可.

【详解】解：对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线

面垂直；

对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；

对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；

对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.

所以可以保证直线与平面垂直的是③④.

5.如图，圆柱00'中，AA是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（）

A.BCl平面AACB.BCl平面AAB

C.ACl.平面A%CD.AC，平面ANB

【答案】A

【分析】根据线面垂直的判定定理及定义判断即可；

【详解】解：依题意A4'_L平面ABC,BCU平面ABC,所以A4'，BC,

又AB是底面圆的直径，所以3C1∙AC,

44'CAC=A,A4',ACu平面AAc,所以BCI平面AA'C,故A正确；

对于B：显然BCSiAB不垂直，则BC不可能垂直平面A'AB,故B错误；

对于C：显然AC与A'C不垂直，则AC不可能垂直平面48C,故C错误：

对于D：显然AC与AB不垂直，则AC不可能垂直平面AAB，故D错误；

6.如图，在正方体ABCD-AAGA中，点P,。分别为线段BO,AG上的任意一点.给出

下列四个结论：

①存在点尸，Q,使得PQl平面ABer＞；

②存在点尸，Q,使得P。工平面BOG；

③存在点。Q,使得PQ〃平面BCA；

④存在点户，Q,使得PQ〃平面OQCG.

其中，所有正确结论的序号是（）

Du_____________C1

A.Q@B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】当尸，Q分别为线段8。，AG的中点时，PQi/CC,,然后可判断出答案.

【详解】当p,Q分别为线段即，AG的中点时，P。//CG,所以此时有PQl平面ABC。,

PQ〃平面。。CG,

不存在点P,Q,使得PQ工平面BOG、PQ〃平面BCR,

故正确结论的序号是①④,

7.已知小、〃是两条不同的直线，a、尸是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中是

真命题的是（)

A.若加-1_",n⊂α,则，"_La

B.若机-La,〃ua,则机_1_〃

C.若m_La,〃-L。，贝IJmHn

D.若，"ua,nuβ,allβ,则加〃〃

【答案】BC

【分析】根据线面垂直的定义和性质，以及面面平行的性质即可判断.

【详解】对于A,直线E垂直于平面a内的一条直线〃，则直线Zn与平面a不一定垂直，所

以A不是真命题;

对于B,因为机_La,"ua,由直线与平面垂直的定义可知：mLn,所以B是真命题;

对于C,因为m_La,«±a,由直线与平面垂直的性质可知：m∕∕n,所以C是真命题;

对于D,分别在两个平行平面a,。内的直线力，〃平行或异面，所以D不是真命题.

8.正方体ABCZ）-ABe。中，M为AA中点，0为BR中点，以下说法正确的是（）

B.OM〃平面BCCg

C.OM，平面BBQOD.OMd.平面BCGq

【答案】AC

【分析】设AC,8。交于E,利用线面平行的判定定理可判断A,由题可得OM//AC进而可

判断BD,利用线面垂直的判定定理可得M_L平面BBaD,进而可判断C.

【详解】连接AC,B。交于E,连接OE,则E为8。的中点,

所以OE〃£>〃，OE=^DDi,

又M为AA中点，AM/∕DDt,AM=；DR,

所以OE∕∕AM,OE=AM,

所以四边形OMAE为平行四边形，

所以OM//AE,又OMU平面ABCD,AEU平面ABCD,

所以OM//平面ABCD,故A正确；

因为OM〃AC,AC与平面BCGBl相交且不垂直，

所以OM与平面BCG4不平行且不垂直，故BD错误；

由题可知BBl，平面ABCD,AEU平面ABCD,

所以8线，AE,由题可知AELBD，

又BB、BD=B,BB、u平面BBuD,BDU平面BBQQ,

所以AEL平面BBQQ,又OMUAE,

所以QWj_平面BBRD,故C正确.

9.如图所示，已知几何体A88-ΛlB∣GA是正方体，则（）

A.AO∙1■平面ABQB.AO〃平面AGCB

C.异面直线AD与A片所成的角为60。D.AtDlBtDt

【答案】BC

【分析】结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识对选项进行分析，从

而确定正确答案.

【详解】根据正方体的性质可知AB"G。，三角形ACD是等边三角形，

所以A。与CQ所成角为60。，所以4。与A片所成角为60。，

所以A选项错误，C选项正确.

根据正方体的性质可知平面AAA平面与GCB,

由于AQU平面AADQ,所以A。〃平面耳6CB,B选项正确.

根据正方体的性质可知，三角形AtBD是等边三角形，

所以A。与8。所成角为60。，所以AQ与BQl所成角为60。，所以D选项错误.

10.下列条件中能推出/_La的有（）

A.直线/与平面ɑ内一个三角形的两边垂直B.直线/与平面ɑ内一个梯形的两边垂直

C.直线/与平面ɑ内无数条直线垂直D.直线/与平面ɑ内任意一条直线垂直

【答案】AD

【分析】由线面垂直的判定定理判断

【详解】由线面垂直的判定定理知AD正确，

对于B,当梯形的两边平行时，不能推出/_La,

对于C,当无数条直线相互平行时，不能推出/La,

题型二：线面垂直的证明（关键是证直线与平面内两条相交直线垂直）

证线线垂直的常用方法：1.看到等腰等边三角形，要想到三线合一

2.看到棱形，要想到对角线相互垂直

3.看到线面垂直，想到这条线垂直于面内的所有直线，得到线线垂直

4.知道边的长度比较多，要想到勾股定理

5.看到圆形，想到直径所对的圆周角是直角

6.看到面面垂直，要想到面面垂直的性质

【例1】在平行四边形ABCr）中，AB=6,BC=A,ZBAD=60°,过点A作CD的垂线交CO

的延长线于点E,连接EB交A£>于点F,如图①；将VAr>E沿AO折起，使得点E到达点P

的位置，如图②.

①②

（1）证明：直线AD_L平面3尸P;

【答案】（1）证明见解析

【分析】（I）在图①中，求出£>E、BE,再由三角形相似求出■、BF,即可得到A

即BE_LAr>，根据图形翻折的性质得到尸F_LAD，BFLAD,即可得证；

【详解】（1）图①中，根据已知条件可得，DE=2,AE=2√J,BE=4y∕3.

因为ZDAB=ZADE,ZDFE=ZAFB,

Γ∖pPPΓ∖p1

所以MSzxof77,所以与=M=爷=：.

AFBFAB3

所以AK=3,8F=3√J,

因为AF?+BF?=AB'所以AFJ即BEJLAE）.

在图②中，因为PFJ_4），BFLAD,PFCBF=F，PFU平面班尸，Mu平的3FP，

所以AD_L平面BFP.

【例2】如图，在棱长为1的正方体A88-A4GA中，点E、尸分别为棱BC、CQ中点.

【答案】（1）证明见解析

（分析］（1）先证明EDt1AF,再证明D1ElAB1即可；

【详解】（1）解：（1）如图，AE在平面ABCC上的射影为DE,

由E、尸分别为棱BC、Cz）中点，

故iAFD=t,DECnAF1DEnEDl1AF,

同理，AB1±A1BDlE±AB,,

因为A£ABt=A,AF,ASU平面A4尸，

所以AE_L平面AB/.

【例3】如图，在四棱锥P-AfiC。中，底面ABa）为正方形，点P在底面ASC。内的投影恰

为AC中点，且8W=MC.

BMC

（1）若2PC=√JθC,求证：PMj_面PA£>:

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据已知条件2PC=√JθC,不妨设IDCI=2,IPa=6,然后根据勾股定理分

别证明RWl.R4,PM±PD，最后根据线面垂直的判断进行证明即可.

【详解】（1）如图，连接AW,DM.

已知2PC=6OC,不妨设|。。=2,∣PC∣=√3.

已知点P在底面的投影落在AC中点，所以四棱锥尸-ΛBCD为正四棱锥，

BP∣A4∣=∣Pβ∣=∖PC∖=∖PD∖=J3,

:底面ABcD为正方形，.∙.∣AΛ∕∣2=∣Aβ∣2+∣BΛf∣2=4+1=5,得∣AΛ∕∣=√5^,同理得IDMl=有，

M为BC的中点，/.PMLBC,.∙.∣PΛf∣2=∣PB∣2-∣BΛ∕∣2=3-1=2,得IPMl=0,

∣AΛ∕∣2=∣Λ4∣2+∣PΛ∕∣2,.∙.PM±PA,同理可得PA/_LP£＞，

A4u平面R4T),PDU平面PAr),且R4PD=P,..PML平面P4D

【例4】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是矩形，PD=DC=∖,PC=BC=&M为

BC上的点，且AMJ_平面P£/；

⑴求证：POL平面ABCD；

【答案】（1）证明见解析

【分析】（I）利用勾股定理、平行关系和线面垂直性质可得PDJLM,AM±PD,由线面

垂直的判定可证得结论；

【详解】（I）P3=3C=1,PC=√2.:.PD2+DC2=PC2:.PDYDC,

又ABHCD、：.PD,AB：

AM_L平面PDB,PE）U平面尸£>8,.∙.AMVPD-.

ABAM=A,A8,AMu平面ABeC）,.∙.PfJj_平面AfiCD

【例5】如图，四边形ABC。与户均为菱形，FA=FC,AB^2,iLZDAB=ZDBF=60.

（1）求证：ACJ_平面Bz）EF：

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）先做辅助线，再利用线面垂直判定定理判定定理证明.

【详解】（1）证明：设AC与BO相交于点。，连接F0.

丫四边形ABC。为菱形，ΛAClBD

O为AC中点，FA=FC,：.ACVFO.

WOcBD=O,BcU平面BOEF,FO⊂4PlfilBDEF

.*.AC_L平面BDEF.

【例6】故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐虎殿顶的屋顶样式，尻殿顶

是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面

斜坡，故又称四阿顶.如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似.己知底

面ABeQ为矩形，AB=2AD=2EF=S,EF//ABCD,EA=ED=FB=FC,M,N分别为

AD,8C的中点.

EF

（1）证明：EF//AB且BCL平面EFNM.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）由线面平行的性质结合已知条件可证得EF〃A8,由等腰三角形的性质可得

EMlAD,FNLBC,再结合线面垂直的判定可证得BCJ_平面EFMW；

【详解】（1）证明：因为EF〃底面ABCD,EFU平面ABFE,平面ABFEUs∣∣jABCD^AB,

所以历〃45.

因为E4=ED=EB=FC,M,N分别为A。，8C的中点，

所以EΛ∕J›AD,FNLBC,AM=-AD,BN=-BC,

22

因为AO〃BC,AD=BC,

所以四边形ABNM为平行四边形，

所以MN=AB?EF,

因为即〃43，

所以四边形EFNM为梯形，且EM与FN必相交于一点，

又ADHBC,

所以EM_LBC,

因为EM,FNU平面EFNM，

故BCL平面ERVM.

【例7】如图所示，在直三棱柱ABC-ABIG中，AB=BBl=BC,AGJ•平面A∣8O,D为

AC的中点.

（1）求证：与。〃平面A8。；

⑵求证：耳Gd.平面ABBA；

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明与。〃平面AB。；

（2）利用线面垂直判定定理去证明用G，平面A8B∣A：

【详解】（1）连接A片与A/相交于M,则例为AB∣的中点.连接ΛW,

又。为Ae的中点，

又BCa平面A?。，〃。＜=平面48£）,；.81。〃平面48。.

(2)=AB=与B..∙.平行四边形为正方形，

.∙.AB_L4片.又•；AG_L平面AfO,ABU平面A8。

.∙.AC11AiB,乂AClCAg=A,AGU平面ABC,AMU平面ABC

.∙.AB，平面ASC,,又B∣C∣u平面AB©,ΛAtBYBlCl.

又在直二棱柱"C-ABG中，BBlIBC,ABCBBI=B,A0叫U平面A叫A∣.

.∙.BlG，平面ABgA.

【例8】如图，在三棱柱ABC-ABC中，Ccj平面ABC,D、E、F、G分别为A4、AC.

4G、8岑的中点，AB=BC=BAC=AA=2.

（1）求证：AC平面庞下；

【答案】（1）证明见详解：

【分析】（1）由等腰三角形性质得ACLBE,由线面垂直性质得4C,CG,由三棱柱性质可

得EF//CG,因此£F^AC,最后根据线面垂直判定定理得结论；

【详解】（I）在三棱柱A6C-A/2/G中，

「CC/，平面ABC,四边形4/AC。为矩形.

又E,F分别为AC,A/C/的中点，：.AC±EF.

'：AB=BC,E为AC的中点，..∖AC±BE,而BEEF=B,

3Eu平面BEF,EFU平面BEF

.∙.AC1,平面BEF.

【例9】如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8C。是直角梯形，ZABCW90。，AB//CD,PAA.

平面ABmAB=2,PA^AD^DC=∖.

（1）证明：BCl平面PAC；

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）证明8CJ_AC,3C，PA,即可由线线垂直证明线面垂直；

【详解】（1）底面ABCD为直角梯形，ZABC≠90o,ABHCD,故可得ZBAD=NCDA=90。,

又AB=2,AD=DC=I,则AC=VAD?+DC。=√Σ，易知8C=√∑,

i½AC2+BC2=AB2.则BCɪAC；

XE4±ffiABCD,BC⊂[gfABCD,故BC_Zft4；

又AC,PAU面PAC,AeCPA=A,取BCL面PAC.

【例10]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是平行四边形，ZABC=120o,AB=I,

BC=4,PA=而,M,N分别为8C,PC的中点，PDVDC,PMLMD

（1）证明：C3J■平面RW；

【答案】（1）证明见解析

【分析Xl）根据底面ABa）的性质，结合余弦定理勾股定理推出出CQM,再结合POLOC

即可推出C£>_L平面PDM,

【详解】（I）因为底面A8C。是平行四边形，NABC=I20。，BC=4,48=1,且M为8C

的中点，

所以CM=2,CO=I,ZDCM=60°,由余弦定理可得。M=√L

贝∣JCD?+DW2=CM2

所以CDLDM,

又户OJ_DC,且P3ΠQM=O,PDU平面PQM,£>MU平面PDM,

所以CQ_L平面PDM.

【例11］如图，以是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A.8的一点,

且E4=AC=8C=2.

（1）求证：BC_L平面PAC

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）通过证明PA∙LBC,BCIAC来证得BC工平面PAC.

（1）

∙.∙∕¾为圆柱母线，

A4J_平面ACB.

,：BCU平面ACB,

，PALBC,

YAB为底面圆直径，；.BCɪAC,

∙.∙ACu平面APC,R4u平面APC,ACCR4=4,

.∙∙Be_L平面PAC

【例12］如图，在四棱锥「一ABCQ中，底面ABCZ）为平行四边形，PCD为等边三角形,

平面B4C，平面PCD,PAVCD,CD=2,AD=3,棱PC的中点为M连接OM

⑴求证：PAj■平面PCr）；

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）取棱PC的中点M连接。N,可得ONLPC,利用面面垂直的性质定理可得

DNL平面B4C,从而得到Z?NJ_以，利用线面垂直的判定定理证明即可；

【详解】（1）证明：取棱PC的中点M连接。M

由题意可知，DNiPC,又因为平面Ric,平面PCn,平面以Cn平面尸Co=Pc,

所以DML平面办C,又∕¾u平面∕¾C,

故£W_Lfi4,又ELCO,CDCDN=D,CD,DNU平面PCZZ

则用_1_平面PCD；

【题型专练】

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，lkP4Z）是等边三角形,

平面RW_L平面ABCD,E,F分别是PC,AB的中点.

【分析】（1）通过作辅助线，利用三角形、面面垂直的性质以及线面垂直的判断定理.

证明：如图，取AD的中点。，连接OP,

因为一FAD是等边：角形，所以POJ

又平面R4DJ.平面ABCD,平面BWc平面ABCD=AD,

所以P。/平面ABCD.

连接OF,PF,CF,因为底面ABa）是边长为2的正方形，尸是A8的中点,

斫以OP=瓜OF=RPF=CF=E

又E是PC的中点，PD=CD,所以OEJ_PC,所_LPC.

因为OEnEF=E,所以PC_L平面£＞所.

2.如图，在五面体ABCOEF中，面ABFE是边长为2的正方形，三角形AZ)E是等边三角形,

且ABJ_A£>,EFrED.

(1)证明：C£>J_平面Az)£；

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)证明出Λfi〃平面COEF,利用线面平行的性质可得出CD〃/3,进而可得出

EFHCD,由已知条件得出COLA。，CDLDE,再利用线面垂直的判定定理可证得结论;

【详解】(1)解：因为四边形ABE尸为正方形，则ΛB∕∕Ef,

ABa平面C£>£尸，MU平面CZ)EF,〃平面CDEF,

ABU平面A8CO,平面ABCDc平面8Eb=Cr),.∙.AB"Cf),.∙.EF∕/CD,

因为ABLAD,EFLED,则CD_LAD,CDLDE,

QADCDE=D*AD,Z)EU平面Ar)E,所以CDJ■平面Ar)E：

3.如图，三棱柱ABC-ASC的所有棱长都是2,AA，平面A8C,。是AC的中点.

(1)证明：8。，平面4人。。|；

【答案】(1)证明见解析；

【分析】(1)通过AAJ>8。，8。_LAC得到证明.

【详解】(I)AAL平面ABC，即U平面A8C,故AAa8。，

ΛBC是等边三角形，。是AC中点，故BDLAC,

ACryAAt=A,AC,AΛ1u面AAeC-故BOJ_平面AACG.

4.如图，在四棱锥P-ABcD中，底面ABe。是矩形.已知Aθ=3,AD=2,PA=2,PD=20，

ΛPAB=60o.

（1）证明：AE>_L平面R4B；

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）由题意在一小。中，利用所给的线段长度计算出A。，A4,利用矩形ABa）及

线面垂直的判定定理能证明AD，平面R4B：

【详解】（1）证明：在一皿>中，由题设R4=2,PD=20

可得RV+A£）2=尸02于是4），以

在矩形ABCi）中，ADJ.AB.又以AB=A,PA,ABu平面

所以Ar）L平面上4B.

5.如图，在四棱锥尸-AfiC。中，底面ΛBCQ为正方形，平面RACL底面ASC。，PALPC,

且E4=PC,M是B4的中点.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）欲证明PAl平面BMD,只需证明PA垂直于平面BMD内两条相交的直线即可；

【详解】（1）设3。与AC交于0,连接MO.

因为AC,8。为正方形A8C。的对角线，所以0为AC中点;，且AC人，

因为M是R4的中点，所以OM〃尸C,

因为B4J_PC，所以

因为平面尸AC-L底面ABC£）,平面PAC平面ABa）=AC,U平面ABCO,

所以3。4平面PAC,因为R4u平面PAC,所以Z4L3Q

因为。U平面8g，OMBD=O,所以PAl•平面BMO；

6.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.A3C是底面

的内接正三角形，P为。。上一点，PO=^-DO.

6

【答案】⑴证明见解析；

【分析】（I）方法一，利用勾股定理即及线面垂直的判定定理即得；方法二，利用坐标法即

得；方法三，利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四，利用空间基底法即得；

【详解】（1）［方法一］：勾股运算法证明

由题设，知DAE为等选;角形，设AE=I,

贝IJOO=正，CO=BO=-AE=-,

222

所以Po=亚。。=也，PC=QPO2+0C=J^=PB=PA,

644

又/3C为等边三角形，则一^77=204,

sin60

所以BA=3,PAi+PB2=-=AB2,

24

则NAp8=90,所以R4±PB,

同理P4∙LPC,义PCPB=P,PCU平面PBC,PBU平面尸BC,

所以PA_L平面PBC；

7.如图所示,在四棱锥P-ΛBCf＞中，PA平面48Cf）,四边形ABCD是矩形,且R4=Aβ=2,

AD=3,E是棱BC上的动点，F是线段尸E的中点.

【分析】（1）方法一，取棱PB,PC的中点分别为M,N,利用线面垂直的判断定理可得AD_L

平面进而可得PBL平面ADR方法二，利用坐标法，求出AD,AF向量和向量BP的

坐标表示，证明垂直即得；

【详解】（1）方法一：分别取线段PB、PC的中点M、N,易知点M、N、F共线，

∙/PA=AB,

，PBLAM,

又：B4L平面ABC。，AC)U平面ABCQ,

B4_LA。，又四边形/WC力是矩形，ADJ.AB.

'：PAr>AB=A,PAU平面PAB.ABU平面PAB,

AD_L平面BAB,PBu平面P4B，

ΛPBYAD,又PB_LAM,ADAM=A,ADu平面ADF,AΛ∕u平面AD6,

因此PBJ_平面A£>F；

8.如图，在正方体ABs-AAGA中，E是棱。R的中点.

（1）试判断直线BR与平面AfC的位置关系，并说明理由；

⑵求证：直线BRJ.平面ABC.

【答案】（1）直线〃平面AEC,理由见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）连接8。交AC于点0,由三角形中位线性质可得0E//5R,由线面平行的判定

可证得结论；

（2）由正方形特征和线面垂直性质可得ACl8。，AClDD1,由此可得ACL平面8。。，

由线面垂直性质可得AC，BR,同理可得用C1.BR,由线面垂直的判定可得结论.

【详解】(1)直线〃平面AEC,理由如卜:

在图1中，连接8。交AC于点。，连接OE,

四边形ABC。为正方形，.∙.O为班＞中点，又E为DD∖中点、，.∙.OE"BD∖,

又OEU平面AEC,Baa平面AEC,〃平面AEC.

(2)在图2中，连接8D,8G,

一四边形A8Cf＞为正方形，.∙.AC"LBD:

QZ)RL平面ABCr＞，ACU平面ABC。，.・•力R∙LAC;

又BDDDt=D,8£＞,ORU平面BDR,.XC二平面B。。，

BDtU平面BDDi,.∙.BDi1AC：

同理可得：BCL平面8GR,又8。U平面BCR,二BDJBC；

ACBxC=C,AC,B1CU平面AB1C,:.BDtJ■平面ABtC.

9.如图，在四棱锥尸—ABCD中，孙，平面48。。尸4=/1a/1。〃80。_148,£是棱尸8的

中点.

(1)证明：AE_L平面尸BC.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据线面垂直性质定理，可得线线垂直，结合线面垂直判定定理，利用等腰三

角形的性质，可得答案；

【详解】（1）证明：因为R4，平面ABa）,且BCU平面ABCf>,所以E4J∙3C.

因为AD//BC,且AZ）IΛB,所以BC_LA&

因为尸A,ABu平面RR,且PAAB=A,所以BCl平面∕¾B.

因为AEU平面F4B,所以BC_LAE.

因为PA=AB,E是棱R5的中点，所以A£_LP8.

因为PB,BCu平面PBC,QPBcBC=B,所以AEJ_平面PBC.

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCO是矩形.已知A8=3,AD=2,PA=2,PD=26

PA=PB.

（1）证明ADj"平面PAB；

【答案】（1）证明见解析.

【分析】（1）由勾股定理证得4），必，由矩形得AQ2AB,进而证得AOL平面以A

【详解】（I）∙.∙A8CC为矩形

ADJ.AB

∙.∙∕¾=2,AD^2,PZ）=2√2

；•AD2+PA1=PD2

.,∙ADA.PA

又∙.∙E4AB=A,B4、ABU平面Λ4B

...AD，平面PAB.

11.三棱柱ABC-ABg中，侧棱与底面垂直，NABC=90。，AB=BC=BBt=2,M,N分

别是AB,AC的中点.

（1）求证：MV_L平面AqC：

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）先证明8。工平面AB,c,再根据8O〃MN,即可证明MN，平面ABC：

【详解】（1）作BC的中点O,连接OB,QV,

因为侧棱与底面垂直，即有平面A4G，

而A4U