2023年北京市普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（含答案与解析）

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

数学

注意事项：

1.本场考试时间120分钟，满分150分.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题

纸指定位置.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城，不得错位.在试卷上作答一

律不得分.

4.用25铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1,已知集合”={l,2,3,4},N={0,l,2,3},则有()

A.MWNB.NJMC.MN={l,2,3}D.MjV={1,2,3}

2.复数Z=］鬲(其中i为虚数单位)，则复数Z的共物复数在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设等比数列{6,}的前6项和为6,且q=α,a2=la,则α=()

2145

A.—B.-C.—D.—

2172121

4.已知Ial=g|=l，向量α与6的夹角为60°,贝∣"34-4∕?I=()

A.5B.13C.3√2D.√B

5.设/(x)是定义在A上增函数，F(x)=∕(x)-∕(-x),那么尸(X)必为()

A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C,减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

6.已知焦点为尸的抛物线C:/=4)的准线是直线/,点尸为抛物线C上一点，且PQ∙L∕垂足为。，点

G(2,0)则IPQl+1PGI的最小值为()

A.√5B.2C.√10D.2√2

7.函数/(x)=T■百(-%≤X≤%)的图象大致是()

22

vr7

8.已知双曲线C:与一二7=l(4>O/>0)的离心率为一，则双曲线。的一条渐近线的斜率可能是

ab5

()

ʌIrZr2√65√6

75512

.2-+ax—,X≤1

9.已知函数/(x)=J2则”α≤O"是"/")在R上单调递减”的()

IcuC+x,%>1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.设集合A={(x,y)∣x-y20,0r+y≥2,x-做≤2},则()

A当α=l时，(1,1)任AB.对任意实数”,(1,1)∈A

C.当α<0时，(1,1)金AD.对任意实数a,(1,1)金A

第二部分(非选择题共UO分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

52345

11(1-x)=α0+α∣x+a2x+a3x+aAx+a5x,则α∣+々+%+%+%=

12.下列命题中:

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定过原点；

2

③若奇函数/(x)=α-至］，则实数。=1；

④图象过原点的奇函数必是单调函数；

⑤函数y=T-X2的零点个数为2；

⑥互为反函数的图象关于直线y=χ对称.

上述命题中所有正确的命题序号是.

13.若函数/(x)图象关于点对称，且关于直线X=I对称，则/(X)=(写出满足条件

的一个函数即可).

14.三棱锥A—3CD中，ABC是边长为2的正三角形，BD=4,CD=2区BD工AB,若该三棱锥

的每个顶点均在球O的表面上，则球。的体积是

(5TT5ττ∖

15.已知［sinCOsRJ是角α的终边上一点，则COSa=,角α的最小正值是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=Sinl2x-小+2cos?X-1.

(1)求函数/(x)的单调增区间；

(2)在48C中，α,仇C分别是角A,B,C的对边，且α=l,b+c=2,∕(A)=g,求一ABC的面积.

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，尸Oj_平面ABC£>,底面ABCO为菱形，E,尸分别为AB,PD的中

点.

(1)求证：EFmPBC-,

(2)若AO=2√L二面角E-FC―。的大小为45。，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为

已知.求的长.

条件①：DEYPC-.条件②：PB=PC.

18.2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了

“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

班号1234

人数30402010

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题

目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.

(1)求各班参加竞赛的人数；

(2)2班小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目

数为X，求X的分布列及数学期望；

(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为L,求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学

3

获得奖品的概率.

19.已知函数/(x)=e*-X.

⑴求曲线y=/(尤)在点(1"⑴)处的切线方程；

(2)设函数g(x)=∕(x)-m,若对Vx∈[T,l],g(x)<0恒成立，求实数机的取值范围.

22

20.已知椭圆U鼻+春■=1(。>人〉0)的长轴长是短轴长的2倍，A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点，

且AQ43的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与X轴交于点C,直线AW与丫轴交于点。，求

证：四边形ABCD的面积为定值.

21.已知数列{4}的前〃项和A“满足条一B=g("∈N*),且q=l,数列也}满足

bll+2-2bll+l+以=0(〃∈N*),&=2,其前9项和为36.

(1)当〃为奇数时，将勺放在包的前面一项的位置上；当〃为偶数时，将“放在％前面一项的位置

上，可以得到一个新的数列：%,4，b2,a2,a3,瓦,“，«4>生，4,…,求该数列的前〃项和

S”;

⑵设%=£r，对于任意给定的正整数2)，是否存在正整数/、m(k<l<m),使得或、

cl,q,成等差数列？若存在，求出/、机(用上表示)，若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1已知集合”={1,2,3,4},N={0,1,2,3},则有()

A.M^NB.N三MC.MN={1,2,3}D.MN=[1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合的基本运算性质可得答案.

【详解】集合M={1,2,3,4},N={0,1,2,3},则MN={l,2,3},

故选：C.

【点睛】本题考查了集合基本运算、集合间的基本关系，属于基础题.

2.复数Z=Ea(其中i为虚数单位)，则复数Z的共辗复数在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的除法法则将复数Z化为一般形式，进而可求得复数Z的共挽复数，由此可得出复数Z的共轨复数

在复平面对应的点所在的象限.

-2-20-后)1一币i1√3.-iʃ

【详解】.Z=-广=7~~Fw~~*=——^-=-τ+⅛-^则Z=—■!•一★],

l+√3z(l+^z)(l-√3z)22222

因此，复数Z的共物复数在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C.

【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共加复数概念的应

用，考查计算能力，属于基础题.

3.设等比数列{4,,}的前6项和为6,且q=α,a2=2a,则α=()

2145

A.—B.-C.—D.—

2172121

【答案】A

【解析】

【分析】先求得等比数列{α,,}的公比，然后根据等比数列前"项和公式列方程，解方程求得。的值.

【详解】由题意可得公比4=5=2,则SJ。—〉)=63α=6,即。=2.

a

∖°i_2、21

故选：A

【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前八项和公式的基本量计算，属于基础题.

4.已知Ial=IbI=1,向量α与人的夹角为60°,则|3d—4加=()

A.5B.13C.3&D.√B

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的数量积去求134-4"I的值.

【详解】∣3α-411=J(3α一叫=^9∣d∣2+16∣Λ∣2-24α∙⅛=^9×12+16×12-24×1×1×∣=√13

故选：D

5.设“X)是定义在R上的增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(X)必为()

A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

【答案】A

【解析】

【分析】可求得尸(T)=-∕7(x),根据奇偶性的定义可知尸(X)为奇函数；设马>玉，则一/<一玉，根

据单调性可证得根据单调性定义可知为增函数，从而得到结果.

/(x)F(Λ2)-F(X1)>O,F(x)

【详解】F(-x)=/(-ɪ)-/(ɪ)=-F(x)

F(%)为定义在R上的奇函数

设%>%，则F(W)-尸(X)=/(%)-/(F)-/(%)+/(F)

∙.∙X2>xl/.-x2<-xi

为定义在的增函数

/(x)R.∙./(x2)>/(x1),/(-Λ1)>/(-X2)

.∙.F(Λ2)-F(X1)=[∕(X2)-∕(X1)]+[∕(-X,)-∕(-Λ2)]>0

，E(x)为定义在R上的增函数

综上所述：F(X)必为增函数且为奇函数

本题正确选项：A

【点睛】本题考查利用定义判断函数的奇偶性和单调性，考查学生对于函数性质定义的掌握，属于基础题.

6.已知焦点为F的抛物线C:/=4y的准线是直线/,点P为抛物线C上一点，且PQ∙L∕垂足为0,点

G(2,0)则∖PQl[+∖PG∖的最小值为()

A.√5B.2C.屈D.2垃

【答案】A

【解析】

【分析】连接P凡由抛物线的定义可知PF=P。，然后结合图形可得答案

【详解】连接尸尸，由抛物线的定义可知PF=P。,

所以∣PQ∣+∣PG∣=IFM+∣PG∣≥∣产Gl=6,

0.5-

B.-ππOππ

~2-0.52

【解析】

【分析】根据函数奇偶性排除A,。，由排除C,由此得到结果.

-xsin(-x)_XSinX

【详解】/(一X)

(-%)2+l-V2+1=∕(x),

∖/(χ)为偶函数，图象关于y轴对称，可排除A,。；

π.π

(∖ys*ny2兀

-π=2ɔ≠n0,可排除C.

(2Jπ~π^+4

—+1

4

故选：B.

【点睛】本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题通常采用排除法，排除依据为奇偶性、特殊位置符

号、单调性等，属于常考题型.

2X27

8.已知双曲线C:与v一%=13>0力>0）的离心率为§,则双曲线C的一条渐近线的斜率可能是

（）

A2R-CD5思

75512

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线的性质求解

22

【详解】双曲线C:与—==1（。>0/>0）的渐近线为旷=±且％,

ab-b

而双曲线。的离心率为2,所以£=2,即土注=”，得巴=典,

2

5a5a25b12

故选：D

9.已知函数/（x）=J2则”α≤0"是"/（X）在R上单调递减”的（）

IcuC+x,%>1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】求得/（X）在R上单调递减时。的取值范围，从而判断出充分、必要条件.

C2Cx2+CLX3,X≤1

【详解】若/（X）=J2在R上单调递减，

2ax2+x,x>1

-->1

4

a<0

则,解得α≤4

一一-≤1

Aa

2+a--≥2a+1

[2

所以"α≤（F'是"/U）在R上单调递减”的必要而不充分条件.

故选：B

10设集合A={(x,y)|x-y≥0,ɑx+y≥2,x—ɑy≤2},则()

A.当a=l时，(1,1)/4B.对任意实数α,(1,1)∈A

C.当“<0时，(1,1)⅛AD.对任意实数。，(1,1)⅛A

【答案】C

【解析】

【分析】依据选项将点(1,1)代入验证即可.

【详解】当α=l时，A={^x,y)y∖x-y≥O,x+y≥2,x-y≤2},

,l-l≥0

将(1,1)代入A得：<1+1≥2成立，故(I,l)w4,即A错误；

1-1<2

若α=0时，此时将(1,1)代入以+y=l≥2不成立，即B错误；

当时，此时将(1,1)代入分+y=ɑ+l≥2不成立，即C正确；

l-l≥0

若α=2时，此时将(1,1)代入A得<2+122成立，即D错误；

l-2≤2

故选：C.

第二部分(非选择题共UO分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

52i45

11.⅛(1-x)=a0+aγx+a2x+a3x+α4x+a5x,则α∣+々+%+%+%=.

【答案】-1

【解析】

【分析】X=O,求得即，令X=1,求得％+/+。2+。3+&+%，即可得解.

【详解】解：令X=0,则4=1,

令X=1,则g+4+/+“3+/+%=0，

所以α∣+%+%+4+%=-1

故答案为：-1.

12.下列命题中:

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定过原点；

2

③若奇函数/(x)=α-k=，则实数。=1；

2+1

④图象过原点的奇函数必是单调函数;

⑤函数y=2v-x2的零点个数为2；

⑥互为反函数的图象关于直线＞=X对称.

上述命题中所有正确的命题序号是.

【答案】③⑥

【解析】

【详解】试题分析：•可举反例y=Y+1来说明其错误；，当奇函数在X=O处无定义的时候，图象就不通

12

过原点，比如y=一；奇函数/(x)=α——--在X=O处有意义，所以/(O)=a—l=O,.∙.α=l;若图

X2+1

象过原点的奇函数在(0,+»)单调时，其在定义域内必是单调函数，而当过原点的奇函数在((),+8)不单调

时，它在定义域内就不是单调函数，比如/(x)=χ3-χ;函数y=2、-f的零点即函数y=2'与y=f

的交点，作出图象可以发现它们在)'轴左侧有一个交点，右侧有(2,4),(4/6)两个交点，所以函数

y=2、-f的零点个数为3；结合反函数的定义可知原函数的反函数互为逆运算，所以原函数图象若过

点(而，%)，则点(%,∙⅞)必定在反函数的图象上，即它们的图象关于直线N=X对称•

考点：函数奇偶性的图象与性质，函数与方程及互为反函数的函数图象之间的关系.

【方法点晴】多选题往往在一套试卷中对要考查的知识点起着补充作用，内容比较零碎，需要对每个命题

都要做出准确的判断方能得分，正是这一要求导致其得分率比较低.在判断的过程中思维一定要考虑全面，

从正、反两个方面进行考虑，特别是从正面不好直接判断时，可以从命题的反面看能否找出反例进行排

除，比如在本题中∙，，,是用反例来进行否定，/…中则是从正面直接判断.

13.若函数/(x)的图象关于点＞寸称，且关于直线X=I对称，则/(X)=(写出满足条件

的一个函数即可).

【答案】/(x)=sinfγx+ɪl

【解析】

【分析】由于三角函数既有中心时称又有轴对称，故选三角函数即可得解.

【详解】易知三角函数的图像既有中心对称点，又有对称轴，

/TTJTʌ

由/(刈=$鼻§》+^^满足此条件，

故答案为:/(x)=sinfyx+^j.

14.三棱锥A—38中，.ABC是边长为2的正三角形，BD=4,CD=2小,BD工AB,若该三棱锥

的每个顶点均在球。的表面上，则球。的体积是

【答案］史5叵万

27

【解析】

【分析】根据球的截面圆外心与球心连线垂直于截面所在的平面，分别寻找,ABC、ABZ）的外接圆圆

心，进一步找到分别垂直于这两个截面的垂线，其交点即为外接球球心.

【详解】如图所示,

在二BCD中，BD=4,CD=2√5,BC=2,所以+BC?=,所以BDLBC,又BD工BA，得

BZ）S平面ABC,

设AB,AQ的中点分别为区尸，连接CE,EF∖因为FE〃BD，所以砂工平面ABC，

由601平面ABC,得BDLCE,由ABC是边长为2的正三角形，所以CElA3,所以CE_1平

面A80，过/作OE_L平面ABD,则OP∕zCE,

设.ABC的中心为G,过G作G0〃2户，交OF于O点、,则OG，平面ABC,

所以。点即为三棱锥A-BCD外接球的球心，

在RtAB。中，BD=4,AB=2,所以AD=JAB?十比）。=2小，

在RjOD尸中，

J（今AB）2+0AD）2=「哈

R=4OF2+DF2=y∣GE2+DF2=

所以三棱锥A-BCD的体积为V=g乃N=g万（否）3=卷f%.

故答案为：竺B兀.

27

（5%5万、

15.已知PISinN-,cosN-J是角α的终边上一点，则CoSa=,角a的最小正值是.

【答案】®.7②∙⅞E

23

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义，求得COSa的值，进而确定角ɑ的最小正值.

.5π

z__Xsin--

【详解】由于PSin手,cosJ是角α的终边上一点，所以COSa=76——=Sin」=—.由

I66；JSin2型+cc√262

V66

于sin2='>0,cos2=一走<o,所以「在第四象限，也即a是第四象限角，所以a=2E—：,当

62623

5Ti

Z=I时，α取得最小正值为一.

3

故答案为：(I)~；(2)—

23

【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=Sinl2X-Ν∙)+2COS2X-1.

(1)求函数/(x)的单调增区间；

(2)在一A5C中，。力,c分别是角A,B,C的对边，且α=l,8+c=2,∕(A)=;,求一ABC的面积.

【答案】(1)kπ--,kπ+—(AeZ)

_3OJ

(2)也

4

【解析】

【分析】(1)利用倍角公式及两角和与差正弦化简/(x)化为y=Asin(5+e)+B,利用整体法可求函

数的单调增区间.

(2)先根据/(A)=g,求出角A,再根据一角三边关系，利用余弦定理求AC=1,最后代入面积公式计算

即可.

【小问1详解】

/兀、ɪ

f(x)=sin2x——+2COS2元一I=——sin2x——cos2x+cos2x

6)22

√3.ɔɪlɔ/J、

=——sin2%+—cos2x-sin2x+-，

22I6)

TTTTJiTTTT,

令2kι—≤2xH—≤2,kτιH—,其中后∈Z,解得kτι—≤x≤kitH—,左∈Z.

26236

函数/(X)的单调递增区间是Λπ-∣Λπ+∣,其中keZ.

【小问2详解】

/(A)=PΛSirI(2A+£)=；.

TfrʌA兀C4兀13兀

又0<AVTi,-V2√4H—<-----.

666

CATr5π.π

.∙.2A+-=—，故z4A=一.

663

71

在^ABC中，a=l,b+c=2,A=-

39

222

.∙.1=∣y+c-2bccosA=(∕>+c)-3bc,即1=4—3历，'.bc=∖,

=

∙*∙S^ABC-besinA=ʃ--

17.如图，在四棱锥P—ABC。中，POJ_平面ABCZZ底面4BC。为菱形，E,F分别为AB,P£)的中

点.

（1）求证：EF〃平面PBC；

（2）若4）=26,二面角E-EC-。的大小为45°,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为

已知.求PO的长.

条件①：DElPCi条件②：PB=PC.

【答案】（1）证明见解析

（2）12.

【解析】

【分析】（1）通过证明四边形防是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行;

(2)分别选择条件，设PO边长，建系应用二面角余弦值求参数即得.

【小问1详解】

取PC的中点连接MEMB,

`：M,F分别为PC,PD的中点，

.∙.M尸是PCD的中位线，

.∙.MF//CO且MF^-CD,

2

又E为AB的中点，

∙∙.BEUCD&BE=LCD，

2

MF//BERMF=BE,

：.四边形MBE尸是平行四边形，

.∙.EF∕∕MB,E/(Z平面PBC,MBU平面PBC,

：.EF//平面PBC.

【小问2详解】

选择条件①：DElPC,

尸。_L平面ABCZ),DE上PD,PCU平面PCD,PZ)U平面PCDJDE1平面PCD

.•.。石_1_。。,.・.£)£：_]_45,底面438为菱形，E为AB的中点..∙.D4=Z)3,Z∖A3f)是等边三角形,

以DPZ轴，JDC为y轴,DE为X轴，建立空间直角坐标系，

设PO=2f,则。(0,0,0),。(0,2也,0),尸(0,0,。，七(3,0,0),

设平面ECZ)法向量7=(1,0,0),

设平面FEC法向量为〃Z=(X,y,z),

EF=(-3,0"),EC=(-3,2√3,0),

-3x+Zz=0

-3x+2Cy-0

令y=J§\则m=f2,,7),

二面角£—R?—O的大小为45。

∙∙∙e°"?=-J-∣∙,*+7=8,.∙.r=6,2f=12,

1×√4+3+Z/

.-.PD=12

选择条件②：PB=PC.

PO_L平面ABCf>,BC_LPZ),P6=PC,取BC的中点0,..POLBC,

QDu平面PDO,PoU平面POO,BCl平面POO,∙∙.Bd>O,∙.AD//BC,..DALDO,

底面ABC。为菱形，。为8C的中点..•.0。=。3,4。?。是等边三角形,

r

(τl∏T1、

设P0=2乙则。(0,0,0),。(—6,3,0),尸(0,0,。,石ɪ,-,θ

I22J

设平面尸CD法向量为勺=(XI,χ,z∣),

DF=(O,O√),DC=(-√3,3,O),

tzl=O

_g%]+3y=O

令y=1,玉=有，4=0,则勺=(6,1,0),

设平面fEC的法向量为肛=(j⅞,γ2,z2),

3币3ɔ“

EF--,--,t,EC=

22¥1°；

/

3石3C

%2-清+也2=0

2

563,、

^Ξ^々+万%=0

令%=5∖∣3,x2=3,z2=.I?C,则，〃

二面角E—PC—O的大小为45°

√2

432

2+84=96,.∙.f=62=12,

.-.PD=12

18.2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了

“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

班号1234

人数30402010

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题

目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.

(1)求各班参加竞赛的人数；

(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目

数为X，求X的分布列及数学期望；

(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为;，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学

获得奖品的概率.

【答案】(1)3,4,2/

(2)分布列见解析，2.8

217

729

【解析】

【分析】(1)根据分层抽样计算可得;

（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；

（3）计算1班每位同学获奖的概率，然后根据二项分布求解即可.

【小问1详解】

各班报名人数总共IOO人，抽取10人，抽样比为《，

故1—4班分别抽取30χ-5-=3（人），40×ɪ=4（人），20×ɪ=2（人），10×ɪ=l（人）.

10101010

【小问2详解】

由题意，X的可能取值为123,4,

“、e'eɜ71

PX=I)=^ɪ=

T^210~30,

…c、e,eɜ_21x33

PfY—ɔʌ—73.-C，

jo-21010

、_1

γP(λY-IAc_eɜ7e'3_35x3

∖--Z4-

JCO2102

351

PX=4)=κɪ;

C：o-210^6

所以X的分布列为:

X1234

13

P

301026

E（X）=IX—+2χ=+3χ—+4χ-=-=2.8

3010265

【小问3详解】

由题意，1班每位同学获奖的概率为P=C：K

设1班获奖人数为y,则丫B（3,g,

所以至少1人获奖的概率为i—p（y=o）=i—c；（2>0Φ3=≡∙

19.已知函数∕3=eJχ.

⑴求曲线y=/（尤）在点（L/（D）处的切线方程;

（2）设函数g（x）=∕（X）-∕n,若对Vx∈[-l,l],g（x）40恒成立，求实数〃?的取值范围.

【答案】(I)(e-I)X—y=0;(2)[e-l,4<o).

【解析】

【分析】(1)求出函数的导函数∕gχ),再分别求出/a),/’。)，根据倒数的几何意义，(⑴即为曲线

y=/(ʃ)在点(1,/(1))处的切线的斜率，从而可得答案；

(2)由对VX∈[-l,l],g(x)≤0恒成立，即m≥∕(x)max,xw[T,l]恒成立，求出函数y=∕(x)的单调

区间，从而求得函数y=∕(x)在χw[-l,l]上的最大值，即可得出答案.

【详解】解：⑴因为/(X)="-》，所以/'(x)=ev-L

所以∕∙'(l)=e-L又/(l)=e-l,

所以曲线y=/(x)在点(IJ(I))处的切线方程为y-(e-1)=(e-l)(x—1),

即(e-I)X-y=0.

(2)由题意知：/n≥∕(x)nw.,x∈[-l,l]

/(x)=e*-x,.•../''(》)=6*—1.由/,(x)=et-l=0,解得X=0,

故当一l<x<0时，∕<x)<0,/*)在[-1,0)上单调递减；

当0<x≤l时，∕<x)>0,/V)在(0,1]上单调递增.

所以/(x)min=∕(0)=L又/(_l)=J+l，/(l)=e_l,/(l)_/(_l)=e_1_2>0

∙∙∙/(©max=e-∖,.∙.m≥e-∖

所以实数m的取值范围为,一1,+8).

X2V2

20.已知椭圆C:j+与=Ka>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，A,8分别为椭圆的左顶点和下顶点，

a'b'

且AGHB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与X轴交于点C,直线AM与V轴交于点。，求

证：四边形ABCD的面积为定值.

2

【答案】(1)—+/=1.(2)见解析

4

【解析】

【分析】(1)由长轴长是短轴长的2倍，△。钻的面积，构建方程组，求得外，代入桶圆方程得答案；

(2)设M(加，〃)(m>0,〃>0)有加2+4〃2=4，分别表示直线8例和AM的方程，从而表示x,与

y。，可得IACl与I8。I长度关系式，进而可以表示SABCT),化简即证..

22

【详解】(1)∙.∙椭圆C:=+与=l(α>O>O)的长轴长是短轴长的2倍，.∙.4=2Λ.

矿Ir

,.β∖OAB的面积为1,.∖—ah=1ab=2,

2f

解得a=2fb=1.

2

・・・椭圆C的方程为r二+J=1.

4

(2)由(1)可知A(—2,0),B(0»—1),

设A/O，ri)｛m>0,〃>0),则一+〃？=1,即1+而？=不

4

n+1

则直线BM的方程为y=——x-∖.

m

令y=0,得XC=-^―,BpIACI=-ɪ-+2.

n+1n+∖

Yl

同理，直线AV的方程为y=-------（X+2）,

m+2

/ɔ/ɔ

令x=0,得y=_gp∣βr>b^-+ι

m+2m+2

m」I2nɪ〃2+2〃+2m+2〃+2

∙∙∙Sg=NACIXl町=；X——+2×-------+

n+lIμn+2272÷1m+2

_1(∕n+2π+2)__1m?+4〃2+4+4机〃+4/%+8〃

2∣mπ+m÷2π+2∣2∖mn+m+2π+2∣

因为m2+4/=4且机>0,力>0,

□HE#14根几+4根+8〃+814(m∕ι+m+2π+2)

则原式二-------------------------------------------=2.

2mn+m÷2H÷22mn+m÷2n÷2

・・・四边形ABCD的面积为定值2.

【点睛】本题考查椭圆问题的综合问题，涉及求由。儿表示椭圆的标准方程已经平面图形的面积为定值问

题，属于难题.

21.已知数列｛0,,｝的前〃项和A,,满足幺—&=1(〃∈N*),且4=1,数列也｝满足

n+in2'7

2+2-2。“+]+包=o(〃eN1),4=2,其前9项和为36.

（1）当,为奇数时，将。“放在打的前面一项的位置上；当〃为偶数时，将4放在。“前面一项的位置

上，可以得到一个新的数列：4,瓦,b2,a2