新教材人教A版高中数学必修第二册简单几何体的表面积与体积7种常考题型 同步讲义

21、简单几何体的表面积与体积7种常考题型

【考点分析】

考点一：多面体的表面积和体积

①柱体

1.棱柱的侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱

柱的底面周长，如图①所示；

圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②

所示.

2.柱体的表面积：柱体的表面积S&=S慨+2S底.

3.柱体的体积

柱体的底面积S,高为儿其体积V=SA.

②锥体

1.侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的

和，如图①所示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形

的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示.

2.锥体的面积：锥体的表面积S表=Sfs+S族.

3.锥体的体积

锥体的底面积为S,高为h,其体积V=如.

③台体的表面积

1.侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的

和，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小

扇形的面积而得到，如图②所示.

图①

2.台体的表面积：台体的表面积S&=S阳+SI举+SF底.

3.台体的体积

台体的上、下底面面积分别是s、s,高为h,其体积v=/s+√k+sχ.

③球的表面积和体积

1.球的体积

球的半径为R,那么它的体积V=

2.球的表面积

球的半径为R,那么它的表面积S=4πR2.

【题型目录】

题型一：棱柱表面积体积

题型二：棱锥表面积体积

题型三：棱台表面积体积

题型四：圆柱表面积体积

题型五：圆锥表面积体积

题型六：圆台表面积体积

题型七：球的表面积体积

【典型例题】

题型一：棱柱表面积体积

【例1】如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔,

则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（）

【答案】C

【分析】先明确题目的含义：正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，计算即可

【详解】正方体无论从哪一个面看，都有两个宜通的边长为1的正方形孔，

正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，

表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，

加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的表面积.

50=6x25—12+6x4x5-6x6=222.

【例2】已知长方体所有棱的长度之和为28,一条对角线的长度为J万，则该长方体的表面

积为（）

A.32B.20C.16D.12

【答案】A

【详解】设长方体的长、宽、高分别为d"c,因长方体所有棱的长度之和为28,所以

4（α+0+c）=28,即α+"c=7,因一条对角线的长度为后，所以/+从+Ο2,

l*l（a+h+cf=a1-jrb'+c2jt-2ab+lac+2hc=49,解得αλ>+αc+Z?C=I6,所以该长方

体的表面积为2a/?+2ac+2Z?c=32

【例3】如图1,一个正三棱柱容器，底面边长为1,高为2,内装水若干，将容器放倒，把

一个侧面作为底面，如图2,这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是.

【详解】棱柱的体积公式是V=SZi,其中S是q底面积，Zi是高.在图2中，水面是中截面，

水面以上部分是→三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面呜，从而这个小

三棱柱的体积是大棱柱体枳%（高一样），所以水的体积是大三棱柱体积畤，那么图1

中水面的高度是棱柱高的：3，即为∣3∙.

【例4】我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有虎殿式、

硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盘顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是

比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山

面裸露没有变化.硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2）,其高为Iom,CC1

到平面AB4A的距离为1.5m,AB为4m,则可估算硬山式屋顶的体积约为（)

A.15m3B.30m,C.45m3D.60m,

【答案】B

【分析】根据三棱柱的体积公式求解即可.

【详解】解：如图，过C作CDLAe于

由题意可知，在直三棱柱中，CG到平面A叫A的距离为1.5m,

即CD=I.5m,乂CCI=Iom,AB-Am

所以该柱体体积为V=SA8C∙CC∣=gX4X1.5X10=30π√

【例5】某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒，现有一张边长为6的正六边形硬

纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为G的正六棱柱无盖包装盒，则此包

装盒的表面积为.

【答案】48√3

【分析】作出辅助线，求出包装盒的侧面积和底面积，相力口求出表面积.

t详解】如图，取正六边形的中心为0,连接。COE,则点F在OE上,

由正六边形的每个内角为2宁兀.

RF

按虚线处折成高为有的正六棱柱，即BF=6，所以BE=—%=1，

tan600

可得正六棱柱底面边长AB=6-2x1=4,所以正六棱柱的侧面积S∣=4x6x石=24石,

其中S。”=[OCOFSin600='x4x4X3=4坏，

ocf222

所以底面积为S2=6×4Λ∕3=24有

所以无盖正六棱柱包装盒的表面积S=S∣+S2=24b+246=48√L

【题型专练】

1.已知直三棱柱底面的一边长为2cm,另两边长都为3c，w,侧棱长为4C∙"3它的侧面积为

体积为—.

ABC-48∣C∣为直三棱柱，AB=AC=3,BC=2,AΛι=4.

它的侧面积为：4×(2+3+3)=32cW.

3

^ABC-AlB1c1=2x2x弋9_1×4=8λ∕2c∕n.

2.如图，已知正方体的棱长为“，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱

柱，则该四棱柱的全面积为()

Sl图2

2

A.（8+20）/B,（2+4忘）/c（4+2√∑WD.（β-4√2）a

【答案】C

【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此

变化，进行求解.

【详解】由题意，拼成的儿何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形

面，

由于截面为矩形，长为缶，宽为a,所以面积为

所以拼成的几何体的表面积为4/+2√2α2=（4+2拒）/.

3.在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷

器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是

六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm,底面边长为7cm（数据为笔筒

的外观数据）,用一层绒布将其侧面包裹住,忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为（）

A.120cm2B.162.7cm2C.785.4cm2D.1570.8cm2

【答案】C

【详解】根据正六棱柱的底面边长为7cm,得正六棱柱的侧面积为6x7x18.7=785.4,所以

至少需要绒布的面积为785.4cm）

4.如图，用若干棱长为。的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是.

【答案】56a2

【分析】由几何体模型，分别计算侧面积、各部分上底面积，求和即可得解.

【详解】根据所给几何体，分别求得每层的侧面积，再加上下底面积，减去覆盖部分的面积,

可知表面积为：S=4(4/+342+2/+/)+(16-9+9-4+4-1+1)/=40/+1642=56/

5.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为体对角线长为布，则这个棱柱的侧

面积是.

【答案】8

【分析】根据勾股定理即可求出底面边长与高，再求出侧面积即可.

【详解】如图所示：

AB

BD=-Ji，.-.AS=AO=L

22

又BDI=娓,.∙.y∣l+1+DD;=√6.

解得：DDl=2,

所以棱柱的侧面积S=l×2×4=8.

6.已知直平行六面体的底面是菱形，若过不相邻的两对侧棱的截面面积分别是3和4,则这

个平行六面体的侧面积是.

【答案】10

【分析】设直平行六面体的高,根据直平行六面体的性质结合截面面积得到底面菱形的边长，

从而根据直平行六面体的侧面积公式求解.

【详解】如图，

因为六面体ABC'。-ABC。是直平行六面体，则截面AACC',BB">'均为矩形,

设侧棱HA=BlB=h,因为截面AACaBr80。的面积分别是4m2和3∏Λ

43

则AC=-,BD=—.

hh

设4C与8£＞相交于点0,

1213

则由底面ABCO是菱形得ACVBD,AO=-AC=-,BO=-BD=―,

2h22h

则在RtAAOB中,

所以直平行六面体AW。—。的侧面积为4x£x〃=ɪθ.

7.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=I2.若侧面A4由史水平放置时，液面恰

好过AC,BC,AιCι,B/C/的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为.

【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面A8C水平

放置时，液面高度.

【详解】设45C的面积为X,底面A8C水平放置时，液面高为〃

则水的体积为V=12x-12x,x=9x

4

当底面ABC水平放置时，水的体积为V=x∙∕ι=9x,解得力=9

题型二：棱锥表面积体积

[例1]（2020∙新课标I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正

四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧

面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

下一1B,小一1C.有+1D.下+1

4242

【答案】D

【解析】如图，设CD=a,PE=b,则Po=JPE2一。后2

I21J1

由题意「。？=一αb,即后一三=,〃6,化简得4(^)2-2-2-1=0,

【例2】如图，在体积为16的斜三棱柱ABC-ABC中，P为棱AA上一点，三棱锥PABC

的体积为4,则三棱锥尸-44G的体积为()

4

A.-B.2C.3D.4

3

【答案】A

【分析】结合柱体、锥体体积公式以及几何体的结构求得正确答案.

【详解】设三棱柱ABC-A用G的底面积为S,其高为/2,

设三棱锥P-ABC的高为4,三棱锥P-AqG的高为为，

则Sh=I6,所以

1=ΛI+Λ2,S(Λl+Λ2)=16,

即S∕¾+SA2=16,又％τ8c=gs4=4,即S4=12,

所以SΛ2=16-SΛ1=16—12=4,

14

所以%W=a佃=].

【例3】“堑堵”“阳马”和“整辅”是我国古代对一些特殊几何休的称谓.《九章算术.商功》：“斜

解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为整席“，即一个长方体沿对角面斜解（图

1）.得到一模一样的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2）,得

一个四棱锥称为阳马（图3）,一个三棱维称为整膈（图4）.若长方体的体积为匕由该长方

【答案】D

【分析】根据棱锥，棱柱的体积计算公式，结合题意求解即可.

【详解】设长方体的长宽高分别为α,b,c,V=abc

则K=—=—abc,Vζ=-xabc--abc,V=-×-×abc=—abc,

2233i326

31

故K+匕+V="c=V,V=^-V,匕=2匕，½=-V,则ABC错误，D正确；

i1226

【例4】距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的一种茅屋如图1所示，该茅

屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道.甬道形似从一

个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一头与茅屋的这个侧面连在一起，另一头

是一个等腰直角三角形.如图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为8m,

BC/∕EF,Aβ=AC=2√2m,ABlAC,点。在正四棱锥的斜高P”上，A£>_L平面ABC

且AQ=3应m∙不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（）

ʌ?m,θ竽m'C.D.竽/

【答案】C

V

［分析］过E作ENHAB交AD于M连接NF,所求体积V=%棱俳+VABe-NEF+D-NEF,根据条

件求计算体积时所需要的长度.

设。为正四棱锥底面中心，连接PO,OH,则∕W=4√J,OH=4,

PO=-JPH2-OH2=4√2-

tanZPWO=-=√2,

OH

取BC的中点M,连接AM,

过。作。GLOH「G,则。G=AM=2,

DG

在直角aDGH中G"=

tanZPHO

过E作ENHAB交AD于`M连接NF,则AN=AO-Z)N=2√Σ，

所求体积V=%tsat+%8C-NEF+VD-NEF

=1χ8χ8χ40+L(2后1x2√Σ+kL(2√Σ)2χ√Σ

3232

=25672+8√2+4√2=^√2m∖

333

【例5】六氟化硫，化学式为SFG,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有

良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个

面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正

八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子之间的距离为23，则以六氟化硫分子中6个氟原子

为顶点构成的正八面体的体积是（）.（氟原子的大小可以忽略不计）

C.4√2D.8√2

【答案】D

【分析】如图，连接AC3。，设ACBZ)交于点。，连接。£,令相邻两个氟原子之间的距

离为为，则由正四棱锥的性质结合已知条件可得OE的长，从而可求出其体积.

【详解】如图，连接Ae,8。，设AC,BD交于点。，连接。£,

因为4E=CE,8E=DE,。为AC的中点，也是B。的中点，

所以OEJ.AC,OEJ_80,

因为ACBD=O,AC,8。U平面ABe£),

所以OE_L平面ABC

令相邻两个氟原子之间的距离为2α,则2«=2√Lα=√3,

因为AS=BC=AE=2α,所以AC=2亿，

因为四边形ABC。为正方形，所以AO=；4C=J5a,

所以CE=JA£2-AO2=缶，

所以该正八面体的体积是；X(2α)2X"/X2=逑a，=逑X(3)3=&及，

【例6】将边长为24、20、16的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积

为.

【答案】30√6

【分析】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为12,10,8的三角形，

故该四面体可放置与一个长方体ABC。-A4G。中，即可求解

【详解】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为12,10,8的三角形，

故该四面体可放置与一个长方体ABCD-AMGP中，即图中的三棱锥A-BG。，

不妨设AB=Io,BD=12,AD=8,则OG=Io，A£=12,BCI=8,

tz2+c2=IO2

222

设AB=©AZ)=ZAA1=c,则<a÷⅛=12,

fo2÷c2=82

a2=90Λ=3√iθ

解得，/=54,所以■b=ɜʌ/ð,

c2=10c=√io

所以~^X^A-ABD

KA-ZJC/=V488-AMGD∣I

=3Mx3#x7iU-4xfx3Mx3#x7iU=90√6--×90√6=-×90√6=30√6,

3233

【例7】在三棱锥P-ABC中，已知PA=BC=2√^,PB=AC=√iG,PC=AB=5,则该三棱

锥的体积为.

【答案】8

【分析】如图，设长方体的三条棱长为c,解方程组求出aS,c即得解.

如图，设长方体的三条棱长为“力，c,

222222

由题得/+方=（2正）2=20；α+c=√i3=13;b+c=5=25,

解之得"=4,〃=1642=9.

所以4=21=4,c=3.

所以该三棱锥的体积为2x3x4-4x；XgX2χ4χ3=8.

【例8】图中的多面体的底面是边长为"的正方形，上面的棱平行于底面，其长为20,其余

的棱长都是已知α=6√∑,则这个多面体的体积是.

20

【答案】288

【分析】将该几何体分解成一个三棱柱加两个三棱锥，结合几何中的关系分别计算体积求解

即可.

【详解】如图，在线段PQ上分别取CG两点，使得平面48C,ASG，平面AAsB,AB中

点为M，连接CM.

则由题意，CCl=∙B3∣=6λ∕Σ,CP=GQ=；CCI=3五.

22

又BP=6&i⅛CB=^(6√2)-(3√2)=3√6.CM=^CB2-BM-=√54-18=6

故这个多面体的体积V=%γBC+匕BC-AMG+%-A4G

=IXLX6>∕2×6×3∖∣2+L6∙J2×6×6^∣2+LXLX6∖∣2×6×3忘

32232

=36+216+36=288.

1.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，

下方二丈七尺，高二丈九尺，间积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为2丈7尺，高2

丈9尺，问它的体积为多少立方尺（）

（注1丈=10尺）

A.7047B.5408C.2864D.1854

【答案】A

【详解】由题可知下底面积为S=27χ27,高为/∕=29,所以由体积公式可知

V=1S/?=!X27X27X29=9X27X29=7047立方尺.

33

2.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCo-Ag

挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,，分别为所在

棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/Cm3,不考虑打印

损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g.

【答案】118.8

【解析】由题意得，S四边形EFGH=4x6-4χgx2x3=12Cm2,

1a

；四棱锥O-EFGH的高为3cm,Λ½,=-×12×3=l2cm3.

∖-/ffc∖JhΓ1

又长方体ABCo-A旦GQ的体积为％=4χ6χ6=144cn√,

3

所以该模型体积为V=匕一VO-EFa/=144-12=132cm,其质量为0.9x132=118.8g.

3.如图，长方体ABC。-A4G。的体积是120,E为CCl的中点，则三棱锥E-BCZ）的体

积是.

【答案】10

【解析】因为长方体ABCD-AI与GA的体积为120,所以A3∙8C∙Ca=I20,

因为E为CG的中点，所以CE=gcC∣,

由长方体的性质知CC11底面ABCD,

所以CE是三棱锥E-BCD的底面BC。上的高，

所以三棱锥E—BCO的体积V=LXLAB∙BC∙CE=

32

=-×-ABBC-CCl=L120=10.

322'12

4.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为

4

【答案】一

3

【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方

形的边长等于√2,所以该多面体的体积为2x；xlx(&y=g.

5.在三棱锥P-ABC中，顶点尸在底面内的投影为点A,«4=4,底面ABC是正三角形，边

长为2√J,E,F分别是侧棱尸B,PC的中点，则四棱锥A-EBCF的体积为.

P

【答案】3√3

【分析】根据锥体体积公式和割补法计算出正确答案.

【详解】由于P在平面ABC的投影为A,所以必，平面ABC,

所以匕”=-∣×^×2√3×2√3×sin60oj×4=4√3.

设B到平面PAC的距离为a,

由于E是PS的中点，所以E到平面PAC的距离为:力，

由于尸是PC的中点，所以SAMF=

=X

VB-PAC=]XSPACXh,^E-PAFɜPAFX,，

==

所以VE-PAF^B-PACP-ABC=也，

=

所以VA^EBCF=P-ABCF.-PAFɜʌ/ɜ-

6.为了求一个棱长为近的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正

方体，如图I：则四面体ACBiR为棱长是拒的正四面体，且有

面体AC44=KE方体-ACel~^A,-AB,Dl-^Cl-B,CDl-^D-ACDl=g匕£方体=§♦

求此四面体的体积；

(2)对棱分别相等的四面体ABC。中，AB=CD,AC=BD,AO=BC.求证：这个四面体的

四个面都是锐角三角形.

【答案】（1）2；（2）证明见解析.

【分析】（1）设四面体所在长方体棱长分别为。，b,c,则长方体的对角线长分别为6,√∣3,

M,利用勾股定理列方程求出。，b,c,使用做差法求出四面体体积.

（2）在四面体ABCD中，由己知可得四面体A88的四个面为全等三角形，设长方体的长、

、

宽、高分别为〃、bc,证明AABC为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角

三角形.

【详解】（1）由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质，可以将其置于长方

体中，

使其顶点与长方体顶点重合，如下图：

设此四面体所在长方体的棱长分别为。，b,c,

a2+b2=5[a2=4

则付+¢2=13,解得从=1

b2+c2=10C2=9

四面体的体积VZ=abc--∙-abc×4=-abc=2.

323

（2）在四面体ABCO中，

.AB=CD,AC=BO,AD=BC，如下图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶

点重合

四面体ABC。的四个面为全等三角形，

即只需证明一个面为锐角三角形即可.

设长方体的长、宽、高分别为b、c,

则A82=<?+〃，BC2=b2+c2,AC2=a2+c2,

.∙.AB-+BC2>AC2.AB-+AC2>BC2,AC2+BC2>AC2,

：.ABC为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形.

题型三：棱台表面积体积

【例1】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面

积为（）

A.80B.240C.350D.640

【答案】B

【分析】根据已知棱台的上下底面边长以及侧棱长，可求得侧面梯形的高，进而求得侧面积.

【详解】由题意可知，该棱台的侧面为上、下底分别为4和16,腰长为10的等腰梯形，

.∙.等腰梯形的高为j（）2-（更Fj=8,

等腰梯形的面积为:x（4+16）x8=80,

•••该棱台的侧面积为3x80=240.

【例2】已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长4,高为3,则其表面积为（）

A.36B.12√iθ+2θ

C.12√13+20D.48

【答案】B

【分析】先求出侧面上的斜高，再求出正四棱台的上、下底面的面积和侧面积，由表面积公

式即可得出答案.

【详解】设正四棱台上、下底面的中心为CD为侧面上的斜高，

过C作CEJ.交边（9,D于点E,

所以OQ=3,0C=1,。。=2,

所以CO=Mn^=√iU,

22

所以正四棱台的上、下底面的面积为：SI=2+4=20,

正四棱台的侧面积为：S,=⅛^×√iθ×4=12√iθ,

则其表面积为：

S≈SI+S2≈20+12√10.

【例3】已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5,则该棱台

的表面积为（）

A.148B.168C.193D.88

【答案】A

【分析】先汁算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解.

【详解】棱台的侧面是等腰梯形，高〃=,52-O=4，

所以一个侧面积s=g（2+8）∙4=20,

所以该楼台的表面积S=20χ4+2χ2+8χ8=148.

【例4】已知正三棱台两底面边长分别为2,4,侧棱长为2,则该棱台的体积为（）

A.幽B.述C.3五D.M

【答案】D

【分析】利用勾股定理得到棱台的高，然后利用相似得到该棱台和其所在的棱锥的体积比，

最后求体积即可.

【详解】设上底面边长为。，下底面边长为匕，侧棱为/,贝Uα=2,b=4,1=2,所以棱台

的高.因为所以棱台体积为其所在棱锥体积的故

VI√3J√3⅛28

【例5】已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为（）

A.32√3B.28√3C.24√3D.20√3

【答案】B

【分析】根据台体体积公式丫=：6（51+廊；+52）即可求解.

【详解】设正六棱台的上下底面面积分别为力邑,因为正六边形是由6个全等的等边三角形

组成，

=6×→2×^=6√3,S2=6×→4×2∙X^=24∙^,

所以六棱台的体积V=∣Λ（Sl+耶瓦+S2）=28√3.

2

【例6】在正方体A6CQ-A4GA中，点M为侧棱B8∣上一点，且平面AQM

、V

将该正方体分成两部分，其体积分别为KMz,(χv%),贝IJ才1=.

13

【答案】77

41

【分析】平面AoM延展开后即为平面AQKM,将该正方体分成的两部分一部分是三棱台

BMK-ADA,，另一部分是剩余的部分，结合三棱台的体积公式求解即可.

由题意，延长线段AM与A8的延长线交于点N,连接OV交BC于K，连接MK,

故平面ADM延展开后即为平面AOKM,将该正方体分成的两部分一部分是：棱台

BMK-ADA1,另一部分是剩余的部分.

NBMBMB1

由于MB∕∕Λ1A,⅛T7T=7Γ=ητy=τ,不妨设正方体棱长为3,

/VAA∕l1jt>nlJ

¼=%MK-AEM1=QBBKM+SADAl+JSBKMXSADA)'

11ɔɔI11B、C13

322V42

1/_

V_V13_41

VVy-,

2~ABCD-AiBiCiDi~BMK-ADAl~ɔ~ɪɪ

V13

即片不

【题型专练】

1.正四棱台的上、下底面边长分别是2和6,侧棱长是2√J,则它侧面积为()

A.32B.32√2C.326D.36

【答案】B

【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面

积公式代入计算即可.

【详解】由题意可知，正四棱台的侧面为四个等腰梯形，已知上、下底面边长分别是2和6,

侧棱长是2代，由勾股定理可得侧面的高为wJQ6)2-2?=20，所以侧面积为

S=4×∣×(2+6)×2√2=32√2.

2

2.已知一个正四棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为

().

A.80B.240C.320D.640

【答案】C

［分析】在侧面等腰梯形中求得斜高后可得侧面积.

【详解】由题意正四棱台的斜高为〃=JlO2-(8-2)2=8，

所以侧面积为S=4xgx(4+16)x8=320.

3.“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示.其可近似看作正四棱台，

上底面是边长为6dm的正方形，下底面是边长为2dm的正方形，高为4dm.“斗”的面的厚度

忽略不计•，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为()

A.8√5B.16C.2√5D.4

【答案】A

【分析】由正四棱台性质，求得高为2石，再结合侧面积公式和正方形的面积公式，即可求

解.

【详解】由正四棱台，上底面是边长为6dm的正方形，下底面是边长为2dm的正方形，高为

4dm,

四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为j?+1(6-2)2,

所以“斗”的所有侧面的面积之和为Sl=4×l(6+2)×2√5=32√5<∕z√,

S

下底面的面积为邑=4加2,所以于=8百

4.在正四棱台ABCO—A耳中，AB=4,AtBl=AA1=2,则该四棱台的体积为()

A型@B.空电C.8√∑D.8√3

33

【答案】B

【分析】作出轴截面，过点A作AE1.AC,结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.

【详解】解：作出轴截面如图所示，过点A作A1EJ∙AC,垂足为E,

因为正四棱台月BCO-A耳GA中，AB=4,AlBi=AA1=2

所以AC=40，AG=20,M=CC1=2,即梯形4CGA为等腰梯形，

所以，AE=AiE=-∕2,

所以，该四棱台的体积为

v5+SΛBCD

=I(ASCO,,1I+gBCoSABIGDi)∙AE=g(16+4+J16x4)x√Σ=

5.如图，棱锥、棱柱、棱台的底面积和高均相等，分别为6,h,棱台上底面的面积为

现将装满水的棱锥、棱柱、棱台中的水分别倒入底面积为S的圆柱里，对应的水面高分别记

为A1,h2,h3,则()

A.hy<h3<h2=hB.hλ<h3<h1<h

C.h3<h2<liλ<hD.h=hλ<h3<h2

【答案】A

【分析】分别计算出棱锥、棱柱、棱台的体积，进而求得4，4，与即可求解.

【详解】设棱锥、棱柱、棱台的体积分别为LKM,则

6.某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

ABCD-A冉GA挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的儿何体，其中

AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,A41=4cm,为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀

上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg,不考虑损耗，所需金属膜的质量为

mg.

【答案】282+546##546+282

【分析】根题意计算该几何体的表面积，再求得质量即可

【详解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为4x4x6=96Cm°,底面积6x6=36Cm2,

正方形EFG"面积3x3=9Cm2.考虑梯形ABFE,高为JBF。-白AB-EFy=半Cm,

故正四棱台的侧面积为4xJ(3+6)x,=27病π?,

故该模型表面积为96+36+9+27√J=(141+276k∏√,

故所需金属膜的质量为2x(141+27√j)H282+54√J)mg

7.如图，在正四棱台ABCQ-中，AB=4√3,EF=9√3,且四棱锥E-ABC。的体积

【答案】399

【分析】方法一：设点E到平面ABS的距离为力,根据£-43CD的体积可得力=3,再代

入棱台的体积公式求解即可；

方法二：延长E4,FB,GC,4。交于•点，设为P,根据台体体积为锥体体积之差求解即可.

【详解】方法一：由题意，设点E到平面ABCo的距离为万，由四边形ABCQ面积为

S=(4√3)2=48,

得四棱锥E-A5C3的体积为48=∣ΛS=∣×48∕?,得∕z=3.

所以棱台体积为V=；MS上+MS下+*)=；X3X(48+J48义243+243)=399.

方法二：由题意，设点E到平面ABCD的距离为人由四边形ABCo面积为S=(46)2=48,

得四棱锥E-ABCD的体积为48=g∕zS=gX48/?,得/?=3.

由楼台定义知，延长E4,M,GC,"。交于一点，设为P,设棱锥P-ABCD的高为X,

XAB412

则棱锥P—EFGH的高为x+3,由三角形相似可得」τ=芸得X=?，

x+3EF95

11127112

于是棱台体积V=Q(X+3)Sτ--⅛=-×-×243--×-×48=399.

8.《九章算术》中将正四棱台体(棱台的上下底面均为正方形)称为方亭.如图，现有一方亭

ABCD-EFHG,其中上底面与下底面的面积之比为1:4,BF=-EF,方亭的四个侧面均

2

为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为12后，则方亭的体积为.

FF1_

【分析】分析可知F=；，设EF=2x,则/W=4x,BF=«x,过点E、尸在平面ABEE内分

AD2

别作EMLAB,FNLAB,垂足分别为点M、N,根据正四棱台的侧面积计算出无的值，

再利用台体的体积公式可求得结果.

【详解】解：由题意得空=:，设EF=2x,则A3=4x,BF=瓜χ.

AD2

过点E,尸在平面ABFE内分别作EΛ∕LA8,FNLAB,垂足分别为点河、N,

在等腰梯形ΛB庄中，因为EF7∕AB,EMLAB,/W,AB,则四边形MVFE为矩形，

所以MN=EF,EM=FN,则MV=EF=2x,

因为AE=3尸，EM=FN,NAME=NBNf'=90。，

AB-EF

所以RtΛAMEZRtLBNF,所以AM=BN=-----------=X,

2

在RtZXBN/中，由勾股定理得FN={BF2-BN2=&，

所以等腰梯形45庄的面积为S=空色∙√^x=36y2=3√L所以x=l.

2

所以EF=2x=2,Aβ=4x=4,方亭的高力=炳%=2，

故方亭的体积为:X〃X(SE+SF+√S^7)=gx2x(4+16+√^)=^.

题型四：圆柱表面积体积

［例1］如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正

六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是—cm.

【答案】12√3-ɪ

2

［解析】正六棱柱体积为6X/X2?X2=12后圆柱体积为万g)2•2=所求几何体体积为

12√3-ɪ

2

【例2】中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的

上下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分),现有一个如图所示的曲池，

它的高为2,AΛ1,8片，CG，。。均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1

22

【答案】D

【分析】根据圆柱侧面积公式以及圆的面积公式即可求解每个面的面积,进而可求表面积.

【详解】此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，

S表=gx2τt(22-F)+g(27tx2+27tχl)χ2+lχ2x2=9τt+4.

【例3】我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述广今有圆堡端(dao),周四丈八

尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表

面积约为()(注:1丈=10尺，兀取3)

A.1088平方尺B.912平方尺C.720平方尺D.656平方尺

【答案】B

【分析】求出圆柱底面半径再由圆柱表面积公式求解即可.

【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈I尺=II尺，如下图：

则5C=11,2π∙AB=48,解得A8=8,

则圆柱底面积为E=2xπ∙AB?=128x3=384,侧面积为邑=2τt∙A8∙CE>=2x3x8xl1=528.

则圆柱的表面积S=E+邑=912（平方尺），

［例4］以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（）

A.2πB.4πC.8πD.16π

【答案】D

【分析】由题设知旋转体为高和底面半径均为2的圆柱体，利用圆柱体表面积公式求几何体

的表面积.

【详解】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，

所以几何体表面积为2%x2?+2"X2x2=16".

【例5】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的

对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N

的路径中，最短路径的长度为

二J

【答案】B

【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可

以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方

形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为\零彳萋=2、石，故选B∙

【题型专练】

1.用长为4,宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（）

A.8兀B.16乃C.