2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第一章 第4节　基本不等式 作业

第4节基本不等式

课时作业灵活分层，高效提能________________________

［选题明细表］

知识点、方法题号

利用基本不等式求最值1,2,3,5,6,7,9,12

基本不等式的应用4,8,10,11,13,14,15

「A级基赛B巩固练

1.当x>l时,f(x)=机的最大值为(A)

Xz+4

A，B.ɪ

42

C.1D.2

解析：因为x>l,故f(X)=-^7=2^—^=4,当且仅当X=-,即X=2时，

X+4F2J44X

X•-

X

取等号,故f(X)=-的最大值为:.

Xz+744

2.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个式子中最大的是

(B)

A.ɪ2B.-1+1-

a+bab

C.2—ɪ)I2

√HFy∣a2+b2

解析：因为a,b为互不相等的正实数，

所以工+9w，

ab7(Ib

2〈2_1〈2

a+b2∖[abyfab∖[ab^

Jα2+b2<J2αb√a∂^√aF,

所以最大的是A"

ab

3.(2023・重庆模拟)已知x>2,y>l,(χ-2)(y-l)=4,则x+y的最小值是

(C)

A.1B.4

C.7D.3+√17

解析：因为x>2,y>l,(χ-2)(yT)=4,

所以x+y=(χ-2)+(y-l)+3≥2λ∕(χ-2)(y-l)+3=7,

当且仅当时，等号成立.

4.已知x>0,y>0,且x+2y=l,若不等式K工2ι∏2+7m恒成立,则实数m的

Xy

取值范围是(A)

A.-8≤m≤l

B.m≤-8或m≥l

C.-l≤m≤8

D.m≤-l或m≥8

解析：因为x>0,y>0,x+2y=l,所以2+工=(χ+2y)∙(-+A)=^+≡+4≥4+

Xyxyxy

2〃=8(当丝即χ=2y=:时,取等号)，因为不等式∖2∙2m2+7m恒成立,

Xy2Xy

所以m2+7m≤8,解得-8WmWL

5.若0<x<2,则X"ςΞς的最大值为.

解析：因为0<x<2,

2χ22

所以x√4~x=λ∕(4-χ)≤x+；X=2,

当且仅当X2=4-X2,即x=√∑时，取.

答案：2

6.(2020•江苏卷)已知5x2y2+y'=l(x,y∈R),则x?+/的最小值是

解析:法一由5x2y*2+y'=l得x2⅛⅞,

Sy25

贝IJχ2+y⅛+⅛≥2昌・哈*当且仅当*=乎,即y2=⅛j-,取等号,

5y25y5yz555y252

则χ2+y2的最小值是点

2222222

法二4=(5x+y)∙4y≤[但立…”]=^(x+y),

24

则x2+y2≥∣,当且仅当5x2+yMy2=2,

即X胃,其卜时，取等号，则χ"的最小值是a

答案3

7.已知a>b>O,当4a+」7+—取到最小值时，a=.

解析：因为a>b>O,

所以2a+b>0,2a-b>0,

所以4a+±+,=(2a+b)+上+-a-+(2a-b)N2I(2a+b)∙ʌ+

2a+b2a-b2a+b2a-bN2a+b

2(2a-b)-'=4+2=6,

ʌʃ2a-b

b4

当且仅当II+一瓶荷’即Ear:2,即a^,b=;时,等号成立.

—=2a-b,i2a-b=L42

\2a-b

答案9

4

8.已知函数f(x)=立竺9(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)N3恒成

x+1

立,则a的取值范围是.

解析：因为对任意x∈N*,f(x)23,即/+3+U33恒成立，即a≥

X+1

-(x+-)+3.设g(x)=x+*x∈N*,贝!jg(x)=x+-≥4√2,当且仅当x=2√∑时,

XXX

等号成立，又g(2)=6,g(3)=*g(2)>g(3),所以g(χ)mhl号.所以

-(x+¾+3≤-∣,所以故a的取值范围是

X333

答案：［-r+S)

9.(1)若直线2mχ-ny-2=0(m>O,n>O)过点(1,-2),求工+三的最小值;

mn

(2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,求x+3y的最小值.

解：(1)因为直线2mχ-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),所以2m+2∏-2=0,

即m+n=l,

所以三+三=(ɪ+-)(m+n)=3+-^+-≥3+2√2,

mnmnmn

当且仅当巴=网,即n=√2m时，取等号，

mn

所以工+三的最小值为3+2√Σ

mn

(2)法一(换元消元法)由已知得x+3y=9-χy,因为x>0,y>0,所以

x+3y≥2λ∕3xy,

所以3xy≤(等)2,

当且仅当x=3y,即x=3,y=l时，取等号，

所以乂+3丫+1等)229,

即(x+3yT+12(x+3y)T0820,

令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,

解得t≥6,即x+3y的最小值为6.

法二(代入消元法)由x+3y+xy=9,

得X=誉，

1+y

9-3y+3y(l+y)9+3y23(l+y)2-6(l+y)+12

所以x+3y^■%+3y==3(l+y)+

1+yι+yl+y1+y

—6≥23(1+y)∙-6=12-6=6,

ι1++yy√Jι+y

当且仅当3（l+y）=±,

即x=3,y=l时，等号成立，

所以x+3y的最小值为6.

综合运用练

10.（2022・山东潍坊二模）已知正实数a,b满足d+2ab+4b2=6,则a+2b

的最大值为（B）

A.2√5B.2√2

C.√5D.2

解析：令t=a÷2b,则t2=a2+4ab+4b'=6+2ab.

又因为6-2ab=a2+4b222√Ξ=IF=4ab（当且仅当a=2b时，取等号）

所以abWl,所以6+2abW8,

所以t2≤8,

又t>0,所以（KtW2√Σ

11.（2022・广东佛山模拟）已知正数X,y满足x+i+y⅛5,则x+y的最

Xy

小值与最大值的和为（B）

A.6B.5C.4D.3

解析：因为xy≤(T)2,当且仅当x=y时,取等号,

所以上毛4仪,

χy(χ+y)

所以也三士，

xyx+y

又χ+i+y+i=5=χ+y+^^,

Xyxy

所以x+y+/-W5,

x+y

即(x+y)"5(x+y)+4≤0,

解得lWx+y≤4.

所以x+y的最大值与最小值的和为5.

12.写出一个关于a与b的等式,使白+白是一个变量,且它的最小值为

16,则该等式为.

解析:该等式可为a2+b2=l,下面证明该等式符合条件.

4+⅛=⅛+⅛(a2+b2)=l+9+⅛+⅛≥10+2⅛∙⅞=16,当且仅当b2=3a?

α2bza?b∙bzaz∖bzaz

时,取等号,所以w+白是一个变量,且它的最小值为16.

a2b2

答案:/+b2=l(答案不唯一)

13.某市计划建立一个文化产业园区，计划在等腰三角形OAB的空地

上修建一个占地面积为Sin?的矩形文化园展厅CDEF,如图，点C,D在

底边AB上，E,F分别在腰OB,OA上,已知0A=0B=30m,AB=30√2m,OE=

Xm,x∈[14,20].

⑴试用X表示S,并求S的取值范围；

⑵若矩形展厅CDEF每平方米的造价为隼,绿化区(题图中阴影部分)

每平方米的造价为亲(k为正常数)，求总造价W关于S的函数W=f(S),

并求当OE为何值时总造价W最低.

解：(1)由题意得,AOAB为等腰直角三角形，

则EF=√2x,DE=y(30-χ),

所以S=X(30-X)=-(X-15)2+225,

因为x∈[14,20],所以S∈[200,225].

故S=-(X-15)2+225,S∈[200,225].

(2)由题意得,矩形展厅的造价为贤・S,绿化区(图中阴影部分)的造

价为攀・(450-S),

所以W=登-S+崇∙(450-S)=25k(√S+i^)≥300√6k,当且仅当

S=12×18=x(30-χ),BPx=18时，等号成立，

所以W=f(S)=25k(遍+篝)，当OE为18m时，总造价W最低.

14.证明下列各题：已知a,b,c为正数.

⑴若abc=l,求证:a+b+cW⅛g

QNbzCz

(2)若a+b+c=9,求证，+工+工》1.

abc

证明：⑴由条件abc=l得2+∙⅛1三=2c,

当且仅当a=b时，等号成立，

⅛+⅛≥^-=2a,当且仅当b=c时,等号成立，

4+-⅛≥-2b,当且仅当c=a时,等号成立，

CΔαzca

以上三个不等式相加可得2(⅛+⅛+⅛)22(a+b+c),

当且仅当a=b=c时,等号成立，

因止匕a+b+cW-ɪ+/+-ɪ.

azbzcz

(2)(a+b+c)(工+、+工)=3+(^+-)+(ɪ+-)+(-+-),

abcbabcca

因为a,b,c为正数，

所以(a+b+c)(工+工+工)与3+2I-∙-+2I-∙-+2I-∙-=3+2+2+2=9,

abcy∣bCI7bCyCa

当且仅当a=b=c=3时,取等号，

所以工+%工21.

abc

FC级应用创新练

15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c